人教版高三数学总复习课时作业21

人教版高三数学总复习课时作业21

课时作业21　简单的三角恒等变换 一、选择题 ‎1．已知tanα＝2，那么sin2α的值是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：sin2α＝2sinαcosα＝ ‎＝＝.‎ 答案：B ‎2．已知a∈(0，)，cosα＝，则cos(α＋)等于(　　)‎ A.－ B．1－ C．－＋ D．－1＋ 解析：∵α∈(0，)，cosα＝，∴sinα＝，‎ ‎∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin ‎＝×－×＝－.‎ 答案：A ‎3．若α∈(，π)，则3cos2α＝sin(－α)，则sin2α的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：由3cos2α＝sin(－α)得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，从而3(cosα＋sinα)＝，即cosα＋sinα＝平方得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.‎ 答案：D ‎4.的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案：C ‎5．已知sin＋sinα＝－，则cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：由sin＋sinα＝－，‎ 得sinα＋cosα＋sinα＝－，‎ 所以sinα＋cosα＝－，‎ 故sin＝－，于是sin＝－，‎ 所以cos＝cos ‎＝－sin＝.‎ 答案：D ‎6．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)‎ A．[－2,2] B．[－，]‎ C．[－1,1] D. 解析：f(x)＝sinx－cosx＋sinx ‎＝＝sin.‎ x∈R，所以x－∈R，所以f(x)∈[－，]，故选B.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．已知tan＝2，则的值为________．‎ 解析：由tan＝2，得＝2，∴tanx＝，‎ ‎∴＝＝＝＝.‎ 答案： ‎8．已知sin＝，则cos＝________.‎ 解析：cos＝2cos2－1，‎ 又cos＝sin＝，‎ 所以cos＝－.‎ 答案：－ ‎9．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.‎ 解析：f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎10．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a ‎∈R，θ∈(－，)．‎ ‎(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f()＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．‎ 解：(1)f(x)＝sin(x＋)＋cos(x＋)‎ ‎＝(sinx＋cosx)－sinx ‎＝cosx－sinx＝sin(－x)，‎ 因为x∈[0，π]，从而－x∈[－，]‎ 故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎(2)由得 又θ∈(－，)知cosθ≠0，解得 ‎11．已知f(x)＝2cos－1，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设α，β∈，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．‎ 解：(1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，f(x)的最小正周期T＝2π.‎ ‎(2)因为2sin＝2，sin＝1，<α＋<，所以α＋＝，α＝.‎ ‎2sin＝，sin＝，<β＋<，因为<，所以<β＋<，cos＝，所以 f(α＋β)＝2sin＝2sin＝2cosβ ‎＝2cos ‎＝2coscos＋2sinsin＝.‎ ‎1．已知sin2α＝，则cos2＝(　　)‎ A.　　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：cos2＝＝ ‎＝＝，故选C.‎ 答案：C ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析：∵tanα＝＝ ‎＝＝＝tan(＋)，‎ 且0<α<，<＋<，‎ ‎∴α＝＋即2α－β＝，选B.‎ 答案：B ‎3．如图所示，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知PA＝5，PB＝3，PC＝，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．‎ 解析：因为点B在以PA为直径的圆周上，‎ 所以∠ABP＝90°，‎ 所以cosα＝＝，sinα＝，‎ 所以tanα＝.‎ 因为cos∠CPB＝cos(α－β)＝＝＝，‎ 所以sin(α－β)＝，‎ 所以tan(α－β)＝，tanβ＝tan[α－(α－β)]‎ ‎＝＝1.‎ 又β∈，所以β＝.‎ 答案： ‎4．已知函数f(x)＝2sin2(x＋)－2cos(x－)－5a＋2.‎ ‎(1)设t＝sinx＋cosx，将函数f(x)表示为关于t的函数g(t)，求g(t)的解析式；‎ ‎(2)对任意x∈[0，]，不等式f(x)≥6－2a恒成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝1－cos(2x＋)－2(cosx＋sinx)－5a＋2＝sin2x－2(cosx＋sinx)－5a＋3.‎ 因为t＝sinx＋cosx，所以sin2x＝t2－1，其中t∈[－，]，即g(t)＝t2－2t－5a＋2，t∈[－，]．‎ ‎(2)由(1)知，当x∈[0，]时，‎ t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[1，]，‎ 又g(t)＝t2－2t－5a＋2＝(t－1)2－5a＋1在区间[1，]上单调递增，‎ 所以g(t)min＝g(1)＝1－5a，从而f(x)min＝1－5a，‎ 要使不等式f(x)≥6－2a在区间[0，]上恒成立，‎ 只要1－5a≥6－2a，‎ 解得a≤－.‎