数学卷·2018届山东省济南市长清一中大学科技园校区高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山东省济南市长清一中大学科技园校区高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山东省济南市长清一中大学科技园校区高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎2．已知等差数列an中，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（　　）‎ A．30 B．15 C． D．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎5．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎6．等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A． B．‎ C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}‎ ‎10．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．9‎ ‎11．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎12．已知点（a，b）在直线x+3y﹣2=0上，则u=3a+27b+3的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．9‎ ‎　‎ 二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=　　．‎ ‎14．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知=，则等于　　．‎ ‎15．函数y=x+（x＞2）的最小值是　　．‎ ‎16．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是 　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．已知数列{an}是等比数列，首项a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，求数列{bn}的通项公式及前n项的和．‎ ‎18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎19．解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．‎ ‎20．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn．‎ ‎21．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC的面积．‎ ‎22．已知函数f（x）=x2+（a+2）x+5+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当x＞﹣1时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省济南市长清一中大学科技园校区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；‎ 若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；‎ 若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；‎ 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确 故选D ‎　‎ ‎2．已知等差数列an中，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（　　）‎ A．30 B．15 C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质，利用p+q=m+n时，ap+aq=am+an，求出a3的值，进而即可得到a1+a2+a3+a4+a5的值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列an中，a2+a4=6，‎ ‎∴a3=3，‎ 则a1+a2+a3+a4+a5=5•a3=15‎ 故选B ‎　‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先根据正弦定理以及题设条件可知==sinA进而求得sinB的值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴==sinA ‎∵sinA≠0‎ ‎∴sinB=‎ 故选B ‎　‎ ‎4．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21‎ 故3+3q+3q2=21，‎ ‎∴q=2，‎ ‎∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】先将a2﹣c2+b2=ab变形为，再结合余弦定理的公式可求出cosC的值，进而可求出C的值．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴‎ ‎∴C=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．‎ ‎【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，‎ 化简得：2n=64，解得：n=6．‎ 故选D ‎　‎ ‎7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理；等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．‎ ‎【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，‎ 由c=2a，则b=a，‎ ‎=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A． B．‎ C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∴ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0‎ 即﹣1+2=﹣‎ ‎（﹣1）×2=‎ 解得a=﹣1，b=1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0 ‎ 解得 ‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．9‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，‎ ‎∴+==5+（）≥9‎ 故+的最小值是9‎ 故选D ‎　‎ ‎11．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：‎ 由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，‎ 因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，‎ 但z没有最大值．‎ 故选B ‎　‎ ‎12．已知点（a，b）在直线x+3y﹣2=0上，则u=3a+27b+3的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．9‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于3a•27b=3a+3b是常数，利用基本不等式求3a+27b的最小值，从而得出u=3a+27b+3的最小值．‎ ‎【解答】解：∵‎ 又∵x+2y=2‎ ‎∴‎ ‎=9‎ 当且仅当3a=27b即a=3b时取等号 故选D ‎　‎ 二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=　30°　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先根据正弦定理利用题设条件求得sinC，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴sinC=c•=2×=‎ ‎∴C=30°‎ ‎∴∠B=180°﹣120°﹣30°=30°‎ 故答案为：30°‎ ‎　‎ ‎14．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知=，则等于　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由等差数列的性质和求和公式可得===，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得： =====‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=x+（x＞2）的最小值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0．‎ ‎∴函数y=x+=（x﹣2）++2+2=2+2，当且仅当x=+2时取等号．‎ ‎∴函数y=x+（x＞2）的最小值是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，我们易根据对数函数的单调性，判断出其真数部分大于1恒成立，构造真数部分的函数，易判断其在[2，+∞）的单调性，进而得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正 ‎∴g（x）=x2﹣x+a＞1在[2，+∞）上恒成立 又∵g（x）=x2﹣x+a在[2，+∞）单调递增 ‎∴g（2）=2+a＞1恒成立 即a＞﹣1‎ 故答案为：a＞﹣1‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．已知数列{an}是等比数列，首项a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，求数列{bn}的通项公式及前n项的和．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，利用通项公式和已知a1=2，a4=16，即可解得q．‎ ‎（II）设等差数列{bn}的公差为d，利用等差数列的通项公式和已知b3=a3=23=8，b5=a5=25，可得，解得b1，d．即可得出数列{bn} 的通项公式及前n项的和．‎ ‎【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵首项a1=2，a4=16，∴16=2×q3，解得q=2．‎ ‎∴．‎ ‎（II）设等差数列{bn}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴bn=﹣16+（n﹣1）×12=12n﹣28．‎ ‎=6n2﹣22n．‎ ‎　‎ ‎18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．‎ ‎（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，‎ 由△ABC为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．‎ 所以，．‎ ‎　‎ ‎19．解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先由不等式：（x﹣1）（x+a）＞0，得出其对应方程（x﹣1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式 ‎【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…‎ 当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；‎ 当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；‎ 当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…‎ 综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；‎ 当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；‎ 当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1），即可证明数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（2）由（1）可得：．再利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出Sn．‎ ‎【解答】解：（1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1），‎ 又a1+1=2，‎ ‎∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2．‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎∴．‎ ‎∴Sn=﹣n=2n+1﹣2﹣n．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；诱导公式的作用；余弦定理．‎ ‎【分析】（I）把已知的等式变形，利用正弦定理化简，再根据两角和与差的正弦函数公式及诱导公式进行变形，根据sinA不为0，在等式两边同时除以sinA，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（II）由第一问求出的B的度数，得到sinB的值，同时利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方化简后，把cosB，b，及a+c的值代入，求出ac的值，最后由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（I）由已知得，由正弦定理得．‎ 即2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC，‎ 即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分 ‎∵B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，‎ ‎∴，∴；…6分 ‎（II）由（I）得．…7分 将代入b2=a2+c2﹣2accosB中，得ac=3．…10分 ‎∴．…12分．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x2+（a+2）x+5+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当x＞﹣1时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（I）函数的两根一正一负可以用△＞0和两根之积＜0判断解决 ‎（II）当x＞﹣1时，不等式f（x）≥0恒成立，就是a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，由x＞﹣1得x+1＞0，整理不等式求解即可 ‎【解答】解：（Ⅰ）设方程x2+（a+2）x+5+a=0有一正根和一个负根，‎ 则，‎ 解得a＜﹣5‎ 故答案为a＜﹣5‎ ‎（Ⅱ）当x＞﹣1时，不等式x2+（a+2）x+5+a≥0恒成立，‎ 即a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，，‎ 而，当且仅当x=1时等号成立，‎ 所以a≥﹣4．‎ 故答案为a≥﹣4‎ ‎　‎ ‎2017年1月10日