高考数学专题复习：专题6不等式、推理与证明、算法框图与复数 第2讲

高考数学专题复习：专题6不等式、推理与证明、算法框图与复数 第2讲

专题六　第二讲 一、选择题 ‎1．(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，且m、n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵m、n⊂α，α∥β⇒m∥β且n∥β；若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，α∥β，否则α∥β不成立，故选A.‎ ‎2．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0‎ C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法．‎ 两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP垂直(如图所示)，kOP＝1，则所求直线斜率为－1.故所求直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋y－2＝0.‎ ‎3．(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2011＋a2012>0，a2011·a2012<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)‎ A．2011 B．2012‎ C．4022 D．4023‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a2011＋a2012>0，a2011·a2012<0，a1>0，‎ ‎∴a2011>0，a2012<0，∴S4022>0，S4023<0，∴选C.‎ ‎(理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的a1、a4027是函数f(x)＝x3－4x2＋12x＋1的极值点，则log‎2a2014(　　)‎ A．2　　 B．‎3　‎　　　‎ C．4　　 D．5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　f′(x)＝x2－8x＋12＝0则x1＝2，x2＝6，即a1＝2，a4027＝6或a1＝6，a4027＝2，a2014＝＝4‎ ‎∴log‎2a2014＝2，故选A.‎ ‎4．(2014·东北三省三校二模)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则(　　)‎ A．f(ln2014)<‎2014f(0)‎ B．f(ln2014)＝‎2014f(0)‎ C．f(ln2014)>‎2014f(0)‎ D．f(ln2014)与‎2014f(0)的大小关系不确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　令g(x)＝，则 g′(x)＝＝>0，‎ ‎∴g(x)为增函数，∵ln2014>0，∴g(ln2014)>g(0)，‎ 即>，‎ ‎∴f(ln2014)>‎2014f(0)，故选C.‎ ‎5．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是(　　)‎ A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 ‎[答案]　D ‎[解析]　正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．‎ ‎6．观察下图：‎ 则第(　　)行的各数之和等于20112.(　　)‎ A．2010 B．2009‎ C．1006 D．1005‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006.‎ ‎[点评]　观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n－1个数，因此第n行各数的和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝＝(2n－1)2.‎ 二、填空题 ‎7．(文)(2013·眉山二诊)已知2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，若9＋＝92×(a、b为正整数)，则a＋b＝________.‎ ‎[答案]　89‎ ‎[解析]　观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n＋＝n2×，此式显然对任意n∈N，n≥2都成立，故当n＝9时，此式为9＋＝81×，∴a＝80，b＝9，a＋b＝89.‎ ‎(理)(2013·陕西理，14)观察下列等式 ‎12＝1，‎ ‎12－22＝－3，‎ ‎12－22＋32＝6，‎ ‎12－22＋32－42＝－10，‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ ‎[答案]　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)‎ ‎[解析]　观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为 ‎(－1)n＋1·，所以第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1‎ ‎·(n∈N*)．‎ ‎8．(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个；11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n＋1(n∈N*)位对称数有________个．‎ ‎[答案]　9×10n ‎[解析]　易知对称数的位数与个数如表：‎ 位数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ 个数 ‎9‎ ‎90‎ ‎90‎ ‎900‎ ‎…‎ ‎∴2n＋1倍对称数有9×10n个．‎ ‎9．(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________．‎ ‎[答案]　13＋23＋…＋n3＝ ‎[解析]　本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，∴第n个等式右边是(1＋2＋3＋…＋n)2，即[]2，‎ 故填13＋23＋…＋n3＝.‎ ‎(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，，…，根据它的前10项的规律，则a99＋a100的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由前10项的构成规律知，分子分母和为n＋1(n∈N*)的共有n项，从和为2到和为n＋1的最后一项，共有1＋2＋3＋…＋n＝项，当n＝13时，＝91，n＝14时，＝105，因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项，∴a99＋a100＝＋＝.‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)，当x＝1时，函数y＝f(x)取得极小值．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)证明：若x∈(0，)，则f(x)>－x.‎ ‎[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f ′(x)＝－＋＝.‎ ‎∵x＝1时函数y＝f(x)取得极小值，‎ ‎∴f ′(1)＝0，∴a＝1.‎ 当a＝1时，在(0,1)内f ′(x)<0，在(1，＋∞)内f ′(x)>0，‎ ‎∴x＝1是函数y＝f(x)的极小值点，满足题意．‎ ‎∴a＝1.‎ ‎(2)证明：f(x)>－x等价于：f(x)＋x> 令g(x)＝f(x)＋x，则g ′(x)＝＋1＝，‎ 令h(x)＝x2＋x－1.‎ ‎∵h(0)＝－1<0，h()＝－<0，‎ ‎∴0g()，即g(x)>2－ln2＋＝＋(1－ln2)>，∴f(x)>－x.‎ ‎(理)(2014·沈阳市质检)已知函数f(x)＝mx－sinx，g(x)＝axcosx－2sinx(a>0)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值；‎ ‎(2)若m＝1，且对于任意x∈[0，]，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵函数f(x)＝mx－sinx在R上单调递增，‎ ‎∴f′(x)≥0恒成立，‎ ‎∵f′(x)＝m－cosx，‎ ‎∴m≥cosx，∴mmin＝1.‎ ‎(2)∵m＝1，∴函数f(x)＝x－sinx，‎ ‎∵f(x)≥g(x)，∴x＋sinx－axcosx≥0，‎ 对于任意x∈[0，]，令H(x)＝x＋sinx－axcosx，‎ 则H′(x)＝1＋cosx－a(cosx－xsinx)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx.‎ ‎①当1－a≥0时，即00，‎ ‎∴H(x)在[0，]上为单调增函数，‎ ‎∴H(x)≥H(0)＝0符合题意，∴01时，令h(x)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx，‎ 于是h′(x)＝(‎2a－1)sinx＋axcosx，‎ ‎∵a>1，∴‎2a－1>0，∴h′(x)≥0，‎ ‎∴h(x)在[0，]上为单调增函数，‎ ‎∴h(0)≤h(x)≤h()，即2－a≤h(x)≤a＋1，‎ ‎∴2－a≤H′(x)≤a＋1.‎ ‎(ⅰ)当2－a≥0，即12时，存在x0∈(0，)，使得当x∈(0，x0)时，有H′(x)<0，‎ 此时H(x)在(0，x0)上为单调减函数，‎ 从而H(x)0恒成立．‎ 综上所述，实数a的取值范围为00，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.‎ ‎(理)(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎[答案]　A ‎[解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根．‎ ‎12．(文)正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是(　　)‎ A.a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a＝(a)2＝a2，第二段长度的平方为a＝(a)2＝a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a＝a2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10＝＝.‎ ‎(理)对于大于1的自然数m的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m＝(　　)‎ A．7　　 B．‎8　‎　　　‎ C．9　　 D．10‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由23,33,43的“分裂”规律可知m3的分裂共有m项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m－2)(m＋1)＋3，当m＝8时，第一个奇数为57，故m＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.‎ ‎13．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是(　　)‎ A．正四面体的内切球的半径是其高的 B．正四面体的内切球的半径是其高的 C．正四面体的内切球的半径是其高的 D．正四面体的内切球的半径是其高的 ‎[答案]　C ‎[解析]　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，即正四面体的内切球的半径是其高的，所以应选C.‎ ‎14．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a、b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　)‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 ‎[答案]　D ‎[解析]　反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.‎ ‎15．(2014·邯郸市模拟)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝|sinx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)其中x10)与y＝|sinx|图象恰有四个公共点，如图 ‎∴当x∈(π，2π)时，函数y＝|sinx|＝－sinx，y′＝－cosx.‎ 依题意，切点为(x4，y4)，∴k＝－cosx4，‎ 又x∈(π，2π)时，|sinx4|＝－sinx4‎ ‎∴y4＝k(x4＋1)，即－sinx4＝(－cosx4)·(x4＋1)，‎ ‎∴sinx4＝(x4＋1)cosx4，故选B.‎ 二、填空题 ‎16．(文)(2014·新课标Ⅰ理，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C 三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由于甲没去过B城市，且比乙去过的城市多，因此甲最多去过两个城市，因此甲去过A、C城市，又乙没去过C城市，三人去过同一城市，则该城市甲必去过，故只能是A城市．‎ ‎(理)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆＋＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上，类比上述结论：双曲线－＝1(a，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上．‎ ‎[答案]　－＝0‎ ‎[解析]　椭圆＋＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上．类比上述结论可知，双曲线－＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线－＝0上．‎ ‎17．(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1]＝1，[2.5]＝2.那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log21024]＝________.‎ ‎[答案]　8204‎ ‎[解析]　依题意，当2k≤n<2k＋1(k∈N)时，k≤log2nx2＋y2＋xy＝a2，‎ ‎∴c>a，又a2＝x2＋xy＋y2>xy＝b2，∴a>b，∴c>a>b，‎ ‎∵x＋y＋>显然成立，‎ ‎∴<1，‎ ‎∴c－a＝x＋y－＝<＝b，‎ ‎∴a＋b>c.‎ 即p＝1时，存在以a、b、c为三边长的三角形．‎ ‎(2)∵a

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