数学理卷·2018届福建省惠安惠南中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届福建省惠安惠南中学高三上学期期中考试（2017

惠南中学2017年秋季期中考试卷 高三数学（理科） 命题人：‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 2017.11.9‎ ‎ 班级 座号 姓名 ‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）‎ ‎1．设集合，集合，则等于（   ）‎ A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2） D．[1，2]‎ ‎2．已知向量和，若，则（   ）‎ A．64 B．‎8 ‎C．5 D．‎ ‎3．函数的零点所在的大致区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，已知是边长为1的正六边形，则的值为（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知角α的终边过点P（﹣‎8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（　　）‎ ‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎6. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，‎ 则f(7)＝(　　)‎ A.－2 B‎.2 C.－98 D.98‎ ‎7．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为 (　 )‎ A． B．－ C．－ D． ‎ ‎9．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在数列中，已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.‎ ‎13. 设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z= ‎ ‎14、数列中，若则等于 ‎ ‎15.设若，则 ‎ ‎16. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是　　海里．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本题满分12分）如图,在中，已知点分别在边上，且， .（1）用向量、表示；‎ ‎（2）设, , ,求线段的长. ‎ ‎18. （本题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ‎(1) 求角C；‎ ‎(2) 若c＝，△ABC的周长为5＋，求△ABC的面积S.‎ ‎19．（本题满分12分）如图，平面直角坐标系中，，，，的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）若函数（，，）的图象经过，，三点，其中，是图象与轴相邻的两个交点，求，，的坐标及的解析式．‎ ‎20、（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，，（），是数列的前项和．‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求通项公式；‎ ‎（2）求满足的最大正整数的值．‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数在点处的切线为．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）是否存在实数，当时，函数的最小值为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若，求证：．‎ ‎22．（本题满分10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）-3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．‎ 惠南中学2017年秋季期中考试卷参考答案 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）‎ ‎1-5 BCCAB 6-10 ADCAD 11-12 BD 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.‎ ‎13.1+3i 14. 15. 3 16.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17． ‎ ‎18. 解：(1) 由余弦定理，得cos C＝，∴ C＝. ……………………4分 ‎(2) ∵ a＋b＋c＝5＋且c＝，∴ a＋b＝5. ……………………5分 由余弦定理，得a2＋b2－2abcos C＝c2，……………………7分 ‎∴ (a＋b)2－2ab－2abcos C＝7，……………………9分 ‎∴ 52－3ab＝7，……………………11分 ‎∴ ab＝6，S△ABC＝absin C＝.……………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）因为，，所以，，‎ ‎．‎ 法一：又因为的面积为，所以，‎ 所以．在中，，，‎ 由余弦定理得：，即，‎ 整理得．所以或（舍去），所以的长为3．‎ 法二：在中，，．‎ 又因为的面积为，所以，‎ 所以，故，．直角三角形中，．‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，．‎ 因为函数的图象经过，，三点，其中，是图象与轴相邻的两个交点，所以函数的半个周期为，对称轴为．所以．‎ 因为，所以，所以（），所以（）．‎ 又因为，所以，所以．‎ 又因为，‎ 所以，从而函数的解析式为．‎ ‎20、解：（Ⅰ）∵当时，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵， ∴‎ ‎∴数列是以2为首项，公比为4的等比数列，‎ ‎∴ ………………………………………………5分 ‎（2）由（1）得：， ………………………………6分 ‎∴‎ ‎ ………………………………………7分 ‎ …………………………………………………8分 ‎． …………………………………………………………9分 所以 ………………10分 ‎ ，‎ 令，解得．‎ 故满足条件的最大正整数的值为1008．………………………………………12分 ‎21．（1）解：∵，其定义域为， ‎ ‎ ∴. ……1分 ‎ 依题意可得 ……2分 ‎ 解得. ……4分 ‎（2）解：，‎ ‎∴. ……5分 ①当时，，则在上单调递减，‎ ‎∴. ……6分 ② 当即时，，则在上单调递减,‎ ‎∴. ……7分 ③当即时，则时，；时，， ‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 故当时，的最小值为.‎ ‎∵. ‎ ‎∴. ……8分 综上所述，存在满足题意 ……9分 ‎（3）证法1：由（2）知，当时，在上单调递减,‎ ‎∴时，, 即. ……10分 ‎∵ , ∴. ‎ ‎ 即. ……11分 ‎∵ ,‎ ‎∴. ……12分 证法2：‎ 设，‎ 则.‎ 当，， ∴在上单调递减 ……10分 ‎∴. ‎ ‎∴时，. ……11分 ‎, ∴. ‎ ‎, ∴. ……12分 ‎22．解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．‎ ‎∴直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4y+3=0，‎ 即（x﹣2）2+（y﹣2）2=5为圆C的普通方程．……………………2分 利用同角三角函数的平方关系可得：圆C的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+cosθ，2+sinθ），‎ ‎∴x+2y=2+cosθ+2（2+）=6+5‎ 设sinα=，则，……………………5分 ‎∴x+2y=6+5sin（θ+α），‎ 当sin（θ+α）=1时，（x+2y）max=11，此时，θ+α=，k∈Z．……………………7分 ‎∴sinθ=cosα=，cosθ=sinα=．…………………… 9分 点P的直角坐标为（3，4）时，x+2y取得最大值11．……………………10分