2017-2018学年广西省桂林中山中学高二上学期段考数学（理）试题

2017-2018学年广西省桂林中山中学高二上学期段考数学（理）试题

桂林市中山中学2017-2018上学期高二数学段考卷(理)‎ 考试范围：必修5，选修2-1，2-2；考试时间：120分钟；‎ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（　　）‎ A. 10‎ B. 12‎ C. 13‎ D. 14‎ 2. 命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0-1+lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A. p∧q B. p∨（￢q）‎ C. （￢p）∧q D. （￢p）∧（￢q）‎ 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）‎ A. ‎ B. 1‎ C. ‎ D. ‎ 4. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，acosC=c（2-cosA），则cosB=（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 5. 古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（　　）‎ A. 7‎ B. 8‎ C. 9‎ D. 10‎ 6. 不等式（m+1）x2-mx+m-1＜0的解集为，则m的取值范围（　　）‎ A. m＜-1‎ B. m≥‎ C. m≤‎ D. m≥或m≤‎ 7. 若等比数列{an}的前n项和为Sn， =（　　）‎ A. 3‎ B. 7‎ C. 10‎ D. 15‎ 8. a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1. a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（　　）‎ A. ‎ B. 1‎ C. 2‎ D. 4‎ 2. 等比数列{an}各项均为正数，且a5a6+a4a7=54，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（　　）‎ A. 8‎ B. 10‎ C. 15‎ D. 20‎ 3. 设a＞0，b＞0，是lg4a与lg2b的等差中项，则的最小值为（　　）‎ A. ‎ B. 3‎ C. 4‎ D. 9‎ 4. 设F1，F2分别是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为（　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 已知正数x、y满足，则的最小值为_________ ．‎ 6. 已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和Sn，若Sn=2，S3n=14，则S6n= ___ ．‎ 7. 设命题p：“已知函数f（x）=x2-mx+1，对一切x∈R，f（x）＞0恒成立”，命题q：“不等式x2＜9-m2有实数解”，若¬p且q为真命题，则实数m的取值范围为 ___ ．‎ 8. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的最大值是 ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 9. ‎(10分)在锐角△ABC中，2asinB=b． （Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）求sinB-cos（C+）的取值范围．‎ 10. ‎（12分）已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0． （1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假； （2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．‎ 11. ‎（12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．‎ 1. ‎（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．‎ 2. ‎（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）． （1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．求满足不等式 ‎ ＞2010的n的最小值．‎ 3. ‎（12分）已知焦距为2的椭圆W：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为． （1）求椭圆W的标准方程； （2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线． ‎ 高二数学理科段考卷 ‎【答案】‎ ‎1. D    2. C    3. B    4. B    5. C    6. B    7. D    8. D    9. A    10. C    11. D    12. D    ‎ ‎13. ‎ ‎14. 126‎ ‎15. [2，3）∪（-3，-2]‎ ‎16. 4‎ ‎17. 解：（Ⅰ）利用正弦定理化简b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB， ∵sinB≠0， ∴sinA=， ∵A为锐角， ∴A=． （Ⅱ）∵=sin（-C）-cos（C+）=sin（C+）-cos（C+）=2sinC， 又∵A=，△ABC为锐角三角形，可得：＜C＜， ∴＜sinC＜1， ∴=2sinC∈（，2）．‎ ‎18. 解：命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0． （1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，是真命题． （2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题， ∴￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题． ∴，或k=0，1＞0；且△=4k2-4≥0， 解得k≥1． ∴实数k的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎19. （Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，． 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8． 由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3， 由此可得an=3n-2． 所以，{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为． （Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有，， 上述两式相减，得=‎ ‎． 得． 所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n-4）2n+2+16．‎ ‎20. 解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|． 又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2． ∴曲线E是以坐标原点为中心，C（-1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆． 设曲线E的方程为=1，（a＞b＞0）． ∵c=1，a=，∴b2=2-1=1． ∴曲线E的方程为． （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0． 此时有△=16k2-8m2+8＞0． 由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，． ∴|MN|== ∵原点O到直线l的距离d=-， ∴S△MON==．，由△＞0，得2k2-m2+1＞0． 又m≠0， ∴据基本不等式，得S△MON=．≤=， 当且仅当m2=时，不等式取等号． ∴△MON面积的最大值为．‎ ‎21. （1）证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1． ∵2an=Sn+n，n∈N*，∴2an-1=Sn-1+n-1，n≥2， 两式相减得an=2an-1+1，n≥2，即an+1=2（an-1+1），n≥2， ∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列， ∴an+1=2n，∴an=2n-1，n∈N*； （2）解：bn=（2n+1）an+2n+1=（2n+1）•2n， ∴Tn=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n， ∴2Tn=3•22+5•23+…+（2n+1）•2n+1， 两式相减可得-Tn=3•2+2•22+2•23+…+2•2n-（2n+1）•2n+1， ∴Tn=（2n-1）•2n+1+2 ‎ ‎∴＞2010可化为2n+1＞2010 ∵210=1024，211=2048 ∴满足不等式＞2010的n的最小值为10．‎ ‎22. 解：（1）由题意可知：2c=2，c=1，a2-b2=1， ∵M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点， ∴，=（a2-），=（b2-）， •••=•••=•， =•=（）2=，则a2=2b2， ∴a2=2，b2=1， ∴椭圆W的标准方程； （2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（-x1，-y1），C（x1，0）， ∵A，D在椭圆上，，=0，即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0， ∴=-， 由AD⊥AB， ∴kAD•kAB=-1，•=-1，•（-，）=-1， ∴=， ∴kBD-kBC=-=-=0， kBD=kBC， ∴B，C，D三点共线．‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：因为1+2+3+…+n=n（n+1）， 由n（n+1）≤100， 得n的最大值为13， 即最后一个13是数列的第91项， 而14共有14项， 所以，第100项应为14． 故选D． 由题意可知，此数列由一个1，两个2，3个3…组成，欲求第100项，需求自然数列前n项和不大于100时的最大n值，再列举出第100‎ 项． 本题考查数列的应用，综合性强，难度大．解题时要认真观察，发现规律，利用等差数列知识解答．易错点是找不到规律，导致出错．‎ ‎2. 解：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2，在c=0时不成立，故p是假命题； ∃x0=1＞0，使得x0-1+lnx0=0，故命题q为真命题， 故命题p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）是假命题； 命题（￢p）∧q是真命题， 故选：C 先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案． 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，不等式的基本性质，对数运算等知识点，难度中档．‎ ‎3. 解：∵等差数列{an}中，=， ∴=， ∴===1， 故选B． 根据题意和等差数列的性质求出的值，由等差数列的前n和项公式求出的值． 本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质的灵活应用，考查化简、变形能力．‎ ‎4. 解：∵acosC=c（2-cosA）， ∴acosC+ccosA=2c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinC， ∴sinB=sin（A+C）=2sinC， ∴b=2c，由a=b，可得a=b=2c， ∴cosB===． 故选：B． 由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理可得a=b=2c，进而利用余弦定理可求cosB的值． 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎5. 解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺， 则由题意知：=5，解得a1=， ， 解得2n≥311，由29=512，28=256， ∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9天．                                                                                            故选：C． 设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，先由等比数列前n项和公式求出a1=‎ ‎，再由等比数列前n项和公式列出不等式，能求出要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为多少天． 本题考查等比数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎6. 解：∵关于x的不等式（m+1）x2-mx+m-1＜0的解集为∅， ∴不等式（m+1）x2-mx+m-1≥0恒成立， ①当m+1=0，即m=-1时，不等式化为x-2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立； ②当m+1≠0时，即m≠-1时，∀x∈R，使（m+1）x2-mx+m-1≥0， 即m+1＞0且△=（-m）2-4（m+1）（m-1）≤0， 化简得：3m2≥4，解得m≥或m≤-， ∴应取m≥； 综上，实数m的取值范围是m≥． 故选：B． 关于x的不等式（m+1）x2-mx+m-1＜0的解集为∅，可转化成不等式（m+1）x2-mx+m-1≥0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论． 本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题．‎ ‎7. 解：∵据=3，（q≠1），若q=1可得据=2≠3，故q≠1， ∴==3，化简得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2， ===15． 故选：D． 根据等比数列的性质可知：可设其中公比为q，根据=3求出q4，再代入进行求解． 此题主要考查等比数列前n项和，利用等比数列的性质，是一道中档题．‎ ‎8. 解：lna、lnb、lnc成等差数列 ∴2lnb=lna+lnc ∴b2=ac 当2b=a+c时， 2a、2b、2c成等比数列， 这两个条件不能互相推出， ∴是既不充分又不必要 故选D． 从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出． 本题考查都不关系的确定，本题解题的关键是根据等比关系和等差关系写出字母之间的关系，看两个条件之间能不能互相推出．‎ ‎9. 解：∵sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C， ∴由正弦定理可得：a2+b2-c2=2a2b2sinCcosC， ∴2abcosC=absinC•4abcosC， ∵cosC≠0， ∴S△ABC=absinC==． 故选：A． 由正弦定理化简已知等式可得a2+b2-c2=2a2b2sinCcosC，由余弦定理可求2abcosC=absinC•4abcosC，结合cosC≠0，利用三角形面积公式即可化简求值得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎10. 解：∵a4a7+a5a6=54，由等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=27=an•a11-n（n∈N*，n≤10）， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2•…a10）=log3315=15． 故选：C． 由a4a7+a5a6=54，利用等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=27=an•a11-n，再利用对数的运算法则即可得出． 本题考查了等比数列的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11. 解：∵是lg4a与lg2b的等差中项， ∴2=lg4a+lg2b， 即lg2=lg4a•2b， ∴4a•2b=22a+b=2，即2a+b=1． ∵=（）×1=（）（2a+b）=4+1+ ∴， 当且仅当即a=b=时取等号， ∴的最小值为9． 故选：D． 根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可． 本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎12. 解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k， ∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k ∵cos∠AF2B=， 在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B， ∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k ‎）， 化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k， ∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k， ∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， ∴AF1⊥AF2， ∴△AF1F2是等腰直角三角形， ∴c=a， ∴椭圆的离心率e==， 故选：D． 设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率． 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13. 试题分析：先将z=4-x化成z=2-2x-y，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=-2x-y过点A(1，2)时，z1最大值即可． 根据约束条件画出可行域 ∵z=4-x化成z=2-2x-y 直线z1=-2x-y过点A(1，2)时，z1最小值是-4， ∴z=2-2x-y的最小值是2-4=， 故答案为．‎ ‎14. 解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q， ∵Sn=2，S3n=14， ∴=2，=14‎ ‎， 解得：qn=2，=-2． 则S6n =（1-q6n）=-2（1-64）=126． 故答案为：126 设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q，利用等比数列的前n项和公式化简已知的两等式，可求出qn与的值，然后再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子，变形后将求出的qn与的值代入即可求出值． 本题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式的应用，求出qn=2，=-2是解题的关键．‎ ‎15. 解：命题p 为真命题时：x2-mx+1＞0在R上恒成立 ∴△=m2-4＜0 即-2＜m＜2， 命题q为真命题时：9-m2＞0⇔-3＜m＜3， 若¬p且q为真命题，则P假且q真． 即⇔m∈[2，3）∪（-3，-2] 故实数m的取值范围是[2，3）∪（-3，-2]． 故答案为：[2，3）∪（-3，-2]． 由¬p且q为真命题知，P假且q真．当p为真时，△=m2-4＜0 即-2＜m＜2，当q为真时，9-m2＞0，进而确定m的取值范围． 本题考查了命题的真假判断，知道若¬p且q为真命题，P假且q真是解决此题的关键．‎ ‎16. 解：∵sin2B+sin2C=msinBsinC， ∴b2+c2=bcm， ∴m=， ∵=bcsinA， ∴a2=， ∴cosA==-=-sinA， ∴m=2cosA+2sinA=4sin（A+）， ∴当sin（A+）=1即A=时，m取得最大值4． 故答案为4． 利用正弦定理将角化边得出m=，根据面积公式得出a2=，代入余弦定理即可得出m关于A的式子，利用三角恒等变换求出m的最值． 本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，三角恒等变换，属于中档题．‎ ‎17. （Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数． （Ⅱ）先化简，再求出角C的范围，根据正弦函数的图象即可求出 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎18. （1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假． （2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出． 本题考查了二次函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19. （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an=3n-2． （Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可． 本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20. （1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可． （2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可． 本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键．，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎21. （1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{an+1}为等比数列，从而可求数列{an}的通项公式； （2）求出数列{bn}的前n项和为Tn，代入可求满足不等式＞2010的n的最小值． 本题考查等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎22. （1）由c=1，a2-b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程； （2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由kAD•kAB=-1，代入求得=，由kBD-kBC=0，即可求证kBD=kBC，即可求证B，C，D三点共线． 本题考查椭圆的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．‎