【数学】2018届一轮复习苏教版（理）高考专题突破三高考中的数列问题学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）高考专题突破三高考中的数列问题学案

‎1.(2017·苏州月考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为________.‎ 答案　2‎ 解析　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.‎ ‎2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________.‎ 答案　 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ ‎∵a5＝5，S5＝15，∴∴ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝n.‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎3.(2016·南通、淮安模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是________.‎ 答案　 解析　因为{an}为等比数列，且a2＝1，所以a1＝，a3＝q，a5＝q3，由a1，4a3，7a5成等差数列得8q＝＋7q3，解得q2＝1(舍去)或q2＝，故a6＝a2q4＝.‎ ‎4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.‎ 答案　－ 解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以 ＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若11，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为1，公比为q(q>0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得＝T3，求q.‎ 解　(1) 由题意得 ‎②－①，得d＝4＋.‎ 因为k∈N*且d为整数，所以k＝1或k＝2.‎ 当k＝1时，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.‎ 当k＝2时，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.‎ ‎(2)因为a1>1，所以an＝6n－3，从而Sn＝3n2.‎ 由＝T3，得＝1＋q＋q2，‎ 整理得q2＋q＋1－＝0.‎ 因为Δ＝1－4(1－)≥0，所以m2≤.‎ 因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.‎ 当m＝1时，q＝(舍去)或q＝.‎ 当m＝2时，q＝0或q＝－1(均舍去).‎ 综上所述，q＝.‎ ‎5.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎(3)是否存在k∈N*，使得＋＋…＋0，∴a3＋a5＝5，‎ 又a3与a5的等比中项为2，‎ ‎∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，‎ ‎∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，‎ ‎∴an＝16×()n－1＝25－n.‎ ‎(2)∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，‎ b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，‎ ‎∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，‎ ‎∴Sn＝.‎ ‎(3)由(2)知Sn＝，∴＝.‎ 当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；‎ 当n>9时，<0.‎ ‎∴当n＝8或n＝9时，＋＋＋…＋＝18最大.‎ 故存在k∈N*，使得＋＋…＋

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