2018届二轮复习百考不厌的不等式性质问题学案（全国通用）
专题39 百考不厌的不等式性质问题
考纲要求:
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．5.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．6.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
基础知识回顾:
1．两个实数大小的比较原理
(1)差值比较原理：设a，b∈R，则a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0.
(2)商值比较原理：设a，b∈R＋，则a＞b⇔＞1，a＝b⇔＝1，a＜b⇔＜1.
2．不等式的性质
性质(1)：a＞b⇔b＜a(对称性)． 性质(2)：a＞b，b＞c⇒a＞c(传递性)．
性质(3)：a＞b⇔a＋c＞b＋c. 性质(4)：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；c＜0⇒ac＜bc.
性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d(加法法则)． 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd(乘法法则)．
性质(7)：a＞b＞0，n∈N*⇒an＞bn(乘方法则)． 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*⇒＞(开方法则)．
性质(9)：ab＞0，a＞b⇒＜(倒数法则)．
3．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<;(2)a<0
b>0,0.
4.一元二次不等式的解法
设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
的两个根且x1＜x2.
(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为；若Δ＜0，则不等式的解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为∅； 若Δ＜0，则不等式的解集为∅.
5.一元二次不等式恒成立的条件
（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
应用举例:
类型一、利用不等式性质比较两个数(式)的大小
【例1】【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三上学期期中考试】已知， ，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【例2】已知a＞0，b＞0，a≠b，试比较aabb与的大小．
【答案】见解析
【解析】(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
(2)∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，＞0. ∴,
若a＞b＞0，则a－b＞0，＞1， ＞1，
若b＞a＞0，则a－b＜0,0＜＜1，＞1.
综上所述，可知aabb＞.
点评：(1)作差比较法的一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解，有理化等方法把差式变成积式或完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商比较法的一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．用作商比较法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
类型二、不等式的性质与充要条件相结合
【例3】【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】对于实数，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【例4】【贵州省遵义市第四中学2016届高三上学期第四次月考】．是的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要
【答案】C
【解析】因为时，可以 ， 且 时， ,所以是的既不充分又不必要条件，故选C.
【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查不等式的性质，属于容易题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，也可以用特例法进行判断，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
类型三、不等式的性质与命题真假判断相结合
【例5】【2017四川省成都市高三摸底】设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,在单调递增,所以假，若都小于，则，又根据基本不等式可得,矛盾， 真, 根据真值表知为真,故选B.
【例6】【2017广西南宁高三模拟】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
点评：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
类型四、利用不等式的性质求范围
【例7】【2017湖南衡阳八中月考】已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－1)．
【解析】∵ab2>a>ab，∴a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；当a<0时，b2<10即故A不对；
对于B： ，当时， 故B不对；
对于C：当 时， ，所以；当时， 成立，所以C对；
对于D：当 时，符合但故D不对；
故选C
3．【四川省宜宾市高2018届高三（上）半期】对于任意实数 以下四个命题： ； ； ； .其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于,命题正确;对于,命题正确;对于, 不正确,如;对于不正确,如;综上可得,正确的个数是个,故选B.
4．【四川省宜宾市高2018届高三（上）半期数学（理科）测试题】对于任意实数 以下四个命题： ； ； ； .其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】B
5．【河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评】若a＜b＜0，则下列不等关系中，不能成立的是
A. ＞ B. ＞ C. ＜ D. ＞
【答案】B
【解析】∵a＜b＜0，
∴a＜a﹣b＜0
由在上单调递减知：
因此B不成立．
故选：B．
6．【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】选项A中，当c=0时不符，所以A错。选项B中，当时，符合，不满足，B错。选项C中, ,所以C错。选项D中，因为 ，由不等式的平方法则， ，即。选D.
7．【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
8．设，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由可设，代入选项验证可知成立,故选D.
考点：不等式
9．设a＞b＞c＞0,x=，y=，z=，则x,y,z的大小顺序是_________.
【答案】z＞y＞x
【解析】∵a＞b＞c＞0,∴y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)＞0,∴y2＞x2，即y＞x, z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=2a(b-c)＞0,故z2＞y2，即z＞y,故z＞y＞x.
10．已知△ABC三边长是a，b，c，且m>0.求证：＋>.
解析 法一：＋－＝
