【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十二章概率、随机变量及其分布12-3几何概型的概念学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十二章概率、随机变量及其分布12-3几何概型的概念学案

‎1．几何概型的概念 设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．‎ ‎2．几何概型的概率计算公式 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.‎ ‎3．几何概型试验的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎4．随机模拟方法 ‎(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．‎ ‎(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)‎ ‎(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，‎ 该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)‎ ‎(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　)‎ ‎(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)‎ ‎(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)‎ ‎(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　×　)‎ ‎1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．‎ 答案　 解析　坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间的长度为3，故所求概率为.‎ ‎2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________．‎ 答案　 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，‎ ‎∴0≤x≤.‎ ‎∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P＝＝.‎ ‎3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．‎ 答案　0.18‎ 解析　由题意知，这是个几何概型问题，‎ ＝＝0.18，‎ ‎∵S正＝1，∴S阴＝0.18.‎ ‎4．(2016·南通模拟)一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________．‎ 答案　 解析　如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P＝＝＝.‎ ‎5．(高考改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．‎ 答案　 解析　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，‎ 则P(A)＝＝＝.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 题型一　与长度、角度有关的几何概型 例1　(1)(2016·全国甲卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________．‎ ‎(2)在区间[－，]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.‎ ‎(2)当－≤x≤时，由0≤cos x≤，‎ 得－≤x≤－或≤x≤，‎ 根据几何概型概率公式得所求概率为.‎ ‎(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．‎ 解　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.‎ 在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，‎ 所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.‎ 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．‎ 由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？‎ 解　当－≤x≤时，由0≤cos x≤，‎ 得－≤x≤－或≤x≤，‎ 根据几何概型概率公式得所求概率为.‎ ‎2．本例(3)中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．‎ 解　依题意知BC＝BD＋DC＝1＋，‎ P(BM<1)＝＝.‎ 思维升华　求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．‎ ‎　(1)(2016·全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，‎ 则他等车时间不超过10分钟的概率是________．‎ ‎(2)已知集合A＝{x|－1n.‎ 如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，‎ ‎∴所求的概率为P＝.‎ ‎9．随机地向半圆00且≤1，即2b≤a.‎ 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ，构成所求事件的区域为三角形部分．‎ 所求概率区间应满足2b≤a.‎ 由得交点坐标为(，)，‎ 故所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．‎ 解　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．‎ A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．‎ 所求概率为P(A)＝ ‎＝ ‎＝＝.‎