2018-2019学年浙江省杭州市西湖高级中学高二4月月考数学试题 Word版
2018-2019学年浙江省杭州市西湖高级中学高二4月月考数学试题
时间：120分钟 满分：150分
命题人：曾辉 审核人：桂艳溢
一、选择题：（本大题共15小题，每小题5分，共75 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合M={x|2-x>0},N={x|-2
b>0)的长轴长为4，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．
答案
一． 选择题
1-5CDACB 6-10BDCBC 11-15BAABD
二． 填空题
16.[—, ], —
17. 2 ,
18. 8
19. y=—3x, (-1,1)
20. 4或1/4，
21.
22. 20
三．解答题
23（1）∵底面ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB⊥AD
（4分）
(2) 以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，E（0，1，1）
(6分)
（8分）
24（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．
（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,
因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．
（3）不妨设,则恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立, 因此和均在上单调递增,
设,
则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性
25. 解：(1)由题意得2a＝4，故a＝2， ……………1分
∵e＝＝，∴c＝，b2＝22－()2＝2，……………3分
∴所求的椭圆方程为＋＝1. ……………4分
(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M(3,5k)，由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0. ……………6分
设S(x1，y1)，则(－2)×x1＝，得x1＝，从而y1＝，
即S， ……………8分
又由B(2,0)可得直线SB的方程为
＝，
化简得y＝－(x－2)， ……………10分
由得，∴N，……………11分
故|MN|＝5k＋，……………12分
又∵k>0，∴|MN|＝5k＋≥2 ＝，…………14分
当且仅当5k＝，即k＝时等号成立．
∴k＝时，线段MN的长度取最小值.……………15分
