【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第四章　三角函数、解三角形 第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2020湖南耒阳二中模拟]给出下列命题:‎ ‎①第二象限角大于第一象限角;‎ ‎②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;‎ ‎③若sin α=sin β,则α与β的终边相同;‎ ‎④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.‎ 其中正确命题的个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.[2020百校联考]已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α - cos α=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎ B. - ‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎ D. - ‎‎3‎‎2‎‎--‎‎1‎‎2‎ ‎3.[2019湖南衡阳三模]若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是(　　)‎ A.cos α B.tan α C.cosα‎2‎ D.tanα‎2‎ ‎4.[2019全国卷Ⅰ,7,5分] tan 255°=(　　)‎ A. - 2 - ‎3‎ B. - 2+‎3‎ C.2 - ‎3‎ D.2+‎‎3‎ ‎5.[2020山西大同高三调研]已知sin α+cos α=‎1‎‎2‎,α∈(0,π),则‎1-tanα‎1+tanα=(　　)‎ A. - ‎7‎ B.‎7‎ C.‎3‎ D. - ‎‎3‎ ‎6.[2019河南郑州三测]已知cos(‎2019π‎2‎+α)=‎1‎‎2‎,α∈(π‎2‎,π),则cos α=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B. - ‎1‎‎2‎ C. - ‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎7.[2019北京,8,5分]如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(　　)‎ A.4β+4cos β 　　B.4β+4sin β C.2β+2cos β 　　D.2β+2sin β ‎8.[2018全国卷Ⅰ,11,5分]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=‎2‎‎3‎,则|a - b|=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎5‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎‎5‎ D.1‎ 考法1三角函数定义的应用 ‎1已知角α的终边上一点P( - ‎3‎,m)(m≠0),且sin α=‎2‎m‎4‎,则cos α=　　　　,tan α=　　　　.　　　　　　　　　　　　　‎ 由sinα=‎2‎m‎4‎,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cosα,tanα的值.‎ 设P(x,y).由题设知x= - ‎3‎,y=m,‎ 所以R2=OP2=( - ‎3‎)2+m2(O为原点),即R=‎3+‎m‎2‎,‎ 所以sinα=mr‎=‎2‎m‎4‎=‎m‎2‎‎2‎,所以R=‎3+‎m‎2‎=2‎2‎,‎ 即3+m2=8,解得m=±‎5‎.‎ 当m=‎5‎时,cosα=‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎= - ‎6‎‎4‎,tanα= - ‎15‎‎3‎;‎ 当m= - ‎5‎时,cosα=‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎= - ‎6‎‎4‎,tanα=‎15‎‎3‎.‎ ‎2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为　　　　. ‎ 求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得OP的坐标.‎ 如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP),过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.‎ 图4 - 1 - 4‎ 因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2 - π‎2‎,‎ 所以PB=sin(2 - π‎2‎)= - cos2,CB=cos(2 - π‎2‎)=sin2,‎ 所以xP=2 - CB=2 - sin2,yP=1+PB=1 - cos2,‎ 所以OP=(2 - sin2,1 - cos2).‎ ‎1.(1)[2019四川攀枝花三诊]已知角θ=‎8π‎3‎,且角θ的终边经过点P(x,2‎3‎),则x的值为(　　)‎ A.±2 B.2 C. - 2 D. - 4‎ ‎(2)[2017北京,12,5分][理]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=‎1‎‎3‎,则 sin β=　　　　. ‎ 考法2 同角三角函数关系的应用 命题角度1　公式的应用 ‎3已知sinα+3cosα‎3cosα-sinα=5,则sin2α - sin αcos α=　　　. ‎ 解法一　由已知可得sinα+3cosα=5(3cosα - sinα),即6sinα=12cosα,也就是sinα=2cosα,‎ 代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=‎1‎‎5‎,(运用平方关系:sin2α+cos2α=1)‎ 从而sin2α - sinαcosα=4cos2α - 2cos2α=2cos2α=‎2‎‎5‎.‎ 解法二　由已知可得sinα+3cosα‎3cosα-sinα‎=sinα+3cosαcosα‎3cosα-sinαcosα=‎tanα+3‎‎3-tanα=5,(弦化切)‎ 整理得tanα=2.从而sin2α - sinαcosα=sin‎2‎α-sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α=(利用sin2α+cos2α代换分母1)‎ sin‎2‎α-sinαcosαcos‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎αcos‎2‎α‎=tan‎2‎α-tanαtan‎2‎α+1‎=‎2‎‎2‎‎-2‎‎2‎‎2‎‎+1‎=‎‎2‎‎5‎‎.‎ 命题角度2　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 ‎4[2019四川成都二诊]已知α为第二象限角,且sin α+cos α=‎1‎‎5‎,则cos α - sin α=‎ A.‎7‎‎5‎ B. - ‎7‎‎5‎ C.±‎7‎‎5‎ D. - ‎‎1‎‎5‎ 观察已知式sinα+cosα=‎1‎‎5‎与待求式cosα - sinα的特征,可以求出sinαcosα的值,整体代入求解即可;或利用换元法,令cosα - sinα=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2α+cos2α=1及sinα+cosα=‎1‎‎5‎求出sinαcosα= - ‎12‎‎25‎,结合方程的根与系数的关系求出sinα,cosα的值,从而使问题得解.‎ 解法一　(整体代入法)由sinα+cosα=‎1‎‎5‎两边同时平方,得1+2sinαcosα=‎1‎‎25‎,则2sinαcosα= - ‎24‎‎25‎,‎ 所以(cosα - sinα)2=1 - 2sinαcosα=1+‎24‎‎25‎‎=‎‎49‎‎25‎.(配凑出关于sinαcos α的式子,整体代入)‎ 因为α为第二象限角,所以cosα - sinα= - ‎7‎‎5‎.(三角函数值的符号由角α所在的象限决定)‎ 故选B.‎ 解法二　(换元法)已知sinα+cosα=‎1‎‎5‎,　①‎ 令cosα - sinα=t.　②(整体换元)‎ 由①2+②2,得2sin2α+2cos2α=‎1‎‎25‎+t2,即2=‎1‎‎25‎+t2,(利用同角三角函数的平方关系求值)‎ 整理得t2=2 - ‎1‎‎25‎‎=‎‎49‎‎25‎,解得t=±‎7‎‎5‎.‎ 因为α为第二象限角,所以cosα - sinα<0,故cosα - sinα= - ‎7‎‎5‎.(检验,舍去不满足题意的值)‎ 故选B.‎ 解法三　(列方程法)由sinα+cosα=‎1‎‎5‎两边同时平方,得1+2sinαcosα=‎1‎‎25‎,‎ 则2sinαcosα= - ‎24‎‎25‎,即sinαcosα= - ‎12‎‎25‎.‎ 所以sinα,cosα是方程x2 - ‎1‎‎5‎x - ‎12‎‎25‎=0的两根,‎ 解方程得x1= - ‎3‎‎5‎,x2=‎4‎‎5‎.‎ 因为α是第二象限角,所以sinα=‎4‎‎5‎,cosα= - ‎3‎‎5‎,‎ 所以cosα - sinα= - ‎7‎‎5‎.故选B.‎ B ‎2.(1)[2017全国卷Ⅲ,4,5分]已知sin α - cos α=‎4‎‎3‎,则sin 2α=(　　)‎ A. - ‎7‎‎9‎ B. - ‎2‎‎9‎ C.‎2‎‎9‎ D.‎‎7‎‎9‎ ‎(2)[2016全国卷Ⅲ,5,5分][理]若tan α=‎3‎‎4‎,则cos2α+2sin 2α=(　　)‎ A.‎64‎‎25‎ B.‎48‎‎25‎ C.1 D.‎‎16‎‎25‎ 考法3诱导公式的应用 ‎5(1)[2016四川,11,5分] sin 750°=　　　. ‎ ‎(2)已知cos(π‎6‎ - α)=‎3‎‎3‎,则cos(‎5π‎6‎+α) - sin2(α - π‎6‎)=.‎ ‎(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用(π‎6‎ - α)+(‎5π‎6‎+α)=π和α - π‎6‎= - (π‎6‎ - α),将待求式中的角进行转化即可求解.‎ ‎(1)sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)因为cos(‎5π‎6‎+α)=cos[π - (π‎6‎ - α)]= - cos(π‎6‎ - α)= - ‎3‎‎3‎,‎ sin2(α - π‎6‎)=sin2[ - (π‎6‎ - α)]=sin2(π‎6‎ - α)=1 - cos2(π‎6‎ - α)=1 - (‎3‎‎3‎)2=‎2‎‎3‎,‎ 所以cos(‎5π‎6‎+α) - sin2(α - π‎6‎)= - ‎3‎‎3‎‎-‎‎2‎‎3‎= - ‎2+‎‎3‎‎3‎.‎ ‎3.(1)[2017全国卷Ⅲ,6,5分]函数f (x)=‎1‎‎5‎sin(x+π‎3‎)+cos(x - π‎6‎)的最大值为(　　)‎ A.‎6‎‎5‎ B.1 C.‎3‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎(2)设f (α)=‎2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)‎‎1+sin‎2‎α+cos(‎3π‎2‎+α)-sin‎2‎(π‎2‎+α)‎(1+2sin α≠0),则f ( - ‎23π‎6‎)=　　　　. ‎ 考法4同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 ‎6 [2016全国卷Ⅰ,14,5分]已知θ是第四象限角,且sin(θ+π‎4‎)=‎3‎‎5‎,则tan(θ - π‎4‎)=　　　　. ‎ 解法一　因为sin(θ+π‎4‎)=‎3‎‎5‎,所以cos(θ - π‎4‎)=sin[π‎2‎+(θ - π‎4‎)]=sin(θ+π‎4‎)=‎3‎‎5‎.因为θ为第四象限角,所以 - π‎2‎+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以 ‎ - ‎3π‎4‎+2kπ<θ - π‎4‎<2kπ - π‎4‎,k∈Z,所以sin(θ - π‎4‎)= - ‎1-(‎‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎= - ‎4‎‎5‎,所以tan(θ - π‎4‎)=sin(θ-π‎4‎)‎cos(θ-π‎4‎)‎= - ‎4‎‎3‎.‎ 解法二　因为θ是第四象限角,且sin(θ+π‎4‎)=‎3‎‎5‎,所以θ+π‎4‎为第一象限角,所以cos(θ+π‎4‎)=‎4‎‎5‎,所以tan(θ- π‎4‎)=sin(θ-π‎4‎)‎cos(θ-π‎4‎)‎‎=‎‎-cos[π‎2‎+(θ-π‎4‎)]‎sin[π‎2‎+(θ-π‎4‎)]‎=‎ ‎ - cos(θ+π‎4‎)‎sin(θ+π‎4‎)‎= - ‎4‎‎3‎.‎ ‎4.已知tan α=2,则cos(‎5‎‎2‎π+2α)=(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C. - ‎3‎‎5‎ D. - ‎‎4‎‎5‎ 易错三角函数求值时忽略隐含条件致错 ‎7已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=‎3‎‎-1‎‎2‎,则tan θ的值为　　　　. ‎ 解法一　将sinθ+cosθ=‎3‎‎-1‎‎2‎两边同时平方,得1+2sinθcosθ=1 - ‎3‎‎2‎,即sinθcosθ= - ‎3‎‎4‎,易知θ≠π‎2‎.‎ 故sinθcosθ=sinθcosθsin‎2‎θ+cos‎2‎θ‎=‎tanθtan‎2‎θ+1‎= - ‎3‎‎4‎,‎ 解得tanθ= - ‎3‎或tanθ=- ‎3‎‎3‎.‎ ‎∵ θ∈(0,π),sinθcosθ= - ‎3‎‎4‎<0,∴θ∈(π‎2‎,π).由sinθ+cosθ=‎3‎‎-1‎‎2‎>0可知sinθ> - cosθ,即|sinθ|>|cosθ|,故θ∈(π‎2‎,‎3π‎4‎),则tanθ< - 1,‎ ‎∴tanθ= - ‎3‎.‎ 解法二　(本题若利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系,就会得到更为便捷的解法)‎ 由sinθ+cosθ=‎3‎‎-1‎‎2‎　①,得sinθcosθ= - ‎3‎‎4‎<0,‎ 又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ - cosθ>0.‎ 又(sinθ - cosθ)2=1 - 2sinθcosθ=1+‎3‎‎2‎‎=‎‎(‎3‎+1‎‎)‎‎2‎‎4‎,‎ ‎∴sinθ - cosθ=‎3‎‎+1‎‎2‎　②.‎ 联立①②,解得sinθ=‎3‎‎2‎,‎cosθ=-‎1‎‎2‎,‎∴tanθ= - ‎3‎.‎ 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号.‎ 二 数学运算 求三角函数值.‎ 一 易错警示　‎ 本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sinθ|>|cosθ|”的挖掘,从而得到错误答案:tanθ= - ‎3‎或tanθ= - ‎3‎‎3‎.有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.‎ ‎5.[2019安徽师大附中模拟]已知角α终边上一点P的坐标为(sinπ‎10‎,cos‎ 9π‎ 10‎),则角α是(　　)‎ A.π‎10‎ B.‎2π‎5‎ C. - π‎10‎ D. - ‎‎2π‎5‎ 思想方法　分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用 ‎8在△ABC中,若sin(2π - A)= - ‎2‎sin(π - B),‎3‎cos A= - ‎2‎cos(π - B),则C=　　　. ‎ 利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.‎ 由已知得‎-sinA=-‎2‎sinB　①,‎‎3‎cosA=‎2‎cosB②,‎ ‎①2+②2,得2cos2A=1,即cosA=±‎2‎‎2‎.‎ 当cosA=‎2‎‎2‎时,cosB=‎3‎‎2‎,又A,B是三角形的内角,‎ 所以A=π‎4‎,B=π‎6‎,所以C=π - (A+B)=‎7‎‎12‎π.‎ 当cosA= - ‎2‎‎2‎时,cosB= - ‎3‎‎2‎,又A,B是三角形的内角,所以A=‎3‎‎4‎π,B=‎5‎‎6‎π不符合题意,舍去.‎ 综上可得C=‎7‎‎12‎π.‎ 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论.‎ 二 数学运算 三角恒等变换,求角A,B和C.‎ 二 解后反思　‎ ‎(1)本题在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.‎ ‎(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.‎ ‎6.已知A=sin(kπ+α)‎sinα‎+‎cos(kπ+α)‎cosα(k∈Z),则A的值构成的集合是　　　　. ‎ ‎1.A　举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;易知②正确;由于sin π‎6‎=sin ‎5π‎6‎,但π‎6‎与‎5π‎6‎的终边不相同,故③错;当θ=π时,cos θ= - 1,此时θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故④错.综上可知只有②正确.‎ ‎2.D　由点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,可得sin α - cos α=sin 300° - cos 300°= - ‎3‎‎2‎‎ - ‎‎1‎‎2‎.‎ ‎3.D　由sin α<0,得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),故kπ+π‎2‎‎<‎α‎2‎0,则cos α<0,所以sin α - cos α>0.因为(sin α - cos α)2=1 - 2sin αcos α=‎7‎‎4‎,所以sin α - cos α=‎7‎‎2‎.所以‎1 - tanα‎1+tanα‎=‎1 - ‎sinαcosα‎1+‎sinαcosα=cosα - sinαcosα+sinα=‎‎ - ‎‎7‎‎2‎‎1‎‎2‎= - ‎7‎,故选A.‎ ‎6.C　由题意知,cos(‎2019π‎2‎+α)=cos(‎3π‎2‎+α)=sin α=‎1‎‎2‎,又α∈(π‎2‎,π),所以cos α= - ‎1 - sin‎2‎α= - ‎3‎‎2‎.故选C.‎ ‎7.B　如图D 4 - 1 - 1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,‎ 图D 4 - 1 - 1‎ 则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧AB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,即当点P为优弧AB的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点P为优弧AB的中点时阴影区域的面积.‎ 因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180° - β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×‎1‎‎2‎×2×2sin(180° - β)+‎1‎‎2‎×22‎ ‎×2β=4β+4sin β,故选B.‎ ‎8.B　由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α - 1=‎2‎‎3‎,所以cos α=‎5‎‎6‎,sin α=±‎1‎‎6‎,则|tan α|=‎5‎‎5‎.由题意知|tan α|=|a - b‎1 - 2‎|,所以|a - b|=‎5‎‎5‎.‎ ‎1.(1)C　由题意知tan θ=tan‎8π‎3‎=tan(2π+‎2π‎3‎)=tan ‎2π‎3‎=tan(π - π‎3‎)= - tanπ‎3‎= - ‎3‎.‎ 因为角θ的终边经过点P(x,2‎3‎),所以tan θ=‎2‎‎3‎x.‎ 所以 - ‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎x,解得x= - 2.故选C.‎ ‎(2) - ‎7‎‎9‎　解法一　因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,‎ 所以cos(α - β)=cos(2kπ+π - 2α)= - cos 2α= - (1 - 2sin2α)= - [1 - 2×(‎1‎‎3‎)2]= - ‎7‎‎9‎.‎ 解法二　因为sin α=‎1‎‎3‎>0,所以角α为第一象限角或第二象限角.‎ 当角α为第一象限角时,可取其终边上一点(2‎2‎,1),则cos α=‎2‎‎2‎‎3‎,‎ 又点(2‎2‎,1)关于y轴对称的点( - 2‎2‎,1)在角β的终边上,所以sin β=‎1‎‎3‎,cos β= - ‎2‎‎2‎‎3‎,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=‎2‎‎2‎‎3‎×( - ‎2‎‎2‎‎3‎)+‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎3‎= ‎ ‎- ‎7‎‎9‎;‎ 当角α为第二象限角时,可取其终边上一点( - 2‎2‎,1),则cos α= - ‎2‎‎2‎‎3‎,因为点( - 2‎2‎,1)关于y轴对称的点(2‎2‎,1)在角β的终边上,‎ 所以sin β=‎1‎‎3‎,cos β=‎2‎‎2‎‎3‎,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=( - ‎2‎‎2‎‎3‎)×‎2‎‎2‎‎3‎‎+‎1‎‎3‎×‎‎1‎‎3‎= - ‎7‎‎9‎.‎ 综上可得,cos(α - β)= - ‎7‎‎9‎.‎ ‎2.(1)A　将sin α - cos α=‎4‎‎3‎的两边同时平方,得sin2α - 2sin αcos α+cos2α=‎16‎‎9‎,即sin 2α= - ‎7‎‎9‎,故选A.‎ ‎(2)A　解法一　由tan α=sinαcosα‎=‎‎3‎‎4‎,cos2α+sin2α=1,得sinα=‎3‎‎5‎,‎cosα=‎‎4‎‎5‎或sinα= - ‎3‎‎5‎,‎cosα= - ‎4‎‎5‎,‎则sin 2α=2sin αcos α=‎24‎‎25‎,则cos2α+2sin 2α=‎16‎‎25‎‎+‎48‎‎25‎=‎‎64‎‎25‎.故选A.‎ 解法二　cos2α+2sin 2α=cos‎2‎α+4sinαcosαcos‎2‎α+sin‎2‎α‎=‎1+4tanα‎1+tan‎2‎α=‎1+3‎‎1+‎‎9‎‎16‎=‎‎64‎‎25‎.故选A.‎ ‎3.(1)A　因为cos(x - π‎6‎)=cos[(x+π‎3‎) - π‎2‎]=sin(x+π‎3‎),所以f (x)=‎6‎‎5‎sin(x+π‎3‎),于是f (x)的最大值为‎6‎‎5‎,故选A.‎ ‎(2)‎3‎　因为f (α)=‎( - 2sinα)( - cosα)+cosα‎1+sin‎2‎α+sinα - cos‎2‎α‎=‎2sinαcosα+cosα‎2sin‎2‎α+sinα=cosα(1+2sinα)‎sinα(1+2sinα)‎=‎‎1‎tanα,所以f ( - ‎23π‎6‎)=‎1‎tan( - ‎23π‎6‎)‎‎=‎1‎tan( - 4π+π‎6‎)‎=‎1‎tanπ‎6‎=‎‎3‎.‎ ‎4.D　由诱导公式可得,cos(‎5π‎2‎+2α)=cos[2π+(π‎2‎+2α)]=cos(π‎2‎+2α)= - sin 2α=‎ - 2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎ - 2sinαcosαcos‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎αcos‎2‎α=‎ - 2tanαtan‎2‎α+1‎=‎‎ - 2×2‎‎2‎‎2‎‎+1‎= - ‎4‎‎5‎.故选D.‎ ‎5.D　本题考查三角函数的定义.∵角α终边上一点P的坐标为(sinπ‎10‎,cos‎9π‎10‎),且sinπ‎10‎=cos(π‎2‎‎-‎π‎10‎)=cos‎2π‎5‎=cos( - ‎2π‎5‎),cos‎9π‎10‎=cos(π - π‎10‎)= - cosπ‎10‎= - sin(π‎2‎‎-‎π‎10‎)=sin( - ‎2π‎5‎),即P(cos( - ‎2π‎5‎),sin( - ‎2π‎5‎)),则角α是 - ‎2π‎5‎,故选D.‎ ‎6.{2, - 2}　当k为偶数时,A=sinαsinα‎+‎cosαcosα=2;‎ 当k为奇数时,A=‎ - sinαsinα‎-‎cosαcosα= - 2.‎ 所以A的值构成的集合是{2, - 2}.‎