2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 40空间向量及其运算
考点规范练40 空间向量及其运算
基础巩固组
1.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2017浙江台州统考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于( )
A.32 B.-2 C.0 D.32或-2
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin
的值为( )
A.19 B.459 C.259 D.23
4.已知在空间直角坐标系O-xyz中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),则这四个点( )
A.共线 B.共面
C.不共面 D.不能确定
5.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
化简A1O-12AB-12AD= .
6.(2017浙江宁波模拟)已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),a与b夹角的余弦值为 ;若a⊥(a-λb),则λ= .
7.(2017河南郑州调研)已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是 .
能力提升组
8.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为( )
A.a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2
9.
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A.105 B.155
C.45 D.23
10.若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫向量p在基底{a,b,c}下的坐标.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是( )
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
11.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=12.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=52,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则|b|为( )
A.2 B.8
C.2 D.22
12.已知OA,OB,OC是空间两两垂直的单位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,则|OP-OA-OB|的最小值为 .
13.
如图,四棱锥O-ABCD中,AC垂直平分BD,|OB|=2,|OD|=1,则(OA+OC)·(OB-OD)的值是 .
14.(2017浙江舟山模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.
答案：
1.A a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中的任两个一定共面,但它们三个却
不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确.综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.
2.B ∵a∥b,∴2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.
3.
B 如图,设正方体棱长为2,则易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),
∴cos=CM·D1N|CM||D1N| =-19,
∴sin=1--192
=459.
4.B 易知AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),设AD=xAB+yAC,则(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),
即9=3x+y,14=4x+2y,16=5x+2y,解得x=2,y=3,
即AD=2AB+3AC,从而A,B,C,D四点共面.
5.A1A A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A.
6.216 2 ∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),∴cos=a·b|a||b|=2+2+314×6=216;由题意a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,又a2=14,a·b=7,∴14-7λ=0,∴λ=2.
7.43,43,83 ∵点Q在直线OP上,∴设点Q(λ,λ,2λ),
则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),
QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-432-23.即当λ=43时,QA·QB取得最小值-23.此时OQ=43,43,83.
8.
C 设AB=a,AC=b,AD=c,
则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.
AE=12(a+b),AF=12c,
∴AE·AF=12(a+b)·12c
=14(a·c+b·c)=14(a2cos 60°+a2cos 60°)=14a2.
9.B ∵OE=12AC1=12(AB+AD+AA1),FD1=12AD+AA1,
∴OE·FD1=12(AB+AD+AA1)·12AD+AA1
=1212AB·AD+AB·AA1+12AD2+AD·AA1+12AA1·AD+AA12=12(2+4)=3.
而|OE|=1222+22+22=3,|FD1|=5,
∴cos=315=155.故选B.
10.B 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z,则
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
∵p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
∴p=4a+2b+3c,②
由①②得x+y=4,x-y=2,z=3,∴x=3,y=1,z=3,
即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).
11.D 设e3为空间单位向量,且满足e3⊥e2,e3⊥e1,
∵|b-(x0e1+y0e2)|=1,故设b=x0e1+y0e2+e3,
∵b·e1=2,即(x0e1+y0e2+e3)·e1=2,
得x0+12y0=2.又∵b·e2=52,即(x0e1+y0e2+e3)·e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此时,b=e1+2e2+e3,
|b|=e12+4e22+e32+4e1·e2+2e2·e3+4e2·e3=
1+4+1+4×12+0+0=8=22.
12.22121 根据题意可得
|OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2
=(2y+4z)2+(y-1)2+z2=5y2+17z2+16yz-2y+1
=17z+817y2+2117y-17212+1-1721
≥421=22121.
13.
3 如图所示,四棱锥O-ABCD中,设AC,BD交于点E,
由题意AC⊥BD,DE=BE,
所以OB+OD=2OE,EA·DB=EC·DB.
又|OB|=2,|OD|=1,
所以(OA+OC)·(OB-OD)=(OE+EA+OE+EC)·(OB-OD)
=(2OE+EA+EC)·(OB-OD)
=2OE·(OB-OD)+(EA+EC)·DB
=(OB+OD)·(OB-OD)
=OB2-OD2=22-12=3.
14.解 (1)由题意可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=AB·AC|AB||AC|=-2+3+614×14=714=12.
所以sin=32,
所以以AB,AC为边的平行四边形的面积为
S=2×12|AB|·|AC|·sin=14×32=73.
(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,
解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).
