数学卷·2018届黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期开学考试数学（理）试卷 （解析版）

数学卷·2018届黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期开学考试数学（理）试卷 （解析版）

黑龙江省大庆市铁人中学2016-2017学年高二上学期开学考试数学（理）‎ 一、选择题：共12题 ‎1．已知全集，则=‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查集合的基本运算,指数、对数函数.由题意得,,所以=,=.选D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=_____.‎ A.- B.- C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查任意角的三角函数、二倍角公式及已知一个角的三角函数值求其他三角函数值等内容,也对正、余弦的二次齐次式进行了考查.　由角θ的终边在直线y=2x上可得tan θ=2,cos 2θ=cos2θ-sin2θ===-.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．方程的解所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查函数与方程.构造函数,单增,,,即,由零点存在定理得函数在区间(0,1)上存在零点,即方程的解所在的区间为(0,1).选A.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．若,则下列恒成立的不等式是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查不等关系与不等式.选项A中,,则,排除A;选项B中,,则,排除B;选项D中,,则,排除D;选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5．要得到图像,需要将函数的图像 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查三角函数的图像.向右平移个单位可得.选D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．已知直线：，：互相垂直，则的值是 A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查两直线的位置关系.当时,,满足题意;当时,,即,解得;即的值是0或1.选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7．已知,则=‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查差角公式.由题意得====.选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8．在△ABC中，若，则下面等式一定成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查二倍角公式,和角公式.=,即,即,即=,所以,即.选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9．已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是 A.[,6] B.(-∞,]∪[6,+∞) C.(-∞,3]∪[6,+∞) D.[3,6]‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出约束条件表示的可行域(如图).可行域为△ABC.‎ 设，故选A.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10．如图，在四面体中，分别是与的中点，若则与所成的角为 A. B.45° C.60° D.30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查异面直线所成的角.取的中点G,连接;而分别是与的中点，所以,,,,为与所成的角;而,所以,在直角三角形中,,所以,即与所成的角为30°.选D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查新定义数列、数列的通项公式及裂项抵消法.由题意，得，即，所以数列是等差数列，且首项为5，公差为10，则,,==，所以==.故选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积.令直角三角形的直角边为,斜边为,则;则=，，,可得.选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题：共4题 ‎13．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为          .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】本题考查三视图.还原出空间几何体(如图所示),平面,,,所以三棱锥的侧视图面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14．某同学在借助计算器求“方程的近似解(精确到0.1)”时，设，算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是.那么他所取的的4个值中最后一个值是            .‎ ‎【答案】1.8125‎ ‎【解析】本题考查二分法.由题意得方程的近似解在上;将分为,,可得第1个的值为;由方程的近似解是,将分为,,可得第2个的值为;由方程的近似解是,将分为,,可得第3个的值为;由方程的近似解是,将分为,,可得第4个的值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．若，若与的夹角为钝角，则的取值范围是     ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意得,解得且;即的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16．是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个结论，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________.‎ ‎【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)‎ ‎【解析】本题考查空间中点线面之间的位置关系.是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线,若,,,则,即①③④⇒②；若,,,则,即②③④⇒①.所以正确的命题是①③④⇒②(或②③④⇒①).‎ ‎ ‎ 三、解答题：共7题 ‎17．已知直线 ‎(1)证明：直线过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；‎ ‎(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设△的面积为，求的最小值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1)证明：直线可化为;‎ 令,可得,;‎ 即直线过定点.‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，则,解得.‎ ‎(3)由题意得,,且,解得;‎ 所以===4(当且仅当时等号成立)；‎ 所以的最小值为4，此时.‎ ‎【解析】本题考查直线的方程.(1)直线化为,即过定点.(2)若直线不经过第四象限，则,解得.(3)4，此时.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．在平面直角坐标系中，点(0,3)，直线：.设圆的半径为1，圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1)圆心是和的交点,解得点(3,2),于是切线的斜率必存在.‎ 设过的圆的切线方程为，‎ 由题意得＝1，解得 故所求切线方程为＝3或.‎ ‎(2)因为圆心在直线上，所以圆的方程为.‎ 设点，因为，所以，‎ 化简得 所以点在以为圆心，2为半径的圆上.‎ 由题意，点M(x，y)在圆上，所以圆与圆有公共点，则，‎ 即1≤≤3，整理得1≤≤9.‎ 由，得；‎ 由得.‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.(1)先求得(3,2),由题意得＝1,解得;故所求切线方程为＝3或. (2)因为,整理得,圆与圆有公共点，则,解得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．如图所示，在四边形中，，且，.‎ ‎(Ⅰ)求△的面积；‎ ‎(Ⅱ)若，求的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由题意得==,所以;‎ 所以△的面积.‎ ‎(Ⅱ)在△中,由余弦定理得=12,即;‎ 在△中,由正弦定理得:,解得=4.‎ ‎【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(Ⅰ)由题意得=,所以;所以△的面积.(Ⅱ)在△中,由余弦定理得;在△中,由正弦定理得=4.‎ ‎【备注】正弦定理:，余弦定理:.‎ ‎ ‎ ‎20．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，,,‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：⊥平面.‎ ‎【答案】(1)设与交于点.‎ ‎∵，且∴四边形为平行四边形,所以.‎ ‎∵ ⊂平面，，∴平面.‎ ‎(2)连接.∵，∴四边形为菱形.∴.‎ ‎∵四边形为正方形，∴.‎ 又∵面⊥面，且面面∴⊥平面,∴.‎ 又，∴⊥平面.‎ ‎【解析】本题考查线面平行与垂直.(1)证得:四边形为平行四边形.所以，∴平面.(2)证得:四边形为菱形,∴.而四边形为正方形，∴.又∵面⊥面，∴⊥平面,∴，∴⊥平面.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．在△ABC中，分别是角的对边，设.‎ ‎(1)若，且，求角C的大小；‎ ‎(2)若，求角的取值范围.‎ ‎【答案】(1),∴‎ ‎，∴,‎ ‎.∴‎ 又，∴‎ ‎(2)，则,.∴‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎【解析】本题考查二倍角公式,和角差角公式,余弦定理.(1)由得经三角变换得，∴(2)由得.由余弦定理得,.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．函数.‎ ‎(1)当时，求函数在[-1,3]的最值;‎ ‎(2)当，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时，,令;‎ ‎；‎ ‎ ；‎ 当；‎ ‎(2)法一：由，即.‎ 要 ‎；又令 在上单减，；‎ 法二：设，则 对恒成立即 ‎①当满足，‎ 满足 ‎②当即时，对称轴在单增 满足；‎ ‎③当，，‎ 由，解得，；‎ 综上：‎ ‎【解析】本题考查指数函数,函数的性质与最值.(1)当时,,换元法求得，；(2)等价于.而，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．已知等比数列的公比且成等差数列.数列的前项和为，且.‎ ‎(1)分别求出数列和数列的通项公式；‎ ‎(2)设，若，对于恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】(1)因为成等差数列,所以;‎ 联立,解得，所以；‎ 当时,；‎ 当时,；(当时,满足通项)‎ 所以()；‎ 所以，；‎ ‎(2)由题意得=；若，对于恒成立，即；‎ 而==；‎ 当时,；当()时,单增；当()时,单减；‎ 所以==,所以=；‎ 所以实数的最小值为.‎ ‎【解析】本题考查等差、等比数列,数列的通项与求和.(1)因为成等差数列,,解得，所以；由得；(2)由题意得,若，则=；所以实数的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎