2018-2019学年山东省泰安市高二上学期期末考试数学试题

2018-2019学年山东省泰安市高二上学期期末考试数学试题

书书书 试卷类型：Ａ 高 二 年 级 考 试 数　 学　 试　 题 ２０１９ １ 一、选择题：本题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． １． 下列有关不等式的推理 （１）ａ ＞ ｂ ｂ ＜ ａ　 　 　 　 （２）ａ ＞ ｂ ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ＋ ｃ （３）ａ ＞ ｂ，ｃ ＜ ０ ａｃ ＜ ｂｃ （４）ａ ＞ ｂ ａ２ ＞ ｂ２ 其中，正确推理的个数是 Ａ． ０　 　 　 　 　 Ｂ． １　 　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 　 Ｄ． ３ ２． “（ｘ － １）（ｘ ＋ ２）＝ ０”是“ｘ ＝ １”的 Ａ． 充分不必要条件 Ｂ． 必要不充分条件 Ｃ． 充要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件 ３． 已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ｘ 的焦点为 Ｆ，Ａ（ｘ０ ，ｙ０ ）是抛物线 Ｃ 上一点，｜ ＡＦ ｜ ＝ ５ ４ ｘ０ ，则 ｘ０ ＝ Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ４ Ｄ． ８ ４． 若 １，ａ１ ，ａ２ ，ａ３ ，４ 成等比数列，３，ｂ１ ，ｂ２ ，ｂ３ ，５ 成等差数列，则ａ２ ｂ２ 的值为 Ａ． － １ ２ Ｂ． １ ２ Ｃ． ± ２ Ｄ． ± １ ２ ５． 如图，底面是平行四边形的棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，Ｏ′是 上底面的中心，设 →ＡＢ ＝ ａ，→ＡＤ ＝ ｂ，→ＡＡ′ ＝ ｃ，则 →ＡＯ′ ＝ Ａ． １ ２ ａ ＋ １ ２ ｂ ＋ １ ２ ｃ Ｂ． １ ２ ａ ＋ １ ２ ｂ ＋ ｃ Ｃ． ａ ＋ １ ２ ｂ ＋ ｃ Ｄ． １ ２ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ 高二数学试题 第 １ 页（共 ４ 页） ６． 等比数列｛ａｎ ｝中，ａ３ ＝ ８，ａ６ ＝ １，则数列｛ｌｏｇ２ ａｎ ｝的前 ｎ 项和的最大值为 Ａ． １５ Ｂ． １０ Ｃ． １２１ ８ Ｄ． ｌｏｇ２ １２１ ８ ７． 已知 ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，且 ａ ＋ ｂ ＝ １，则 ａｂ ４ａ ＋ ９ｂ的最大值为 Ａ． １ ２４ Ｂ． １ ２５ Ｃ． １ ２６ Ｄ． １ ２７ ８． 如图，在正三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ 中，若 ＡＢ 槡＝ ２ ＢＢ１ ，则 ＡＢ１ 与 Ｃ１ Ｂ 所成角的大小为 Ａ． ９０° Ｂ． ７５° Ｃ． ６０° Ｄ． ４５° ９． 数列｛ａｎ ｝满足 ２ｎ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ ａｎ ＋ １ － １，且 ａ１ ＝ １，若 ａｎ ＜ １ ５ ，则 ｎ 的最 小值为 Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ １０． 椭圆ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）的焦距为 ２ｃ，过点 Ｐ ａ２ ｃ ，( )０ 作圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ａ２ 的两条切线， 切点分别为 Ｍ，Ｎ． 若椭圆离心率的取值范围为 １ ２ ，槡２[ ]２ ，则∠ＭＰＮ 的取值范围为 Ａ． π ６ ，π[ ]４ Ｂ． π ６ ，π[ ]３ Ｃ． π ４ ，π[ ]３ Ｄ． π ３ ，π[ ]２ １１． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ４ ｘ ，ｇ（ｘ）＝ ２ｘ ＋ ａ，若 ｘ１ ∈ １ ２ ，[ ]２ ， ｘ２ ∈ １，[ ]３ ，使得 ｆ（ｘ１ ）≥ ｇ（ｘ２ ）恒成立，则实数 ａ 的取值范围是 Ａ． ａ≥２ Ｂ． ａ≤２ Ｃ． ａ≤ － ４ Ｄ． ａ≥ － ４ １２． 过双曲线ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的右焦点 Ｆ 且平行于其一条渐近线的直线 ｌ 与另一 条渐近线交于点 Ａ，直线 ｌ 与双曲线交于点 Ｂ，且｜ ＢＦ ｜ ＝ ２ ｜ ＡＢ ｜ ，则双曲线的离心率为 Ａ． 槡２ ３ ３ 槡 槡Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ２ 高二数学试题 第 ２ 页（共 ４ 页） 二、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． 已知命题 ｐ：“ ｘ０ ∈Ｒ，ｅｘ０ － ｘ０ － １≤０”，则 ｐ 为　 　 ▲　 　 ． １４． 设向量 ａ ＝ （ｘ，４，３），ｂ ＝ （３，－ ２，ｙ），且 ａ∥ｂ，则 ｘｙ ＝ 　 　 ▲　 　 ． １５． 关于 ｘ 的不等式 ｘ２ ＋ ２ａｘ － ８ａ２ ＜ ０（ａ ＞ ０）的解集为（ｘ１ ，ｘ２ ），且 ｘ２ － ｘ１ ＝ １２，则 ａ ＝ 　 　 ▲　 　 ． １６． 若双曲线 ｘ２ ４ － ｙ２ １２ ＝ １ 的左焦点为 Ｆ，点 Ｐ 是双曲右支上的动点，已知 Ａ（１，４），则 ｜ ＰＦ ｜ ＋ ｜ ＰＡ｜ 的最小值是　 　 ▲　 　 ． 三、解答题：本题共 ６ 个小题，共 ７０ 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． １７． （１０ 分） 已知 ｐ：－ ２ｘ２ ＋ ｘ ＋ １≥０，ｑ：－ ３≤ｘ≤４，ｒ：ｘ２ － ａｘ － １２ａ２ ≤０（ａ ＞ ０）． （１）判断是 ｐ 是 ｑ 什么条件； （２）如果 ｑ 是 ｒ 的充要条件，求 ａ 的值． １８． （１２ 分） 已知等差数列｛ａｎ ｝满足 ａ１ ＋ ａ２ ＝ １０，ａ４ － ａ３ ＝ ２． （１）求数列｛ａｎ ｝的通项公式； （２）设等比数列｛ｂｎ ｝满足 ｂ２ ＝ ａ３ ，ｂ３ ＝ ａ７ ，求数列｛ａｎ ｂｎ ｝的前 ｎ 项和 Ｓｎ ． １９． （１２ 分） 已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ ＞ ０），其准线方程为 ｘ ＝ － １． 准线与 ｘ 轴的交点为 Ｍ，过 Ｍ 点做直线 ｌ 交抛物线于 Ａ、Ｂ 两点． 若点 Ａ 为 ＭＢ 中点，求直线 ｌ 的方程． ２０． （１２ 分） 如图，在三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ 中，ＢＣ１ ⊥ 平面 ＡＢＣ， ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２，ＢＢ１ ＝ ４． （１）求证：ＡＢ⊥平面 ＢＢ１ Ｃ１ Ｃ，并求 ＢＣ１ 的长度； （２）若 Ｍ 为 ＣＣ１ 的中点，求二面角 Ａ － Ｂ１ Ｍ － Ｂ 的余弦值． 高二数学试题 第 ３ 页（共 ４ 页） ２１． （１２ 分） 销售甲种商品所得利润是 Ｐ 万元，它与投入资金 ｔ 万元的关系有经验公式 Ｐ ＝ ａｔ ｔ ＋ １， 销售乙种商品所得利润是 Ｑ 万元，它与投入资金 ｔ 万元的关系有经验公式 Ｑ ＝ ｂｔ，其中 ａ， ｂ 为常数． 现将 ３ 万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利 润为 ９ ４ 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为 １ 万元． 若将 ３ 万元资金中的 ｘ 万元投入 甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为 ｆ（ｘ）万元． （１）求函数 ｆ（ｘ）的解析式； （２）怎样将 ３ 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大 值． ２２． （１２ 分） 如图，Ｆ１ 、Ｆ２ 分别为椭圆 Ｅ：ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０） 的左、右焦点，Ｏ 为坐标原点，ＯＦ→ １ ·ＯＦ→ ２ ＝ － １． 椭圆 Ｅ 经过点 Ａ（１，３ ２ ）． （１）求椭圆 Ｅ 的方程； （２）若 Ｂ、Ｃ 是椭圆 Ｅ 上两个动点，直线 ＡＢ 的斜率与直线 ＡＣ 的斜率互为相反数，证 明：直线 ＢＣ 的斜率为定值，并求出这个定值． 高二数学试题 第 ４ 页（共 ４ 页） 高二数学试题参考答案及评分标准 ２０１９ １ 一、选择题：每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　 案 Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ 二、填空题：每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． ｘ∈Ｒ，ｅｘ － ｘ － １ ＞ ０　 　 　 １４． ９　 　 　 １５． ２　 　 　 １６． ９ 三、解答题： １７． （１０ 分） 解：（１）因为 － ２ｘ２ ＋ ｘ ＋ １≥０，整理得 ２ｘ２ － ｘ － １≤０， 解方程 ２ｘ２ － ｘ － １ ＝ ０，得两根 ｘ１ ＝ － １ ２ ，ｘ２ ＝ １． ２ 分!!!!!!!!!! 所以 － ２ｘ２ ＋ ｘ ＋ １≥０ 的解集为 ｘ － １ ２ ≤ｘ≤{ }１ ． ４ 分!!!!!!!!!! 因为 － １ ２ ，[ ]１ － ３，[ ]４ ， 所以 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件． ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）因为 ｑ 是 ｒ 的充要条件， 所以不等式 ｘ２ － ａｘ － １２ａ２ ≤０（ａ ＞ ０）的解集是｛ｘ ｜ － ３≤ｘ≤４｝． ７ 分!!! 因此，－ ３，４ 是方程 ｘ２ － ａｘ － １２ａ２ ＝ ０（ａ ＞ ０）的两根， 由方程根与系数的关系（即韦达定理）得： － ３ ＋ ４ ＝ ａ （－ ３）× ４ ＝ － １２ａ{ ２ ， ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ａ ＝ １． １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８． （１２ 分） 解：（１）设等差数列｛ａｎ ｝的公差为 ｄ，因为 ａ４ － ａ３ ＝ ｄ，所以 ｄ ＝ ２． 又因为 ａ１ ＋ ａ２ ＝ １０，所以 ２ａ１ ＋ ｄ ＝ １０，解得 ａ１ ＝ ４． 所以 ａｎ ＝ ４ ＋ ２（ｎ － １）＝ ２ｎ ＋ ２（ｎ∈Ｎ ）． ４ 分!!!!!!!!!!!!! （２）设等比数列｛ｂｎ ｝的公差为 ｑ，因为 ｂ２ ＝ ａ３ ＝ ８，ｂ３ ＝ ａ７ ＝ １６， 所以 ｑ ＝ ２，ｂ１ ＝ ４，所以 ｂｎ ＝ ２ｎ ＋ １ ． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!! 从而 ａｎ ｂｎ ＝ （ｎ ＋ １）２ｎ ＋ ２ ． Ｓｎ ＝ ２ × ２３ ＋ ３ × ２４ ＋ ４ × ２５ ＋ … ＋ ｎ２ｎ ＋ １ ＋ （ｎ ＋ １）２ｎ ＋ ２ ，　 　 　 　 ① ７ 分!! 高二数学试题参考答案 第 １ 页（共 ４ 页） ２Ｓｎ ＝ ２ × ２４ ＋ ３ × ２５ ＋ ４ × ２６ ＋ … ＋ ｎ２ｎ ＋ ２ ＋ （ｎ ＋ １）２ｎ ＋ ３ ， ② ８ 分!! 由① － ②得：－ Ｓｎ ＝ ２ × ２３ ＋ ２４ ＋ ２５ ＋ … ＋ ２ｎ ＋ ２ － （ｎ ＋ １）２ｎ ＋ ３ － Ｓｎ ＝ ２３ ＋ ２３ （１ － ２ｎ ） １ － ２ － （ｎ ＋ １）２ｎ ＋ ３ ＝ － ｎ·２ｎ ＋ ３ ． １１ 分!!!!!!!!! 所以 Ｓｎ ＝ ｎ·２ｎ ＋ ３ ． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９． （１２ 分） 解：∵ 抛物线的准线方程为 ｘ ＝ － １　 ∴ ｐ ２ ＝ １，ｐ ＝ ２ ∴ 抛物线的方程为 ｙ２ ＝ ４ｘ． ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 显然，直线 ｌ 与坐标轴不平行，且 Ｍ（－ １，０）． ∴ 设直线 ｌ 的方程为 ｘ ＝ ｍｙ － １，Ａ ｙ２ １ ４ ，ｙ( )１ ，Ｂ ｙ２ ２ ４ ，ｙ( )２ ４ 分!!!!!!!!!! 联立直线与抛物线的方程 ｘ ＝ ｍｙ － １ ｙ２ ＝ ４{ ｘ ，得 ｙ２ － ４ｍｙ ＋ ４ ＝ ０． ６ 分!!!!!!! Δ ＝ １６ｍ２ － １６ ＞ ０，解得 ｍ ＜ － １ 或 ｍ ＞ １． ７ 分!!!!!!!!!!!!!! ∵ 点 Ａ 为 ＭＢ 的中点，∴ ｙ１ ＝ ０ ＋ ｙ２ ２ ，即 ｙ２ ＝ ２ｙ１ ∴ ｙ１ ｙ２ ＝ ２ｙ２ １ ＝ ４，解得 ｙ１ 槡＝ ± ２． ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ４ｍ，∴ ４ｍ 槡 槡＝ ２ ＋ ２ ２或 ４ｍ 槡 槡＝ － ２ － ２ ２． ∴ ｍ ＝ ± ３ ４ 槡２ １１ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 直线方程为 ４ｘ 槡－ ３ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０ 或 ４ｘ 槡＋ ３ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０． １２ 分!!!!!!!!!! ２０． （１２ 分） 解：（１）∵ ＢＣ１ ⊥平面 ＡＢＣ，ＡＢ，ＢＣ 平面 ＡＢＣ，∴ ＢＣ１ ⊥ＡＢ，ＢＣ１ ⊥ＢＣ， １ 分!!!! ∵ ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＣ∩ＢＣ１ ＝ Ｂ，ＢＣ，ＢＣ１ 平面 ＢＢ１ Ｃ１ Ｃ，∴ ＡＢ⊥平面 ＢＢ１ Ｃ１ Ｃ． ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２，ＢＢ１ ＝ ４，∴ ＢＣ１ 槡＝ ２ ３． ５ 分!!!!!!!!!!!!! （２）如图所示，分别以 ＢＣ，ＡＢ，ＢＣ１ 所在的直线为 ｘ 轴，ｙ 轴和 ｚ 轴，建立空间直角坐标系， 则 Ｂ（０，０，０），Ａ（０，２，０），Ｃ（２，０，０），Ｂ１ （－ ２，０， 槡２ ３），Ｃ１ （０，０，槡２ ３）， 易知 Ｍ（１，０，槡３），∴ →ＡＭ ＝ （１，－ ２，槡３），ＡＢ→ １ ＝ （－ ２， － ２，槡２ ３）， ７ 分!!!!!!!!!!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 ２ 页（共 ４ 页） 设平面 ＡＢ１ Ｍ 的一个法向量为 ｎ ＝ （ｘ，ｙ，ｚ）， ｎ· →ＡＭ ＝ ０， ｎ·ＡＢ→ １ ＝ ０{ ，即 ｘ － ２ｙ 槡＋ ３ｚ ＝ ０ － ２ｘ － ２ｙ 槡＋ ２ ３ｚ{ ＝ ０ ，令 ｘ ＝ － １，得 ｚ 槡＝ － ３，ｙ ＝ － ２， ∴ ｎ ＝ （－ １，－ ２， 槡－ ３）． １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 易知 →ＢＡ ＝ （０，２，０）为平面 ＢＭＢ１ 的一个法向量 则 ｃｏｓ ＜ ｎ· →ＢＡ ＞ ｎ· →ＢＡ ｜ ｎ｜ ·｜ →ＢＡ｜ ＝ － 槡２ ２ ， 由题意知：二面角 Ａ － Ｂ１ Ｍ － Ｂ 的余弦值为槡２ ２ ． １２ 分!!!!!!!!!! ２１． （１２ 分） 解：（１）由题意，ｐ ＝ ａｔ ｔ ＋ １，Ｑ ＝ ｂｔ， 故当 ｔ ＝ ３ 时，ｐ ＝ ３ａ ３ ＋ １ ＝ ９ ４ ，Ｑ ＝ ３ｂ ＝ １． ２ 分!!!!!!!!!!!!!! 解得　 ａ ＝ ３，ｂ ＝ １ ３ ． ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以　 ｐ ＝ ３ｔ ｔ ＋ １，Ｑ ＝ １ ３ ｔ． 从而　 ｆ（ｘ）＝ ３ｘ ｘ ＋ １ ＋ ３ － ｘ ３ ，ｘ∈［０，３］． ６ 分!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）可得：ｆ（ｘ）＝ ３ｘ ｘ ＋ １ ＋ ３ － ｘ ３ ＝ １３ ３ － （ ３ ｘ ＋ １ ＋ ｘ ＋ １ ３ ）． ８ 分!!!!!!! 因为 ｘ∈［０，３］，所以 ｘ ＋ １∈［１，４］， 故　 ３ ｘ ＋ １ ＋ ｘ ＋ １ ３ ≥２，当且仅当 ３ ｘ ＋ １ ＝ ｘ ＋ １ ３ ，即 ｘ ＝ ２ 时取等号． 从而　 ｆ（ｘ）≤１３ ３ － ２ ＝ ７ ３ ． 当且仅当 ｘ ＝ ２ 时取等号． １０ 分!!!!!!!! 所以 ｆ（ｘ）的最大值为 ７ ３ ． 答：分别投入 ２ 万元、１ 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大 利润是 ７ ３ 万元． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 ３ 页（共 ４ 页） ２２． （１２ 分） 解：（１）∵ ＯＦ→ １ ·ＯＦ→ ２ ＝ － ｃ２ ，∴ ｃ ＝ １， １ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为 Ａ（１，３ ２ ）在椭圆上，所以 １ １ ＋ ｂ２ ＋ ９ ４ｂ２ ＝ １ ２ 分!!!!!!!!!!! 解得 ｂ２ ＝ ３，ｂ２ ＝ － ３ ４ （舍去）． ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 椭圆方程为ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝ １； ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设直线 ＡＢ 的方程为 ｙ ＝ ｋ（ｘ － １）＋ ３ ２ ， 代入ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝ １ 得 （３ ＋ ４ｋ２ ）ｘ２ ＋ ４ｋ（３ － ２ｋ）ｘ ＋ ４（ｋ － ３ ２ ）２ － １２ ＝ ０ ６ 分!!!!!!!!!! 设 Ｂ（ｘ１ ，ｙ１ ），Ｃ（ｘ２ ，ｙ２ ），因为点 Ａ（１，３ ２ ）在椭圆上， ∴ ｘ１ ＝ ４（ｋ － ３ ２ ）２ － １２ ３ ＋ ４ｋ２ ，ｙ１ ＝ ｋｘ１ ＋ ３ ２ － ｋ， ８ 分!!!!!!!!!!!!! 又直线 ＡＣ 的斜率与 ＡＢ 的斜率互为相反数， 在上式中以 － ｋ 代 ｋ，可得 ｘ２ ＝ ４（ｋ ＋ ３ ２ ）２ － １２ ３ ＋ ４ｋ２ ，ｙ２ ＝ － ｋｘ２ ＋ ３ ２ ＋ ｋ １０ 分!!!!!!!!!!!!! ∴ 直线 ＢＣ 的斜率 ｋＢＣ ＝ ｙ２ － ｙ１ ｘ２ － ｘ１ ＝ － ｋ（ｘ１ ＋ ｘ２ ）＋ ２ｋ ｘ２ － ｘ１ ＝ １ ２ ∴ 直线 ＢＣ 的斜率为定值，该定值为 １ ２ ． １２ 分!!!!!!!!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 ４ 页（共 ４ 页）