高考数学专题复习教案： 不等式选讲备考策略
不等式选讲备考策略
主标题：不等式选讲备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：绝对值不等式，含参数不等式，不等式证明，备考策略
难度：3
重要程度：5
内容
热点一 含绝对值不等式的解法
例1 不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集为________________．
答案
解析 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，
解得x<－，∴－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
【备考策略】 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(1)若不等式|x＋1|＋|x－2|
0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；
(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
证明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2·(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.
∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.
∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
(2)a6＋8b6＋c6≥3
＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，
∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.
(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，
a2＋9c2≥2＝6ac，
4b2＋9c2≥2＝12bc，
∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，
∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
【备考策略】 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
热点三 不等式的综合应用
例3 已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
答案 2
解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．
∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”．
∴所求最小值为2.
【备考策略】 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件．
设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________.
答案
解析 通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．
由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得
(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令，
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.
