2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-6-3圆锥曲线的综合应用

2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-6-3圆锥曲线的综合应用

一、选择题 ‎1．[2016·天津津南一模]平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 答案　A 解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即 解得又λ1＋λ2＝1，‎ 所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.‎ ‎2．[2016·长春质检]过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)‎ A．10 B．13‎ C．16 D．19‎ 答案　B 解析　由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.‎ ‎3．[2016·山西质检]已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　B 解析　∵ ‎∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，‎ 设∠F1PF2＝θ，∴cosθ＝＝，‎ ‎∴S2△PF1F2＝2‎ ‎＝16a4 ‎＝－92≤，‎ 当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是，故选B.‎ ‎4．[2016·云南统检]已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么||·||＝(　　)‎ A．21 B．14‎ C．7 D．0‎ 答案　B 解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∵直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，‎ ‎∴＝①‎ 又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②‎ 又a2＋b2＝c2③‎ ‎∴由①②③得a＝3.‎ 设点P为双曲线右支上一点，‎ ‎∴由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6④‎ 又·＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴在Rt△PF1F2中||2＋||2＝82⑤‎ 联立④⑤，解得||·||＝14.‎ 二、填空题 ‎5．[2016·河南洛阳统考]已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．‎ 答案　x＝－2‎ 解析　将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，‎ ‎∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.‎ ‎6．[2016·南昌一模]已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则·的最小值为________．‎ 答案　－14‎ 解析　由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为y ‎＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±2，所以可取M(2－2，3－2)，N(2＋2，3＋2)，因为l∥MN，所以可设l的方程为y＝x＋m，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4m＝0，又直线l与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4(－4m)＝0，所以m＝－1，l的方程为y＝x－1.设点P(x，x－1)，则＝(2－x－2，4－x－2)，＝(2－x＋2，4－x＋2)，·＝(2－x)2－8＋(4－x)2－8＝2x2－12x＋4＝2(x－3)2－14≥－14.‎ ‎7．[2016·石家庄质检]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝________.‎ 答案　8‎ 解析　依题意作出图象如图所示，设l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，‎ ‎∵tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，‎ ‎∴＝2，‎ ＝2，y1－y2＝4m2，‎ ‎∴4＝4m2，m2＝1，‎ ‎∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8.‎ 三、解答题 ‎8．[2016·合肥质检]设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.‎ ‎(1)求点P的坐标；‎ ‎(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设＝λ＋μ，试判断＋是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．‎ 解　(1)知A(1,1)，B(4，－2)，设点P坐标为(xP，yP)，‎ 切线l1：y－1＝k(x－1)，联立 由抛物线与直线l1相切，解得k＝，‎ 即l1：y＝x＋，同理l2：y＝－x－1，‎ 联立l1，l2的方程，可解得 即点P的坐标为.‎ ‎(2)设M(y，y0)，且－2≤y0≤1，由＝λ＋μ得 ＝λ＋μ，‎ 即解得 则＋＝＋＝1，即＋为定值1.‎ ‎9．[2016·山西四校二联]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由e＝得＝，即c＝a.①‎ 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，‎ 所以a＝＝，代入①得c＝2，‎ 所以b2＝a2－c2＝2.‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，‎ 使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，‎ 则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)‎ ‎＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)‎ ‎＝，‎ 要使上式为定值，即与k无关，3m2－12m＋10＝3(m2－6)，得m＝.‎ 此时，2＋·＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.‎ ‎10．[2016·云南统考]已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且＝λ.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)是否存在m，使＋λ＝4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，‎ 由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.‎ ‎∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，‎ ‎∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴椭圆E的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)根据已知得P(0，m)，由＝λ，得－＝λ(－)．‎ ‎∴＋λ＝(1＋λ).‎ ‎∵＋λ＝4，∴(1＋λ)＝4.‎ 若m＝0，由椭圆的对称性得＝，即＋＝0.‎ ‎∴m＝0能使＋λ＝4成立．‎ 若m≠0，则1＋λ＝4，解得λ＝3.‎ 设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，‎ 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即 k2－m2＋4>0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由＝3得－x1＝3x2，即x1＝－3x2.‎ ‎∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，‎ ‎∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.‎ 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立．‎ ‎∴k2＝.‎ ‎∵k2－m2＋4>0，‎ ‎∴－m2＋4>0，即>0.‎ ‎∴1|F1F2|，‎ 因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且 b2＝a2－c2＝3，‎ 所以曲线E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)由曲线E的方程得上顶点M(0，)，‎ 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1≠0，x2≠0.‎ 若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，‎ 故y1＝－y2，且y＝y＝3，‎ 因此，kMA·kMB＝·＝－＝，‎ 与已知不符，因此直线AB的斜率存在．‎ 设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程＋＝1，‎ 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.①‎ 因为直线AB与曲线E有公共点A，B，‎ 所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，‎ 所以x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 又kAM＝＝，kMB＝＝.‎ 由kAM·kBM＝得4(kx1＋m－)(kx2＋m－)＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－)(x1＋x2)＋4(m－)2＝0，‎ 所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－)(－8km)＋4(m－)2(3＋4k2)＝0，‎ 化简得m2－3m＋6＝0，故m＝或m＝2.‎ 结合x1x2≠0知m＝2，‎ 即直线AB恒过定点N(0,2)．‎ ‎(ⅱ)由Δ>0且m＝2得k>或k<－，‎ 又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝|MN|·|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝≤，‎ 当且仅当4k2－9＝12，即k＝±时，‎ ‎△ABM的面积最大，最大值为.‎ 典题例证 ‎[2016·山东高考] 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎①求证：点M在定直线上；‎ ‎②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ 审题过程 　由条件求出椭圆方程，设出P点坐标，求出切线方程后与椭圆方程联立，顺次求点D、M的坐标．‎ 　利用表面公式表示出，由函数知识求最值．注意设而不求思想的运用.‎ 　(1)由题意知＝，可得：a2＝4b2，‎ 因为抛物线E的焦点F，‎ 所以b＝，a＝1， ‎ 所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①证明：设P(m>0)．‎ 由x2＝2y，可得y′＝x，‎ 所以直线l的斜率为m.‎ 因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，‎ 即y＝mx－，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．‎ 联立方程 得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.‎ 由Δ>0，得0

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