云南省玉溪一中2021届高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版附答案）

云南省玉溪一中2021届高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版附答案）

玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考 数学学科试卷（理科）‎ ‎ ‎ 一、 选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设是虚数单位，则复数 A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，，则 A. B． C． D．‎ ‎3.命题，的否定为 A．， ‎ B．，‎ C．， ‎ D．，‎ ‎4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为 A．　　　　 B．　　　　‎ C．　　　　 D．‎ ‎5.若对任意的都有，则函数的对称轴为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。‎ ‎2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生 A.甲子 B.乙丑 C.丁巳 D.丙卯 ‎7.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.那么是的 （ ） ‎ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件  D. 既不充分也不必要条件 ‎8.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有 A. 15 B. 60 C. 90 D. 540‎ ‎10.在三角形中，，，，点是边上靠近的三等分点，则 A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，‎ 直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，是以为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在处的切线方程为______.‎ ‎14.在的展开式中，则的系数是______.‎ ‎15.在正项等比数列中中，，前三项的和为7，若存在，，使得，则的最小值为______.‎ ‎16.已知定义在上的函数和都是奇函数，‎ ‎（i）周期________．‎ ‎（ii）当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）已知锐角三角形中，内角对边分别为，且 ‎（1）求角的大小;‎ ‎（2）求函数的值域. ‎ ‎18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现. ‎ 分期月数及相应的红包返利如下表1：‎ ‎（月数）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ 返现金额 ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ 顾客采用的付款月数的分布列如下表2：‎ ‎（月数）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ 现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件为“购买该商品的2位顾客中，至少有1位采用1个月付款”．‎ ‎（1）求事件发生的概率； ‎ ‎（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.（12分）如图所示，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，点为中点，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（12分）已知函数,．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎21.（12分）已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系xOy中，已知曲线.曲线，且，点为曲线 （1） 求动点的轨迹方程；‎ （2） 在以原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，求动点到直线距离的最大值.‎ ‎23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数的最小值为6，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第二次月考 数学学科试卷（理科）答案 一、选择题：1-5：DAACD 6-10：BACCA 11-12：CD 二、填空题：13. 14. ‎ ‎15.2， 16.‎ ‎17.（1）由，利用正弦定理可得，‎ 可化为，.………………6分 ‎（2），，，，.………………6分 ‎18.解：（1）抽取的老年员工人，‎ 中年员工人，‎ 青年员工人 ………………3分 ‎（2）的可取值为 ……………… 4分 ‎，， ……………… 10分 所以的分布列为 ‎ …………… 12分 ‎19.（1）证明：因为是的中点，，‎ 所以. …………1分 因为底面是菱形，所以. …………2分 又 ，所以. …………3分 又因为，所以. …………4分 ‎（2）方法一：‎ 由（1）知，，所以. （5分）‎ 过作于，连接，则，‎ 又面，则， …………6分 所以是二面角的平面角． …………7分 由（1）知是二面角的平面角，所以．…………8分 设，在中，，是等边三角形，，‎ 是的中位线，则， …………10分 ‎， ， …………11分 ‎，即二面角的正弦值为 . …………12分 方法二：‎ 由（1）知. 如图，分别以，方向为轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.设，则，. …………5分 由（1）知是二面角的平面角，‎ 所以． …………6分 在中，，‎ 是等边三角形，‎ 所以， …………7分 ‎， …………8分 设是平面的一个法向量，则 ‎ 即 …………9分 令，则，所以是平面的一个法向量. …………10分 平面的一个法向量为. …………11分 设二面角的平面角为，则，‎ 所以二面角的正弦值为 . …………12分 ‎20.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，‎ ‎∴2a＝4，a＝2.‎ ‎∴椭圆E：＋＝1.‎ 将P(1，)代入可得b2＝3，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.………………4分 ‎(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；‎ ‎②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，‎ 代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ ‎|AC|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝.‎ ‎∵直线BD的斜率为－，‎ ‎∴|BD|＝＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ 综上，2λ＝＋＝，‎ ‎∴λ＝.‎ 故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．………………12分 ‎21.（1）解：因为，所以.………………………1分 因为曲线在点处的切线斜率为，‎ 所以，解得.…………………………………………………2分 ‎（2）证法一：因为,，‎ 所以等价于．‎ 当时，．‎ 要证，只需证明.………………4分 以下给出三种思路证明．‎ 思路1：设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增．…………………6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且. 8分 因为，所以，即.………………9分 当时，；当时，，‎ 所以当时，取得最小值.………………………………………10分 所以.‎ 综上可知，当时，. ……………………………………12分 思路2：先证明．……………………………………………5分 设，则．‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）．…………………………………7分 所以要证明， ‎ 只需证明．………………………………………………8分 下面证明．‎ 设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同，所以．‎ 综上可知，当时，. ……………………………………12分 ‎22.解：（1）设动点 由题意知，‎ 由，所以 所以点的轨迹方程为………………5分 由已知，直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以动点到直线的距离最大值为.‎ ‎23.（1），当且仅当等号成立 ‎∴；………………5分 ‎（2）由柯西不等式得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，即，解得.‎ 故的取值范围是.………………10分