2021高考数学一轮复习专练53抛物线含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练53抛物线含解析理新人教版

专练53　抛物线 命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y＝x2的焦点到其准线的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. ‎2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)‎ A．(－1,0) B．(1,0)‎ C．(0，－1) D．(0,1)‎ ‎3．动点M到点F(2,1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为(　　)‎ A．抛物线 B．直线 C．线段 D．射线 ‎4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)‎ A．－4 B．4‎ C．－2 D．2‎ ‎5．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．4 B．8‎ C．16 D．32‎ ‎6．[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ ‎7.‎ 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x ‎8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎10．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．‎ ‎11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.‎ ‎12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎14．[2020·湖南长沙高三测试]抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　)‎ A.＋ B．9＋ C．9＋ D.＋ ‎15．[2020·张家界高三测试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4，则p＝________.‎ ‎16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________. ‎ 专练53　抛物线 ‎1．B　y＝x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为×4＝2.‎ ‎2．B　∵y2＝2px的准线为x＝－，又准线过点(－1,1)，∴－＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1,0)．‎ ‎3．B　∵F(2,1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．‎ ‎4．B　∵－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.‎ ‎5．B　由抛物线的定义知，6＋＝10，＝4，p＝8，∴抛物线的焦点到准线的距离为p＝8.‎ ‎6．D　本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.‎ ‎7．B　‎ 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝‎2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，‎ ‎∵|AF|＝4，|AC|＝4＋‎3a，‎ ‎∴2|AE|＝|AC|，∴4＋‎3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，∴＝，即＝，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.‎ ‎8．B　‎ 当AB与x轴垂直时，A，B，·＝×＋1×(－1)＝－；‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 设l：y＝k，‎ 由得k2x2－(k2＋2)x＋＝0‎ 由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝‎ x1x2＋k2 ‎＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋＝－.‎ ‎9．A　不妨设点A在第一象限，如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋，|EH|＝p，∴2p＝3＋，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3,2)，F(1,0)，∴kAF＝，直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝，此时y1＝2，y2＝－，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝×1×＝，故选A.‎ ‎10．y2＝－8x或x2＝－y 解析：由题可知，抛物线开口向下或向左，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，x2＝－2py(p>0)，将P(－2，－4)代入，分别得方程y2＝－8x或x2＝－y.‎ ‎11．8‎ 解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.‎ ‎12．0或1‎ 解析：由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，‎ 若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.‎ ‎13．C　设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，‎ 由抛物线定义得|AF|＝x0＋，‎ ‎∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，‎ ‎∴9＋＝12，‎ ‎∴p＝6.故选C.‎ ‎14．B　令y＝1，得x＝，即A.‎ 由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.‎ 消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝＝4.‎ ‎|AB|＝xA＋xB＋p＝.‎ 将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4)．‎ 故|MB|＝＝.‎ 故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝＋＋＝9＋.‎ 故选B.‎ ‎15．2‎ 解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故(2p)2＝4，∴p＝2.‎ 故答案为2.‎ ‎16．3‎ 解析：‎ 如图所示，由题意得准线l：x＝－.作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cos60°＝＝，‎ 即(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得＝3.‎