山东省临沂市罗庄区2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省临沂市罗庄区2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

高二质量调研试题 数学 一、选择题 ‎1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，∴复平面内所对应点的坐标为，故选D．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎2.在的展开式中，含的正整数次幂的项共有 （ ）‎ A. 4项 B. 3项 C. 2项 D. 1项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的展开式的通项为 为整数， 项，即 ，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.‎ 详解：设2名男同学为，3名女同学为，‎ 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，‎ 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为，‎ 故选D.‎ 点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.‎ ‎4.若的展开式中所有二项式系数的之和为，则展开式中的常数项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．‎ ‎【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，‎ 得，解得，‎ 由的展开式的通项为，‎ 令得，‎ 即该展开式中的常数项是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．‎ ‎5.函数有（ ）‎ A. 极大值，极小值 B. 极大值，极小值 C. 极大值，无极小值 D. 极小值，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减 当时，函数取极大值，极大值为；无极小值 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.设随机变量，，若，则的值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的期望公式求出，再根据4次独立重复试验的概率公式计算可得．‎ ‎【详解】解：，，，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方程，属于基础题．‎ ‎7.设，其中为虚数单位，，是实数，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ，，是实数,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎8.素数指整数在一个大于的自然数中，除了和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，‎ 从中选2个不同的数有种，‎ 和等于30的有，，，共3种，‎ 则对应的概率，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎9.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵随机变量服从正态分布，‎ ‎，即对称轴是，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎10.编号为的位同学随意入座编号为的个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的所有可能取值为0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差．‎ ‎【详解】解：的所有可能取值为0，1，3‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．‎ ‎11.10张奖券中含有张中奖的奖券，每人购买张，则前个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；‎ ‎【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为，‎ 则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有，‎ 故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题．‎ ‎12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二、填空题 ‎13.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎【答案】1560‎ ‎【解析】‎ 试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．‎ 解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．‎ 故答案为1560．‎ 点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．‎ ‎14.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：三个复数在复平面内对应的点分别为．‎ 设第四个顶点在复平面内对应的点为，因为为正方形，所以，即，，即．则第四个顶点对应的复数是．‎ 考点：1向量；2复数与复平面内的点一一对应．‎ ‎15.已知，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎16.若函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数，的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得，即可得到所求的个数．‎ ‎【详解】解：函数的导数为，‎ 可得点，处的切线斜率为，‎ 切线方程为，‎ 函数的导数为，设与相切的切点为，‎ 可得切线斜率为，切线方程为，‎ 由题意可得，，‎ 可得，解得或．‎ 则满足条件的的个数为2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．‎ ‎（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；‎ ‎（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．‎ 由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．‎ ‎【答案】（1）49（2）0.8185‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值．‎ ‎（2）由3σ原则可知，成绩在（76，97）之间即在 之间的概率值，因而可求得概率值．‎ 详解：（1） =90，S2= =49‎ ‎（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．‎ P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.8185‎ 点睛：本题考查了茎叶图的简单应用，利用3σ 原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简单题．‎ ‎18.如表是某位文科生连续次月考的历史、政治的成绩，结果如下：‎ 月份 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎1‎ 历史（分）‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎87‎ 政治（分）‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎79‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎（1）求该生次月考历史成绩的平均分和政治成绩的平均数；‎ ‎（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 的线性回归方程.‎ 参考公式：，，表示样本均值.‎ ‎【答案】（1）83，80（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由表格中的数据结合平均数公式求解；‎ ‎（2）求出与的值，则线性回归方程可求．‎ ‎【详解】（1）根据题意，计算，‎ ‎；‎ ‎（2）计算，‎ ‎，‎ 所以回归系数为，‎ ‎，‎ 故所求线性回归方程为.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.‎ ‎【答案】（1）极小值1，函数没有极大值.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的导数，再利用导数求函数的极值．‎ ‎（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，根据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 令，解得.‎ 因为，当时，，函数在上是减函数；‎ 当，，函数在上是增函数.‎ 所以，当时，函数有极小值，函数没有极大值.‎ ‎（2），函数的定义域为，‎ 所以，‎ 令得，当时，，函数在上是减函数；‎ 当，，函数在上是增函数.‎ 当时，，，‎ 当时，，但是比的增长速度要快， ，‎ 故函数的极小值为，‎ 因为函数恰有一个零点，故，所以，‎ 所以.‎ 所以函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数的导数，函数的导数与函数的单调性之间的关系，利用导数求函数的极值，属于中档题．‎ ‎20.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地分别随机抽取了天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：‎ 根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：‎ 空气质量指数（AQI）‎ 空气质量状况 优良 轻中度污染 中度污染 ‎（1）试根据样本数据估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；‎ ‎（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.‎ ‎【答案】（1）274天（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计地区当年天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出地区当年天）的空气质量状况“优良”的天数．‎ ‎（2）地20天中空气质量指数在，内为3个，设为，，，空气质量指数在，内为1个，设为，地20天中空气质量指数在，内为2个，设为，，空气质量指数在，内为3个，设为，，，设“，两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，利用列举法能求出，两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．‎ ‎【详解】解：（1）从地区选出的天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，‎ 估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的频率为，地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数约为天.‎ ‎（2）地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，设“两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，则基本事件空间 基本事件个数为，，包含基本事件个数，‎ 所以两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．‎ ‎21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.‎ ‎（I）应从甲、乙、丙三个部门员工中分别抽取多少人？‎ ‎（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3‎ 人做进一步的身体检查.‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．‎ ‎（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．‎ 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门员工人数之比为3∶2∶2，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．‎ P（X=k）=（k=0，1，2，3）．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望．‎ ‎（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；‎ 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，‎ 则A=B∪C，且B与C互斥，‎ 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，‎ 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．‎ 所以，事件A发生的概率为．‎ 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎22.设函数 ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），切线方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．‎ 试题解析：（1）对求导得 因为在处取得极值，所以，即.‎ 当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得 ‎（2）由（1）得，,‎ 令 由，解得.‎ 当时，,故为减函数；‎ 当时，,故为增函数；‎ 当时，,故为减函数；‎ 由在上为减函数，知，解得 故a的取值范围为.‎ 考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．‎