2017-2018学年浙江省温州中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年浙江省温州中学高二上学期期中考试数学试题

机密★考试结束前 ‎2017-2018学年浙江省温州中学高二上学期期中考试 数学试题 2017.11‎ 命题：董玲臣、林月蕾 校 稿：赵大藏 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分100分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式：V=Sh 其中S表示柱体的底面积， h表示柱体的高 锥体的体积公式：V=Sh 其中S表示锥体的底面积， h表示锥体的高 台体的体积公式V=(S1++S2)h 其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎2．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(￢p)∧(￢q) D．p∨(￢q)‎ ‎3．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(　　)．‎ A．①② B．①④ C．②③ D．③④‎ ‎4．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．11‎ ‎5．如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有(　　)．‎ A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 ‎6．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是 ‎[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5 －4 B．－1 C．6－2 D． ‎8．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(　　)．‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎9．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)．‎ A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)‎ A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R 非选择题部分（共60分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每空3分，共21分。‎ ‎11．若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．‎ ‎12．一个儿何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3．‎ ‎13．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；‎ ‎②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．‎ 以上结论正确的个数是________．‎ ‎14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．‎ ‎15．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；‎ ‎③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；‎ ‎④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β．‎ 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．‎ ‎16．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．‎ ‎17．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．‎ 三、解答题：本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（8分）已知，如图一个空间几何体的三视图．‎ ‎（1）该空间几何体是如何构成的？‎ ‎（2）画出该几何体的直观图；‎ ‎（3）求该几何体的表面积和体积．‎ ‎19．（9分）已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．‎ ‎（1）求证：(a－2)(b－2)＝2；‎ ‎（2）求线段AB中点的轨迹方程；‎ ‎（3）求△AOB面积的最小值．‎ ‎20．（10分）三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．‎ ‎（1）证明：P是线段BC的中点；‎ ‎（2）求二面角A NP M的余弦值．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求轨迹C的方程；‎ ‎（2）设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ 机密★考试结束前 温州中学2017学年第一学期高二期中考试 数学试题 2017.11‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1-5 CAAAA6-10 BACDA 二、填空题：本大题共7小题，每空3分，共21分。‎ ‎11． 6 12． 13． 1 14． 90° ‎ ‎15．①② 16． 17． 三、解答题：本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．‎ ‎(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．‎ ‎(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．‎ ‎(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥 P－A′B′C′D′构成的简单几何体．‎ 由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，‎ 从而PQ＝＝＝，所以该几何体表面积 S＝(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝4＋12.‎ 体积V＝2×2×1＋×2×2×1＝.‎ ‎19．‎ ‎(1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1，‎ 即a2＋b2＋a2b2＋2ab－‎2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－‎2a2b－2ab2＝0，‎ 即ab＋2－‎2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.‎ ‎(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，‎ 得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．‎ ‎(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，‎ 解得≥2＋(舍去≤2－)，‎ 当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，所以△AOB面积的最小值是3＋2.‎ ‎20．解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.‎ 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，‎ 所以AO⊥BD，OC⊥BD.‎ 因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，‎ 所以BD⊥平面AOC.‎ 又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.‎ 取BO的中点H，连接NH，PH.‎ 又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，‎ 因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.‎ 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.‎ 因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.‎ 又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.‎ 又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.‎ 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．‎ ‎(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.‎ 由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.‎ 因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A NP M的一个平面角．‎ 由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.‎ 由俯视图可知，AO⊥平面BCD.‎ 因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.‎ 作BR⊥AC于R 因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，‎ 所以BR＝＝.‎ 因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，‎ 所以NQ∥BR.‎ 又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，‎ 所以NQ＝＝.‎ 同理，可得MQ＝.‎ 故△MNQ为等腰三角形，所以在等腰△MNQ中， cos∠MNQ＝＝＝.‎ 故二面角A NP M的余弦值是.‎ ‎21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，‎ 化简整理得y2＝2(|x|＋x)．‎ 故点M的轨迹C的方程为y2＝ ‎(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．‎ 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．‎ 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①‎ 当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.‎ 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.‎ 当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②‎ 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③‎ ‎(i)若由②③解得k<－1或k>.‎ 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．‎ ‎(ii)若或由②③解得k∈或－≤k<0.‎ 即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．‎ 当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．‎ 故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．‎ ‎(iii)若由②③解得－1

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