2018届二轮复习（理）专题一　函数与导数、不等式第4讲课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题一　函数与导数、不等式第4讲课件（全国通用）

第 4 讲　导数与函数的单调性、极值、 最值问题 高考定位　 利用导数研究函数的性质 ， 能进行简单的定积分计算 ， 以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体 ， 研究函数的单调性、极值、最值 ， 并能解决简单的问题 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 若 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)·e x － 1 的极值点，则 f ( x ) 的极小值为 ( 　　 ) A. － 1 B. － 2e － 3 C.5e － 3 D.1 解析 　 f ′( x ) ＝ [ x 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ a － 1]·e x － 1 ， 则 f ′( － 2) ＝ [4 － 2( a ＋ 2) ＋ a － 1]·e － 3 ＝ 0 ⇒ a ＝－ 1 ， 则 f ( x ) ＝ ( x 2 － x － 1)·e x － 1 ， f ′ ( x ) ＝ ( x 2 ＋ x － 2)·e x － 1 ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1 ， 当 x < － 2 或 x >1 时 ， f ′ ( x )>0 ， 当－ 2< x <1 时 ， f ′ ( x )<0 ， 则 f ( x ) 极小值为 f (1) ＝－ 1. 答案 　 A 2. (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ ln x ＋ 2 的切线，也是曲线 y ＝ ln( x ＋ 1) 的切线，则 b ＝ ________. 答案　 1 － ln 2 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x (e x － a ) － a 2 x ，其中参数 a ≤ 0. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 若 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围 . 1. 导数的几何意义 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ f ′ ( x 0 ) ，相应的切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ). 易错提醒 　 求曲线的切线方程时 ， 要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线 ， 前者点 P 为切点 ， 后者点 P 不一定为切点 . 考 点 整 合 3. 利用导数研究函数的单调性 (1) 导数与函数单调性的关系 . ① f ′ ( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件，如函数 f ( x ) ＝ x 3 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增，但 f ′( x ) ≥ 0. ② f ′ ( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f ′( x ) ＝ 0 时，则 f ( x ) 为常数函数 . (2) 利用导数研究函数单调性的方法 . ① 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. ② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0 在单调区间上恒成立问题来求解 . 4. 利用导数研究函数的极值、最值 (1) 若在 x 0 附近左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极大值；若在 x 0 附近左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 设函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) 内可导，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 . 易错提醒　 若函数的导数存在 ， 某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 . 热点一　导数与定积分的几何意义 【例 1 】 (1) (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ e － x － 1 － x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， 2) 处的切线方程是 ________. 探究提高　 1. 利用导数的几何意义解题 ， 主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化 ， 其中关键是确定切点的坐标 . 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 ， 则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系 ， 进而和导数联系起来求解 . 2 . 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1) 正确画出几何图形 ， 结合图形位置 ， 准确确定积分区间以及被积函数 ， 从而得到面积的积分表达式 ， 再利用微积分基本定理求出积分值 . (2) 根据图形的特征 ， 选择合适的积分变量 . 在以 y 为积分变量时 ， 应注意将曲线方程变为 x ＝ φ ( y ) 的形式 ， 同时 ， 积分上、下限必须对应 y 的取值 . 答案　 (1)C 　 (2)1 热点二　利用导数研究函数的单调性 命题角度 1 　确定函数的单调性 ( 区间 ) 探究提高 　 1. 求函数的单调区间 ， 只需在函数的定义域内解 ( 证 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. 2 . 解答本例容易出现以下错误： (1) 忽略函数的定义域 ， 在函数解析式中含有对数必须满足 x >0. (2) 对 k 分类讨论不全 ， 题目中已知 k >0 ， 对 k 分类讨论时容易对标准划分不准确 ， 讨论不全面 . 【迁移探究 1 】 若将本例中的条件 “ k >0” 变为 “ k <0” ，其他条件不变， f ( x ) 在 (0 ， 2) 上的单调性如何？ 【迁移探究 2 】 在本例 (1) 中，将 “ (0 ， 2) ” 改为 (0 ，＋ ∞ ) ，其他条件不变，求函数 f ( x ) 的单调区间 . 探究提高　 1. 已知函数的单调性 ， 求参数的取值范围 ， 应用条件 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) 恒成立 ， 解出参数的取值范围 ( 一般可用不等式恒成立的理论求解 ) ，应注意参数的取值是 f ′( x ) 不恒等于 0 的参数的范围 . 2 . 若函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上不单调 ， 则转化为 f ′ ( x ) ＝ 0 在 ( a ， b ) 上有解 . 【训练 2 】 已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ ( － x 2 ＋ ax )e x ( x ∈ R ， e 为自然对数的底数 ). (1) 当 a ＝ 2 时，求函数 f ( x ) 的单调递增区间； (2) 若函数 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上单调递增，求 a 的取值范围； (3) 函数 f ( x ) 是否为 R 上的单调减函数？若是，求出 a 的取值范围？若不是，请说明理由 . (2) 因为函数 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上单调递增， 所以 f ′( x ) ≥ 0 对 x ∈ ( － 1 ， 1) 都成立 . 因为 f ′( x ) ＝ ( － 2 x ＋ a )e x ＋ ( － x 2 ＋ ax )e x ＝ [ － x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ]e x ， 所以 [ － x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ]e x ≥ 0 对 x ∈ ( － 1 ， 1) 都成立 . 因为 e x ＞ 0 ，所以－ x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ≥ 0 ， (3) 若函数 f ( x ) 在 R 上单调递减，则 f ′( x ) ≤ 0 对 x ∈ R 都成立，即 [ － x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ]e x ≤ 0 对 x ∈ R 都成立 . 因为 e x ＞ 0 ，所以 x 2 － ( a － 2) x － a ≥ 0 对 x ∈ R 都成立 . 所以 Δ ＝ ( a － 2) 2 ＋ 4 a ≤ 0 ，即 a 2 ＋ 4 ≤ 0 ，这是不可能的 . 故函数 f ( x ) 不可能在 R 上单调递减 . 热点三　利用导数研究函数的极值和最值 命题角度 1 　求函数的极值、最值 解　 (1) ∵ f ( x ) ＝ e x · cos x － x ， ∴ f (0) ＝ 1 ， f ′ ( x ) ＝ e x (cos x － sin x ) － 1 ， ∴ f ′ (0) ＝ 0 ， ∴ y ＝ f ( x ) 在 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y － 1 ＝ 0·( x － 0) ，即 y ＝ 1. 命题角度 2 　与函数极值点个数有关问题 【例 3 － 2 】 (2017· 绵阳诊断 ) 已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ a e x － x － 1 ， g ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1)(e ＝ 2.718 28 … 是自然对数的底数 ). (1) 讨论函数 f ( x ) 极值点的个数； (2) 若 a ＝ 1 ，且命题 “ ∃ x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ， f ( x )< kg ( x ) ” 是真命题，求实数 k 的取值范围 . 解 　 (1) 因为 f ( x ) ＝ a e x － x － 1 ，所以 f ′( x ) ＝ a e x － 1 ， 当 a ≤ 0 时，对 ∀ x ∈ R ， f ′ ( x ) ＝ a e x － 1<0 ， 所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数 f ( x ) 没有极值点 . 当 a >0 时，令 f ′( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝－ ln a . 若 x ∈ ( － ∞ ，－ ln a ) ，则 f ′( x )<0 ，所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ ln a ) 上是减函数， 若 x ∈ ( － ln a ，＋ ∞ ) ，则 f ′( x )>0 ，所以 f ( x ) 在 ( － ln a ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 当 x ＝－ ln a 时， f ( x ) 取得极小值为 f ( － ln a ) ＝ ln a ， 函数 f ( x ) 有且仅有一个极小值点 x ＝－ ln a . 所以当 a ≤ 0 时， f ( x ) 没有极值点，当 a >0 时， f ( x ) 有 1 个极小值点 . (2) 命题 “ ∃ x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ， f ( x )< kg ( x ) ” 是真命题，即不等式 f ( x )< kg ( x ) 在区间 [0 ，＋ ∞ ) 内有解 . 若 a ＝ 1 ，则设 F ( x ) ＝ f ( x ) － kg ( x ) ＝ e x ＋ k ln( x ＋ 1) － ( k ＋ 1) x － 1 ， ① 当 k ≤ 1 时， h ′ ( x ) ≥ 0 ，所以 h ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， h ( x ) ≥ h (0) ＝ 0 ，即 F ′( x ) ≥ 0 ，所以 F ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， 所以 F ( x ) ≥ F (0) ＝ 0 ，即 f ( x )< kg ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 内无解 . 所以 h ′( x ) 在 (0 ， k － 1) 上存在唯一零点 x 0 ， 当 x ∈ [0 ， x 0 ) 时， h ′ ( x )< h ′( x 0 ) ＝ 0 ， h ( x ) 在 [0 ， x 0 ) 上单调递减， 从而 h ( x ) ≤ h (0) ＝ 0 ，即 F ′( x ) ≤ 0 ，所以 F ( x ) 在 [0 ， x 0 ) 上单调递减， 所以当 x ∈ (0 ， x 0 ) 时， F ( x )< F (0) ＝ 0 ，即 f ( x )< kg ( x ). 所以不等式 f ( x )< kg ( x ) 在区间 [0 ，＋ ∞ ) 内有解 . 综上所述，实数 k 的取值范围为 (1 ，＋ ∞ ). 探究提高　 1. 求函数 f ( x ) 的极值 ， 则先求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根 ， 再检查 f ′( x ) 在方程根的左右附近函数值的符号 . 2 . 若已知极值大小或存在情况 ， 则转化为已知方程 f ′( x ) ＝ 0 根的大小或存在情况来求解 . 3 . 求函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 的最值时 ， 在得到极值的基础上 ， 结合区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 与 f ( x ) 的各极值进行比较得到函数的最值 . 1. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用 “∪” 连接，而只能用逗号或 “ 和 ” 字隔开 . 2. 可导函数在闭区间 [ a ， b ] 上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 . 3. 可导函数极值的理解 (1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2) 对于可导函数 f ( x ) ， “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′( x 0 ) ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件； (3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 . 4. 求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论 . 5. 求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想 .