陕西省西安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．)
1.函数的定义域是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
，解得或，函数的定义域是或，故选D.
【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
2.已知，，，则a, b, c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.
考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.
多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.
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3.下列四个图象中，是函数图象的是( )
A. (1) B. (1)(3)(4) C. (1)(2)(3) D. (3)(4)
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．
故选：B
考点：函数的概念．
4.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
5.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或－3
【答案】A
【解析】
【分析】
由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知，由此能求出n的值．
【详解】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴，
解得n＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．熟记幂函数的性质是关键，是基础题．
6.若函数在定义域A上的值域为,则区间A不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象得到函数在R
上的单调性是先减后增，再根据单调性分别求出选项中四个区间上的最大最小值，得到相应的值域，再与[﹣3，1]比较，即可得到正确选项．
【详解】∵函数f（x）＝x2﹣4x+1的图象是开口向上的抛物线，以x＝2为对称轴，
∴函数在区间（﹣∞，2）上为减函数，[2，+∞）上为增函数．
当x∈[0，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，最大值为f（0）＝f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；
当x∈[2，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，最大值为f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；
当x∈[1，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，
∵f（1）＝﹣2＜f（4）＝1，∴最大值为f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；
当x∈[﹣3，5]时，最小值f（2）＝﹣3，最大值为f（﹣3）＝22，得函数值域为[﹣2，22]．
根据以上的讨论可得区间A不可能为[﹣3，5]．
故选：D．
【点睛】本题给出二次函数的值域，求可能的定义域，着重考查了二次函数的单调性和闭区间上值域的求法等知识，属于基础题．
7.根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1082，则下列各数中与最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)
A. 1033 B. 1053 C. 1091 D. 1093
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的性质可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
【详解】由题意：M≈3361，N≈1082，
根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴1091．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式，考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．
8.已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：①0
0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( )
A. B. 60 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，再计算出logmz，即得logzm的值.
【详解】由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝，即logzm＝60.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
11.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(00成立，那么a的取值范围是__________．
【答案】[4,8)
【解析】
【分析】
由题意知函数在R上单调增，结合分段函数，可得不等式组，即可求出a的取值范围
【详解】∵对任意x1≠x2，都有0成立，
∴函数在R上单调增，
∴，解得4≤a＜8．
故答案为：[4,8)．
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，注意临界位置x=1处满足的条件，属于中档题．
15.已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________.
【答案】.
【解析】
∵集合中至多有一个元素，∴当时，，合题意；当时， 解得，总之，故答案为.
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16.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|
n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确的结论是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解．
【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确；
在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；
在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，
∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，
∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确．
故答案为：①③④．
点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．
三、简答题(本题共6小题，共56分．)
17.化简计算
(1) ；
(2) 已知，求的值．
【答案】(1) ； (2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；
（2）由已知分别求出a2+a﹣2与a4﹣a﹣4的值，则答案可求．
【详解】（1）
；
（2）∵a＞0，a﹣a﹣1＝1，
∴a2+a﹣2﹣2＝1，则a2+a﹣2＝3，
，
a2﹣a﹣2＝（a+a﹣1）（a﹣a﹣1），则a4﹣a﹣4
∴．
【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查平方关系的应用，是基础的计算题．
18.已知集合
(1) 若,求；
(2) 若,求实数的取值集合．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）若a＝1，则A＝{x|1＜x≤6}，由此能求出A∪B．
（2）当A＝∅时，a＝0满足条件；当A≠∅时，讨论a＞0和分别得集合A,再利用列不等式由此能求出实数a的取值集合．
【详解】（1）若则,所以
（2）①当时满足条件；
②当时, 此时由于,则,即；
③当时, 此时由于,则，即．
综上所述,实数的取值集合为
【点睛】本题考查集合的运算，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意的讨论是易错题．
19.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f(x)＝3·2x.（2）(－∞，]
【解析】
分析】
（1）代入条件，解方程组得a,b，即得结果，（2）分离变量转化为求对应函数最值问题，再根据指数函数单调性确定最小值取法，即得实数m的取值范围.
【详解】(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.
∴只需m≤即可．
∴m的取值范围(－∞，]
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,
使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
20.十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）。受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=50-x (0£x£160，且x是10的整数倍)；（2）w= -x2+34x+8000(0£x£160，且x是10的整数倍)；（3）一天订住34个房间时，最大利润是10880元
【解析】
【分析】
(1)利用每个房间增加x元则所定房间数减少x直接求解即可
(2)每间房的房价减去20即为利润，与所定房间总数相乘即为总利润
(3)配方，利用二次函数性质及定义域确定最大利润即可
【详解】(1) y=50-x (0£x£160，且x是10的整数倍)；
(2) w=(50-x)(180+x-20)= -x2+34x+8000，(0£x£160，且x是10的整数倍)；
(3) w= -x2+34x+8000= -(x-170)2+10890，当x<170时，w随x增大而增大，但0£x£160，
∴当x=160时，w最大=10880，当x=160时，y=50-x=34；
∴一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。
【点睛】本题考查函数模型及应用，考查二次函数的最值，是基础题，注意定义域.
21.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）
【解析】
试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)
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