人教版高三数学总复习课时作业29

人教版高三数学总复习课时作业29

课时作业29　平面向量的数量积 一、选择题 ‎1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ 解析：∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，‎ 即a2＋b2＋2a·b＝10.①‎ ‎∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，‎ 即a2＋b2－2a·b＝6.②‎ 由①②可得a·b＝1.故选A.‎ 答案：A ‎2．(2014·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. 解析：由已知(2a－3b)⊥c，可得(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，展开化简得4k－12＝0，所以k＝3，故选C.‎ 答案：C ‎3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n ‎＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．0 D．2或－2‎ 解析：n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.‎ 答案：B ‎4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是(　　)‎ A．(－3,0) B．(2,0)‎ C．(3,0) D．(4,0)‎ 解析：设P点坐标为(x,0)．‎ 则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．‎ ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)‎ ‎＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.‎ 当x＝3时，·有最小值1.‎ ‎∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.‎ 答案：C ‎5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．[0,1]‎ 解析：‎ 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，‎ 设E(x,0)，0≤x≤1.‎ 又M，C(1,1)，‎ 所以＝，‎ ＝(1－x,1)，‎ 所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.‎ 因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，‎ 即·的取值范围是.‎ 答案：C ‎6．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ 由于菱形边长为2，所以BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从而CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.‎ 由·＝1，‎ 得(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120°‎ ‎＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，‎ 所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.‎ 由·＝－，得(2－2λ)·(2－2μ)·＝－，所以λμ＝λ＋μ－，‎ 因此有4(λ＋μ)－2(λ＋μ)＋＝3，‎ 解得λ＋μ＝，故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．(2014·北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.‎ 解析：|b|＝＝，由λa＋b＝0，得b＝－λa，‎ 故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝＝＝.‎ 答案： ‎8．已知点G是△ABC的重心，若A＝60°，·＝4，则||‎ 的最小值是________．‎ 解析：4＝·＝||||cosA＝||×||×，得||||＝8，由三角形重心的性质可得＋＝3，∴9||2＝||2＋||2＋2·≥2||·||＋2·＝2×8＋2×4＝24，∴||min＝.‎ 答案： ‎9．(2014·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.‎ 解析：由已知得cosβ＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∵e1与e2是单位向量，其夹角为α，且cosα＝，‎ ‎∴|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1||e2|cosα＝.‎ ‎∴cosβ＝ ‎＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．‎ ‎(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；‎ ‎(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；‎ ‎(3)求向量a在b方向上的投影．‎ 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，‎ ‎∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．‎ ‎∴b·c＝2×6－2×6＝0，‎ ‎∴(b·c)a＝0a＝0.‎ ‎(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，‎ 由于a＋λb与a垂直，‎ ‎∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.‎ ‎(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.‎ ‎∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.‎ ‎11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·＝ ‎·＝k(k∈R)．‎ ‎(1)判断△ABC的形状；‎ ‎(2)若k＝2，求b的值．‎ 解：(1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC，‎ ‎∴bccosA＝abcosC，‎ 根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，‎ 即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，‎ ‎∴A＝C，即a＝c.即△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得 ·＝bccosA＝bc·＝.‎ ·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.‎ ‎1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)，若|2a－b|4.‎ 答案：B ‎2．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由(－3)⊥，得(－3)·＝0，‎ 化简可得||cosB＝3||cos(π－C)，‎ 即c·＝－3b·，‎ 整理得2a2＝－b2＋c2，cosA＝≥＝.‎ 当且仅当b＝c时等号成立．‎ 又0π.‎ 所以B＋2C＝π，由A＋B＋C＝π，相减得：A＝C 三角形为等腰三角形 ‎(2)若|＋|＝2，则边AC上的中线长为1.·＝||·||cosB＝－||2cos(A＋C)＝－|BC|2cos2C ‎＝－cos2C＝ ‎∵

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