山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（文）试题答案

山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（文）试题答案

一、选择题 1. A 【解析】∵ 命题 p 为真，命题 q 也为真，∴p∧q 为真． 2. B 【解析】∵ 直线 l1:x- 3姨 y-1=0 的斜率为 3姨 3 ，∴ 与其垂直的直线 l2 的斜率为- 3姨 ，根据点斜式可得直线 l2 的方程为 y- 3姨 =- 3姨 （x+1），即 3姨 x+y=0. 3. D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定. 4. D 【解析】 ∵ 根据函数的求导公式可得，∵ 1 x姨 姨′=- 1 x2 ，∴A 错；∵（sin x）′=cosx，∴B 错；∵（3x）′=3x ln3，∴C 错；D 正确. 5. B 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面. 6. C 【解析】曲线 x2 16 + y2 9 =1表示椭圆，焦距为 2c=2 a2-b2姨 =2 7姨 ，当 9＜k＜16 时，曲线 x2 16-k + y2 9-k =1表示双曲线， 焦距为 2c=2 a2+b2姨 =2 16-k+k-9姨 =2 7姨 ，故两条曲线的焦距相等. 7. D 【解析】由圆O：x2 +y2 =1可得圆心 O（0，0），半径 r=1，∵△OAB 为正三角形，∴ 圆心 O 到直线 x-y+m=0 的距离 为 3姨 2 r= 3姨 2 ，即 d= m 2姨 = 3姨 2 ，解得 m= 6姨 2 或- 6姨 2 . 8. B 【解析】∵ 抛物线 ｙ＝ １ ２ ｘ２的准线方程为 y=- 1 2 ，∴m= 1 4 ，则离心率 e= 1+ 1 4姨 1 2 = 5姨 . 9. C 【解析】∵ 当 m=2 时可得l1：2x-2y-1=0，l2：x-y+1=0，∴l1∥l2；当l1∥l2时有 m（m-1）-2=0 成立，解得 m=2 或 m=-1， 但当 m=-1 时，两条直线重合，所以应舍去，故只得 m=2. 所以 m=2 是 l1∥l2的充要条件. 10. C 【解析】∵ 函数 f（x）为奇函数，∴a=2，即 f（x）= 1 3 x3+2x. 又 ∵f′（0）=2，∴ 切线的方程为 y=2x. 11. D 【解析】在矩形 ABCD 中，沿 AC 将三角形 ADC 折起，当平面 ADC⊥平面 ABC 时，得到的四面体 A-BCD 的体积取到最大值，作 DE⊥AC，此时点 D 到平 面 ABC 的距离为 DE= AD×DC AC = 2 3姨 ×2 （2 3姨 ）2+22姨 = 3姨 ，∵，AC=4，∴AE= AD2 AC =1， ∴CE=3，作 EF⊥AB，EG⊥BC，由△AEF∽△ACB，可得 EF= 1 2 ，∴DF= 13姨 2 ， ∴S△ADB= 1 2 ×2 3姨 × 13姨 2 = 39姨 2 ， 同理可得，S△DBC= 1 2 ×2× （ 3姨 ）2+ 3 3姨 2姨 ∽姨 2 = 39姨 2 ，∴ 四面体 A-BCD 的表面积为 S=S△ACD+S△ABC+S△ABD+S△BDC=4 3姨 + 39姨 . 秘密★启用前 2018－2019 学年度第一学期高二期末测评考试 文科数学（Ⅱ）参考答案及评分参考 高二文科数学试题答案 第 1 页（共 4 页） 高二文科数学试题答案 第 2 页（共 4 页） 12. A 【解析】∵ f（x1） x２ - f（x2） x1 ＜0且x∈（0，+∞），∴ 当x2＞x1时，x1f（x1）＜x2f（x2），即函数xf（x）在（0，+∞）上是一个增函 数. 设g（x）=xf（x）=ex-ax2，则有g′（x）=ex-2ax≥0，即a≤ ex 2x ，设h（x）= ex 2x ，则有h′（x）=（x-1）ex 2x2 ，当x∈（0，1）时， h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）上单调递增，h（x）在 x=1 处取得最小 值，h（1）= e 2 ，∴a≤ e 2 . 二、填空题 13.“若x≠1且x≠2，则x2-3x+2≠0”. 【解析】若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若劭q，则劭p”. 14. 2 【解析】∵y′ x=1 = 2 x x=1=2，∴k切=2. 15. 2 3姨 3 【解析】法一：∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，∴C1A1⊥平面AA1B1B， 又∵C1A1奂平面C1A1B，∴平面C1A1B⊥平面AA1B1B. 又∵A1B=平面C1A1B∩平面AA1B1B， ∴过A作AG⊥A1B，则AG的长为A到平面A1BC1的距离， 在Rt△AA1B中，AG= AB×AA1 A1B = 2× 2姨 6姨 = 2 3姨 3 . 法二：由等体积法可知ＶA－Ａ１ＢＣ１＝ＶＢ－ＡＡ１Ｃ１，解得点Ａ到平面Ａ１ＢＣ１的距离为 2 3姨 3 . 16. 2姨 -1 【解析】∵AF2垂直于x轴，∴可得 AF2 = b2 a ，又∵△AF1F2为等腰三角形， ∴ AF2 = F1F2 ，即 b2 a =2c，整理得e2+2e-1=0，解得e= 2姨 -1. 三、解答题 17. 解：由 p 可得 k>a ………………………………………………………………………………………………， 2 分 由 q 知 x2 k+1 + y2 3-k =1 表示双曲线，则（k+1）（3-k）<0，即 k<-1 或 k>3 ……………………………………， 5 分 ∴劭q：k∈［-1，3］. 又 ∵劭q 是 p 的充分不必要条件， ∴a<-1 …………………………………………………………………………………………………………. 10 分 18. 解：（1）由圆C的方程为x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，-2），半径为 5姨 . 又∵直线l：x-2y+t=0 与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d= 1+4+t 5姨 = 5姨 ，即 t+5 =5， 解得t=0或t=-10. ………………………………………………………………………………………………… 6分 （2）由题得，圆心M（-2，4），∵圆M：（x+2）2+（y-4）2=r2 与圆C有3条公切线， ∴圆M与圆C相外切，即 CM = 5姨 +r，又∵ CM =3 5姨 ，∴解得r=2 5姨 . ………………………………… 12分 19. 解：（1）∵ 直线 x-y-2=0 经过抛物线 C 的焦点， ∴ 抛物线 C 的焦点坐标为（2，0）， ∴ 抛物线 C 的准线方程为 x=-2. ……………………………………………………………………………… 4 分 高二文科数学试题答案 第 3 页（共 4 页） （2）设过抛物线 C 的焦点且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+ p 2 ，且直线与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 y=-x+ p 2 ， y2=2p x 化简得 x2-3px+p2 4 =0， ∴x1+x2=3p. ∵ AB =x1+x2+p=4p=2，解得 p= 1 2 ， ∴ 抛物线 C 的方程为 y2=x ……………………………………………………………………………………. 12 分 20. 解：（1）当a=1 时，f（x）=2lnx-x2，x∈（0，+∞）. f′（x）= 2 x -2x= 2（1-x2） x = 2（1-x）（1+x） x . （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 ∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1，即当x∈（0，+∞），f（x）≤-1， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）+1≤0. …………………………………………………………………………………… 6分 （2）当a= 1 e 时，f（x）=2lnx- 1 e x2，x∈（0，+∞）. ∴f′（x）= 2 x - 2 e x= 2（e-x2） ex = 2（ e姨 -x）（ e姨 +x） ex . （0， e姨 ） e姨 （ e姨 ，+∞） f′（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 ∵f（ e姨 ）=2ln e姨 - 1 e（ e姨 ）2=0，∴函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点. ∴当a= 1 e 时，函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点. ………………………………………………… 12分 21. 解：（1）由题意得 c a = 2姨 2 ， a2=b2+c2， b=2 ， 解得a2=8，b2=4. ∴椭圆C的标准方程为 x2 8 + y2 4 =1. ………………………………………………………………… 4分 （2）设M（x0，y0），且x0 2+y0 2=12. 由题意知，过点M引椭圆C的切线方程可设为y-y0=k（x-x0）， 联立 y-y0=k（x-x0）， x2 8 + y2 4 = 1 化简得（1+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（y0-kx0）2-8=0. ∵直线与椭圆相切， ∴ Δ=［4k（y0-kx0）］2-4（1+2k2）［2（y0-kx0）2-8］=0， 化简得（x0 2-8）k2-2x0y0k+y0 2-4=0. …………………………………………………………………………… 10分 高二文科数学试题答案 第 4 页（共 4 页） ∴k1·k2= y0 2-4 x0 2-8 = y0 2-4 12-y0 2-8 = y0 2-4 4-y0 2 =-1. ∴两条切线斜率的积为定值. ………………………………………………………………………… 12分 22. 解：（1）当a=1 时，f（x）=（x2-x-1）ex. f′（x）=（x2+x-2）ex=（x+2）（x-1）ex. （-∞，-2） -2 （-2，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）. ……………………………… 6分 （2）由题意得g（x）=（x2-ax+1）ex， 则g′（x）=［x2-（a-2）x-（a-1）］ex=（x+1）［x-（a-1）］ex. ∵a≥0， ∴当a=0时，a-1=-1，即g（x）在R上单调递增，无极值，∴不符合题意，舍去； 当a＞0时，a-1＞-1，则有 （-∞，-1） -1 （-1，a-1） a-1 （a-1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴令a-1=1，解得a=2， ∴函数g（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为g（-1）=f（-1）+2e-1= 4 e . …………………………………… 12分