2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．在等差数列中,，则（ ）‎ A．5 B．8 C．10 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【考点】等差数列通项公式.‎ ‎3．圆和圆的公切线条数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.‎ 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为 ‎.‎ 圆心距为，由于，即，‎ 所以，两圆相交，公切线的条数为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：‎ ‎①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线；‎ ‎④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线.‎ ‎4．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ）‎ A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 ‎【答案】A ‎【解析】设原来的圆锥底面半径为，高为，可得出变化后的圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥的体积公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设原来的圆锥底面半径为，高为，该圆锥的体积为，‎ 变化后的圆锥底面半径为，高为，‎ 该圆锥的体积为，变化后的圆锥的体积缩小到原来的，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（ ）‎ A．48 B．64‎ C．80 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，根据三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．‎ ‎【详解】‎ 解：三视图复原的几何体是正四棱锥，它的底面边长为：8cm，斜高为：5cm，‎ 所以正三棱柱的侧面积为：80 cm2‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎6．若函数在处取最小值，则等于（ ）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 当时，，则 ‎ ，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7．下列命题中， 表示两条不同的直线， 、、表示三个不同的平面． ‎ ‎①若， ，则； ②若， ，则； ‎ ‎③若， ，则； ④若， ， ，则． ‎ 正确的命题是（　 　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 ，正确。故正确命题为①④，选C.‎ ‎8．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，设正方体的棱长为，‎ 四边形为正方形，所以，，‎ 所以，异面直线与所成的角为，‎ 在正方体中，平面，平面，，‎ ‎，，，‎ 在中，，，‎ 因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）‎ A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的公比为整数，得到，再由等比数列的性质得出，可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的公比为整数，得到，‎ 由等比数列的性质得出，解得，即，解得，‎ ‎，则，数列是等比数列.‎ ‎，，‎ 所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎10．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.‎ 由题意可得，即，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出直线的方程，计算出圆心到直线的距离，可知的最大高度为，并计算出，最后利用三角形的面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的方程，且，‎ 圆的圆心坐标为，半径长为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以，点到直线的距离的最大值为，‎ 因此，面积的最大值为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积的最值问题，考查圆的几何性质，当直线与圆相离时，若圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线距离的最大值为，距离的最小值为，要熟悉相关结论的应用.‎ ‎12．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 点的坐标满足方程，‎ 在圆上，‎ 在坐标满足方程，‎ 在圆上，‎ 则作出两圆的图象如图，‎ 设两圆内公切线为与，‎ 由图可知，‎ 设两圆内公切线方程为，‎ 则，‎ 圆心在内公切线两侧，，‎ 可得，，‎ 化为，，‎ 即，‎ ‎，‎ 的取值范围，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 二、填空题 ‎13．已知满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题。‎ ‎14．圆的一条经过点的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设为，设过点圆的切线为，‎ 圆的方程为，则点在圆上，‎ 则，‎ 则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．‎ ‎15．已知数列的前项和为，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.‎ ‎【详解】‎ 当时，则有，；‎ 当时，由得出，‎ 上述两式相减得，，得且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，‎ 那么，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得，的外接圆直径为，，‎ 设三棱锥的外接球半径为，平面，，‎ 因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线和.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）借助两直线垂直的充要条件建立方程求解；（2）借助两直线平行充要条件建立方程求解.‎ 试题解析:‎ ‎（1）若，则.‎ ‎（2）若，则或2.‎ 经检验，时，与重合，时，符合条件，∴.‎ ‎【考点】两直线平行和垂直的充要条件及运用．‎ ‎【易错点晴】解析几何是运用代数的方法和知识解决几何问题一门学科,是数形结合的典范,也是高中数学的重要内容和高考的热点内容.解答本题时充分运用和借助题设条件中的垂直和平行条件,建立了含参数的直线的方程,然后再运用已知条件进行分析求解,从而将问题进行转化和化归,进而使问题获解.如本题的第一问中求参数的值时，是直接运用垂直的充要条件建立方程,这是方程思想的运用；再如第二问中求参数的值时也是运用了两直线平行的条件,但要注意的是这个条件不是两直线平行的充要条件,所以一定代回进行检验,这也是学生经常会出现错误的地方.‎ ‎18．（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；‎ ‎（2）求过点、和的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；‎ ‎（2）设圆的方程为，代入题中三点坐标，列方程组求解即可 试题解析：‎ ‎（1）由点和点可得，线段的中垂线方程为．‎ ‎∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，‎ ‎∴，解得，即所求圆的圆心，‎ ‎∴ 半径，所求圆的方程为； ‎ ‎（2）设圆的方程为，‎ ‎∵ 圆过点、和，‎ ‎∴ 列方程组得 解得，‎ ‎∴ 圆的方程为．‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ .‎ ‎ 又∵平面，平面,∴平面；‎ ‎（2）取中点，连接，‎ ‎∵分别为的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴平面，‎ ‎∴直线与平面所成角为，‎ ‎∵，，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎20．设正项等比数列且的等差中项为．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，‎ 由题意，得，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【思路点拨】（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；‎ ‎（2）根据第一问得到，，从而得到，再裂项求和即可.‎ ‎21．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．‎ ‎（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.‎ ‎（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）‎ ‎【答案】（1）；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．‎ ‎【解析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数，再应基本不等式求其最小值及取得极小值时：‎ 解：设楼房每平方米的平均综合费用，，当且仅当时，等号取到.所以，当时，最小值为5000元.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为 ‎，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，‎ ‎【解析】（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；‎ ‎（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；‎ ‎（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用 ‎，解出方程组可得出所过定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，化简可得：，‎ 所以动点的轨迹方程为.‎ 曲线是以为圆心，为半径的圆；‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设，即，‎ 圆心到的距离为 ∵ ‎ ‎∴, 即，解得或，‎ ‎∴的方程为或；‎ ‎（3）证明：∵在直线上，则设 ‎∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，‎ ‎∴经过的三点的圆是以为直径的圆，‎ 则方程为，‎ 整理可得,‎ 令，且,‎ 解得或 则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题。‎