福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题

福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题

‎2019年春季南侨中学高二年段第二阶段考试理科 数学试题 命题人：陈智君 审核人：龚万玺 满分： 150 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设，其中x，y是实数，则　　‎ A. 1 B. C. D. 2‎ 2. 下列求导运算正确的是　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法    ‎ A. 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 4. 如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为    ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ 5. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为　　．‎ A. B. 7 C. D. 28‎ 6. 已知随机变量，且，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 7. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ 8. 下列说法错误的是　　‎ A. 回归直线过样本点的中心 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 1. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　　‎ A. B. C. D. ‎ 2. 内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(    )‎ A. R B. 2R C. D. ‎ 3. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 若函数在单调递增，则a的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 若是偶函数，则______．‎ 6. 已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，，，，则内切球的半径______．‎ 7. 有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有_________种不同的分派方法用数字作答 8. 已知函数，其中e是自然对数的底数若则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. ‎（12分）已知函数，在点处的切线方程为，求： 实数a，b的值；             函数的单调区间以及在区间上的最值．（10分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ 设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． ‎ 2. ‎（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 Ⅰ求图中a的值；Ⅱ根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？Ⅲ将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式： ，其中 ‎ ‎ ‎（12分）如图，在四棱锥中，，且． 证明：平面平面PAD； 若，，求二面角的余弦值． ‎ ‎ ‎ 1. ‎（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点． 求椭圆C的方程； 若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值． ‎ ‎22.（12分）已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明． ‎ ‎答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. B 2. D 3. D 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. D 10. C 11. B 12. C ‎ ‎13.   ‎ ‎14.   ‎ ‎15. 34  ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：因为在点处的切线方程为， 所以切线斜率是， 且， 求得，即点， 又函数，则， 所以依题意得 解得． 由知 所以， 令，解得或， 当或； 当， 所以函数的单调递增区间是，， 单调递减区间是， 又， 所以当x变化时，和变化情况如下表：‎ X ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎4‎ 极小值 ‎1‎ 所以当时，， ．  ‎ ‎18. 解：从10人中选出2人的选法共有种， 事件A：参加次数的和为4，情况有：人参加1次，另1人参加3次，人都参加2次； 共有种， 事件A发生概率：． 的可能取值为0，1，2． ， ， 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望．  ‎ ‎19. 解：Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知， 解得；Ⅱ由频率分布直方图知，晋级成功的频率为， 所以晋级成功的人数为人， 填表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关， 根据上表数据代入公式可得， 所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；Ⅲ由频率分布直方图知晋级失败的频率为， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈， 这人晋级失败的概率为， 所以X可视为服从二项分布，即， 数学期望为， 方差为．  ‎ ‎20. 证明：，，， ， ， 又，且平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAB， 平面平面PAD； 解：，，四边形ABCD为平行四边形， 由知平面PAD，，则四边形ABCD为矩形， 在中，由，，可得为等腰直角三角形， 设，则， 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， ‎ ‎ 则：，，0，，， ，，， 设平面PBC的一个法向量为， 由，得，取，得， 平面PAD，平面PAD，， 又，， 平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，， ， 由图可知，二面角为钝角， 二面角的余弦值为．  ‎ ‎21. 解：抛物线的准线方程为，由题意知． 故设椭圆C的方程为． 则由题意可得，解得． 故椭圆C的方程为． 证明：直线的斜率为，且不过点，可设直线 ‎． 联立方程组，消y得． 又设，， 故有， 所以 ，所以为定值0．  ‎ ‎22. 解：因为， 求导，， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得：． 因为当、当， 所以在上单调递增、在上单调递减． 综上可知：当时在上单调递增， 当时，在上单调递增、在上单调递减； 证明：由可知：当时在上单调递增、在上单调递减， 所以当时函数取最大值 ‎ 从而要证，即证， 即证，即证． 令，则，问题转化为证明： 令，则， 令可知，则当时，当时， 所以在上单调递增、在上单调递减， 即，即式成立， 所以当时，成立．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】 本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键，属于基础题． 根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】 解：， ， 即，解得， 即， 故选B．‎ ‎2. 【分析】 本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题． 根据导数的运算法则求导即可判断． 【解答】 解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C 错误； 对于D：，故D正确． 故选D．‎ ‎3. 【分析】 先排5位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑法，插入到5个学生符合要求的4个空位中，易得其有种坐法，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法． 【解答】 解：先排5位学生，有种坐法， 2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法， 将这个“整体”插在5个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有4个空位可选， 则共有种坐法． 故选D．‎ ‎4. 【分析】 本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求． 由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求． 【解答】 解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于，故ABC错误，D正确． 故选D．‎ ‎5. 【分析】 本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0‎ 求出常数项． 【解答】 解：依题意，， ． 二项式为，其展开式的通项 令解得． 故常数项为． 故选B．‎ ‎6. 【分析】 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题． 根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得． 【解答】 解：随机变量，正态曲线的对称轴是， ，， ， ． 故选B．‎ ‎7. 【分析】 本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查． 判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 【解答】 解：由题意可知：同学3次测试满足X∽， 该同学通过测试的概率为． 故选A．‎ ‎8. ‎ ‎【分析】 本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题． 利用线性回归的有关知识即可判断出． 【解答】 解：回归直线过样本点的中心，正确； B.两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确； C.在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加个单位，正确； D.对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确． 综上可知：只有D不正确． 故选D．‎ ‎9. 解：已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 可得，可得． 的展开式中奇数项的二项式系数和为：． 故选：D． 直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．‎ ‎10. 【分析】‎ 本题考查导数的应用．‎ 根据题意圆锥的体积，利用导数求解最大值即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设圆锥的高为h，半径为r，‎ 所以，‎ 解得，‎ 圆锥的体积，‎ 所以， 令，解得 ，‎ 则当时，V取得最大值．‎ 故选C．‎ ‎11. 【分析】 本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，甲获得冠军的概率为， 其中比赛进行了3局的概率为， 所求概率为， 故选B．‎ ‎12. 【分析】 本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，对t讨论，分，，，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】 解：函数的导数为： ， 由题意可得恒成立， 即为， 即有， 设 ‎， 即有， 当时，不等式显然成立； 当时，， 由在递增， 可得时，取得最大值， 可得，即； 当时，， 由在递增， 可得时，取得最小值1， 可得，即． 综上可得a的范围是 故选C．‎ ‎13. 解：若是偶函数， 则，即， 故， 则 ， 故答案为：． 根据函数的奇偶性求出a的值，求定积分的值即可． 本题考查了函数的奇偶性问题，考查求定积分的值，是一道中档题．‎ ‎14. 【分析】 本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC 的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此算出内切球的半径． ​ 【解答】 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的． 根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径， 根据体积相等可得， 即内切球的半径， 故答案为．‎ ‎15. 【分析】 利用分类计数原理将该问题分成两类，对A公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及排列组合的综合应用进行解答即可． 本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题． 【解答】 解：第一类，A公司只有1个女生，有种分派方案，则B，C公司分派人数可以为2，2或者1，3或者3，1共3种分派方案，共种，所以一共有种分派方案， 第二类，A公司有2个女生，只有1种分派方案，B，C公司的分派人数只能是1，2或者2，1；则有种， 根据分类计数原理共有种， 故答案为34．‎ ‎16. 【分析】 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 求出的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得在R上递增；再由奇偶性的定义，可得为奇函数，原不等式即为，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】 解：‎ ‎， 可得在R上递增； 又， 可得为奇函数， 则， 即有 由， ， 即有， 解得， 故答案为：‎ ‎17. 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力． 求出切线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用切点处的导数值等于切线斜率，即可求出a，b； 求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．‎ ‎18. 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用． 选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率． 随机变量X的可能取值为0，1，2分别求出，，的值，由此能求出X的分布列和．‎ ‎19.Ⅰ由频率和为1，列出方程求a的值；Ⅱ由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数， 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；Ⅲ由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率， 知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望； 本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．‎ ‎20. 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题． 由已知可得，，再由，得，利用线面垂直的判定可得平面PAD，进一步得到平面平面PAD； 由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由知平面PAD，得，则四边形ABCD为矩形，设，则，取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．‎ ‎21. 求出抛物线的准线方程为，推出，故设椭圆C的方程为点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程． 直线的斜率为，且不过点，设直线联立方程组，消y，设，，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值． 本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力．‎ ‎22. 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 函数求导可知，分、、三种情况讨论与0的大小关系可得结论； 通过可知，进而转化可知问题转化为证明：当时进而令，利用导数求出的最大值即可．‎