高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第66课 课时分层训练10

高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第66课 课时分层训练10

课时分层训练(十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ ‎[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．‎ 设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，‎ 且AN＝.‎ ‎∵ON＝3，∴OA＝＝2，‎ ‎∴N(，±2)．‎ ‎∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，‎ 故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.‎ 抛物线x2＝y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝－.‎ 抛物线x2＝－y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝.‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，‎ 则x1x2＝＝4，‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 设AB的中点为M，‎ 则AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又AB＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎3．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.‎ ‎(1)求动点Q的轨迹方程C；‎ ‎(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由. 【导学号：62172352】‎ ‎[解]　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，‎ 所以RQ是线段FP的垂直平分线．‎ 因为|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，所以PQ＝QF.‎ 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．‎ ‎(2)弦长TS为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，‎ 圆的半径r＝MA＝，‎ 则TS＝2 ‎＝2，‎ 因为点M在曲线C上，所以x0＝，‎ 所以TS＝2＝2，是定值．‎ ‎4．(2017·苏北四市摸底)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.‎ 图663‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.‎ 所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．‎ 由得x2－4kx＋4＝0.‎ 则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.‎ 所以kA′B＝＝＝.‎ 于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．‎ 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.‎ 当x＝0时，y＝1，‎ 所以直线A′B过定点(0,1)．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·泰州模拟)如图664，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ 图664‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值. ‎ ‎【导学号：62172353】‎ ‎[解]　(1)由已知条件可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．‎ 因为点P(2,1)在抛物线上，‎ 所以22＝2p·1，解得p＝2，‎ 故所求抛物线的方程是x2＝4y.‎ ‎(2)由题知kAP＋kBP＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以x1＋x2＝－4，‎ 所以kAB＝＝＝＝－1，所以直线AB的斜率为定值．‎ ‎2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 因为＝2 ，所以y1＝－2y2.‎ 联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2|‎ ‎ ＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎3．(2017·扬州模拟)如图665，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．‎ 图665‎ ‎(1)求p，t的值；‎ ‎(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，直线AM与抛物线的另一个交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．‎ ‎[解]　(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.‎ 将点P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2.‎ 因为t<0，所以t＝－2.‎ ‎(2)依题意知点M的坐标为(2,0)，‎ 直线AM的方程为y＝－x＋.‎ 联立解得B，‎ 所以k1＝－，k2＝－2.‎ 由k1＋k2＝2k3，得k3＝－，‎ 从而直线PC的方程为y＝－x＋，‎ 联立解得C.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎[解]　由题意知F，‎ 设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，‎ 则ab≠0，且A，B，P，Q，R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a|FD＝|b－a|，S△PQF＝.‎ 由题意可得|b－a|＝，‎ 所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.‎ 所以，所求的轨迹方程为y2＝x－1.‎