福建省宁德市高中同心顺联盟2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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福建省宁德市高中同心顺联盟校 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知全集 U＝{0，1，2，3，4}，集合 A＝{4}，集合 B＝{2}，则集合（∁UA）∪B＝（　　） A. {0，2，3，4} B. {0，3，4} C. {0，1，2，3} D. ∅ 【答案】C 【解析】 【分析】 进行并集和补集的运算即可． 【详解】∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{4}，B＝{2}， ∴∁UA＝{0，1，2，3}，（∁UA）∪B＝{0，1，2，3}． 故选：C． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.函数 的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶次根式中被开方数大于等于 0，分母不等于 0 及真数大于 0 建立不等式关系进行求解即 可． 【详解】要使函数有意义，则 ， 得 得 x＞2， 即函数的定义域为（2，+∞）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题 的关键． 3.下列两个函数是相等函数的是（　　） A. B. , C. , D. 【答案】B 【解析】 分析】 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】A．g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数 B．f（x）＝1，函数的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝1，定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义 域相同，是相等函数 C．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），两个函数的定义域不相同， 不是相等函数 D．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域是 R，两个函数的定义域和对应法则不相同， 不是相等函数 故选：B． 【点睛】本题主要考查相等函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题 的关键． 4.已知 则 f（f（-1））=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 推导出 f（﹣1）＝2﹣1 ，从而 f（f（﹣1））＝f（ ），由此能求出结果． 【详解】∵ ∴f（-1）=2-1= ， f（f（-1））=f（ ）= = ． 故选：B． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 【 题． 5.当 a＞0，且 a≠1 时，f（x）=loga（x+2）+3 的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令真数等于 1，求出 x、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】当 a＞0，且 a≠1 时，对于函数 f（x）＝loga（x+2）+3， 令 x+2＝1，求得 x＝﹣1，y＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）． 再根据它的的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为（﹣1，3）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 6.下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 结合奇函数的定义可知，y ， 为非奇非偶函数，可判断，B，D，结合幂函数的 性质可知，y＝x﹣1 在（0，+∞）上单调递减，可判断 A 即可． 【详解】结合奇函数的定义可知，y ， 为非奇非偶函数，故 B，D 错误； 结合幂函数的性质可知，y＝x﹣1 在（0，+∞）上单调递减，故 A 错误； 而 y＝x3 为奇函数且在（0，+∞）上单调递增，故 C 正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义及函数单调性的简单应用，属于基础试题． 7.函数 的零点所在的区间为（ ）. A. (-1,0) B. (0,1) C. (1.2) D. (2,3) 【答案】B 【解析】 【分析】 【 根据零点存在定理判断． 【详解】 ，因此零点在区间 内． 故选：B． 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题型． 8.如果函数 在区间 ]上是减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为二次函数开口向上，对称轴为 ，所以其减区间为 ，又函数在 上是 减函数，故 ，所以 ，解得 ，故选 A. 9.函数 f（x）=x2ln|x|的图象大致是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可． 【详解】函数 f（x）＝x2ln|x|是偶函数，排除选项 B，D； 当 x＞1 时，y＞0，x∈（0，1）时，y＜0， 排除 C， 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题 常用方法． 10.已知 ，那么 a，b，c 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的单调性容易得出 log0.90.8＞1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜1，从而可得出 a，b，c 的 大小关系． 【详解】a =log0.90.8＞log0.90.9＝1，c =0.50.6＜0.60.6＜0.60.5 = b＜0.60＝1， ∴a＞b＞c． 故选：A． 【点睛】本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查 了推理能力和计算能力，属于基础题． 11.已知 f（x）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式f（x+1）＞ f（3-2x）的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【详解】∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且在[﹣3，0]上是减函数， ∴f（x）在[0，3]上 减函数， 由 f（x+1）＞f（3﹣2x） 可得 ， 解可得，0 ， 故不等式的解集为{x|0 }， 故选：C． 【 为 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键，综合考查函数性质的应用． 12.已知 x0 是函数 f（x）=lnx- （x＞0）的一个零点，若 x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则 （　　） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】 先确定 f（x）的单调性，从而求解． 【详解】∵f（x）＝lnx （x＞0），y= lnx 与 y= 在 x＞0 上都是增函数， ∴f（x）单调递增． ∵已知 x0 是函数 f（x）＝lnx （x＞0）的一个零点，若 x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜0，f（x2）＞0． 故选：A． 【点睛】本题考查了单调性的应用，属于基础题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.已知幂函数 y=f（x）的图象过（8，2），则 f（x）=______． 【答案】 【解析】 【分析】 设出幂函数，利用幂函数经过的点，求解即可． 【详解】设所求幂函数为：f（x）＝xα， ∵幂函数 f（x）的图象经过点（8，2）， ∴2＝8α，∴α ， ∴f（x） ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，属于基础题． 14.设函数 ，则该函数的值域为 ． 【答案】[2，6] 【解析】 【详解】因为是二次函数，定义域给定，对称轴为 x=1,则在定义域上先减后增， 则最小值在 x=1 处取得，最大值在 x=3 处取得， 代入解析式求解得到分别为 2,6.因此值域为[2,6] 15.已知 是 R 上的增函数，则 的取值范围是__________； 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数是 R 上的增函数，可知函数在各段上是增函数，且 的最 大值要不大于 的最小值,列出满足条件即可求解. 【详解】因为 是 R 上的增函数， 所以 ，解得 ，故 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了分段函数的增减性，一次函数，指数函数的单调性，属于中档题. 16.给出下列说法： ①函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数； ②若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则 k=1； ③若 ，则 f（x）=x2-2； ④函数 y=log2（1-x）的单调减区间是（-∞，1）； 其中所有正确的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】 ①利用反函数的定义即可判断出正误； ②若集合 A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，对 k 需要分类讨论，k≠0 时，利用判别式△＝ 0 即可得出； ③没有给出函数 f（x）的定义域． ④利用复合函数的单调性即可判断出正误． 【详解】①函数 y＝2x 与函数 y＝log2x 互为反函数，正确； ②若集合 A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，k＝0 时，方程化为 4x+4＝0，解得 x＝﹣1， 满足条件； k≠0 时，可得△＝16﹣16k＝0，解得 k＝1．综上可得：k＝0 或 1，因此不正确； ③若 ，则 f（x）＝x2﹣2，定义域为{x|x≥0}，因此不正确； ④函数 y＝log2（1﹣x）的单调减区间是（﹣∞，1），正确． 其中所有正确的序号是①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其单调性、方程的解与判别式的关系、分类讨论方法、 反函数、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.求下列答式的值: (1) (2) 【答案】（1）18；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式＝ ． （2）原式＝ ． 【点睛】本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型． 18.已知集合 ， . （1）当 时，求 ， ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【 答 案 】（ 1 ） ， 或 ； （ 2 ） . 【解析】 【分析】 （1）将 代入集合 ，利用并集、补集的定义可得出集合 和 ； （2）由 得出 ，可得出关于 的不等式组，解不等式组即可得出实数 的取值 范围. 【详解】（1）当 时，集合 ， 因为集合 ，所以 ， 因此， 或 ； （2）因为集合 ， 且 ，则 ， 所以 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查集合并集和补集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，在处 理无限数集的运算时，可充分结合数轴来理解，考查运算求解能力，属于中等题. 19.已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）=-x2+4x． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数 f（x）在 R 上的图象（不用列表）； （3）讨论直线 y=m（m∈R）与 y=f（x）的图象的交点个数． 【答案】（1）f（x）= ； （2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】 本题第（1）题利用偶函数的性质公式 f（x）＝f（﹣x）可得当 x＜0 时的函数表达式，则即 可得到函数 f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数 f（x）的解析式化为顶点式， 即可画出 f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中 f（x）大致图象，对 m 分类讨论即可得 到交点个数． 【详解】（1）由题意， 当 x＜0 时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x， 又∵函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴当 x＜0 时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x， ∴函数 f（x）的解析式为： f（x） ． （2）由（1），知： 当 x＜0 时，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；当 x≥0 时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2） 2+4． ∴f（x） ，大致图象如下： （3）根据（2）中 f（x）大致图象，可知 ①当 m＜0 时，直线 y＝m 与 y＝f（x）的图象有 2 个交点； ②当 m＝0 时，直线 y＝m 与 y＝f（x）的图象有 3 个交点； ③当 0＜m＜4 时，直线 y＝m 与 y＝f（x） 图象有 4 个交点； ④当 m＝4 时，直线 y＝m 与 y＝f（x）的图象有 2 个交点； ⑤当 m＞4 时，直线 y＝m 与 y＝f（x）的图象有没有交点． 【点睛】本题主要考查根据偶函数的性质写出函数完整表达式，二次函数图象画法，数形结 合思想，分类讨论思想的应用，本题属中档题． 的 20.函数 是定义在（-1，1）上的奇函数，且 ． （1）求函数的解析式； （2）证明函数 f（x）在（-1，1）上是增函数． 【答案】（1）f（x）= ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由奇函数的性质可得 f（0）＝0，结合 ，代入可求 a，b； （2）先设﹣1＜x1＜x2＜1，然后根据单调性的定义比较 f（x1）与 f（x2）的大小即可判断． 【详解】（1）∵ 是定义在（﹣1，1）上的奇函数， ∴f（0） 0， ∴b＝0，f（x） ， ∵ ， ∴ ， 解可得，a＝1， ∴f（x） ； （2）设﹣1＜x1＜x2＜1， 则 f（x1）﹣f（x2） ， ∵﹣1＜x1＜x2＜1， ∴x1﹣x2＜0，2﹣x1x2＞0，（2 ）（2 ）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 即 f（x1）＜f（x2）， ∴函数 f（x）在（﹣1，1）上是增函数． 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质及定义求解参数，及函数的单调性的定义在单调 性的判断及证明中的应用． 21.一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少 p%，10 年后 森林面积变为 ．已知到今年为止，森林面积为 ． （1）求 p%的值； （2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？ 【答案】（1）1 ； （2）5 年. 【解析】 【分析】 （1）得出砍伐 n 年后的森林剩余面积关于 n 的函数 f（n），根据 f（10） 计算 p%的值； （2）令 f（n） ，根据指数运算性质计算 n． 【详解】（1）设砍伐 n 年后的森林面积为 f（n），则 f（n）＝a（1﹣P%）n． 由题意可得 f（10） ，即 a（1﹣P%）10 ， 解得：p%＝1 ． （2）由（1）可得 f（n）＝a•（ ）n＝a• ， 令 f（n） 可得， ， ∴ ，即 n＝5． 故到今年为止，该森林已砍伐 5 年． 【点睛】本题考查了函数解析式求解，函数值计算，也可以用等比数列性质来计算，属于中 档题． 22.已知函数 且 (1)若方程 的一个实数根为 2，求 的值; (2)当 且 时，求不等式 的解集; (3)若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 【分析】 （1）用 代入方程 ，可求得 ； （2）由对数函数的性质解此不等式； （3）结合零点存在定理和二次方程根的分布知识求解． 【详解】（1） 即 有一个根是 2， 则 ，∴ ， ． （2）不等式 为 ， ∵ ，∴ ，解得 ， 即不等式的解集为 ． （3）由题意 在 上有解， 解法一： (i)若 ，则 ， ， ， ，满足题 意； (ii)若 ，则 ， ， ， ，满足题意； (iii) ， 或 ． （iv） ，解得 综上所述， 的取值范围是 ． 解法二： ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 或 ． 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，考查函数零点的概念．函数零点问题特别是二次 函数零点分布问题如果用根的分布知识求解有一定的难度，如题中解法一，但若用分离参数 法转化为求函数的值域问题将会显得简单，如解法二，在解题中要注意体会．