2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练10 导数的应用(单调性、最值、极值)

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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练10 导数的应用(单调性、最值、极值)

考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)‎ ‎【考点分类】‎ 热点一 利用导数研究函数的单调性 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是( )‎ D C B A ‎ ‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数在是增函数,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2012年高考(辽宁文))函数y=x2㏑x的单调递减区间为 (  )‎ A.(1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎【答案】B ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】‎ 设函数(其中).‎ ‎ (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数,,其中为 实数.‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.‎ 当,即时,,又,且函数 在的图象不间断,∴在上存在零点.‎ 又当时,,故在是单调减函数,所以,在上只有一个零点.‎ 综上所述,当或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.‎ ‎6.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】‎ 已知函数 ‎(Ι)设是的极值点,求,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明.‎ 故=,‎ 综上,当m≤2时,.‎ ‎7.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】‎ 已知函数 ‎(I)当时,讨论的单调性;‎ ‎(II)若时,,求的取值范围.‎ ‎8.【2013年普通高等学校统一考试(天津卷)理科】 ‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为,‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.‎ 则有 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ 所以. ‎ 当时,. ‎ 故. ‎ ‎11.(2012年高考(新课标理))已知函数满足满足;‎ ‎(1)求的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ ‎【方法总结】‎ 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ‎(1)确定函数f(x)的定义域.‎ ‎(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根.‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.‎ ‎(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.‎ 热点二 利用导数研究函数的最值极值 ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是( )‎ A. B.是的极小值点 ‎ C. 是的极小值点 D.是的极小值点 ‎ ‎[答案]D ‎13.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是( )‎ ‎ (A), f()=0‎ ‎ (B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形 ‎ (C)若是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞, )单调递减 ‎ (D)若是f(x)的极值点,则 ()=0‎ ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】设函数 ‎( )‎ ‎(A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值 ‎ ‎(C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值 ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知为自然对数的底数,设函数,则( )‎ A. ‎ 当时,在处取得极小值 ‎ B. 当时,在处取得极大值 ‎ C. 当时,在处取得极小值 ‎ D. ‎ 当时,在处取得极大值 ‎ ‎16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知为常数,函数有两个极值点,‎ ‎,则( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎17.(2012年高考(陕西理))设函数,则 (  )‎ A.为的极大值点 B.为的极小值点 ‎ C.为的极大值点 D.为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.‎ ‎18.(2012年高考(重庆理))设函数在R上可导,其导函数为,且函数 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 (  )‎ A.函数有极大值和极小值 ‎ B.函数有极大值和极小值 ‎ C.函数有极大值和极小值 ‎ D.函数有极大值和极小值 ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】 设函数,其中,区间.‎ ‎(Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为;‎ ‎(Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值.‎ ‎22.(2012年高考(广东文))设,集合,,.‎ ‎(Ⅰ)求集合(用区间表示);‎ ‎(Ⅱ)求函数在内的极值点.‎ ‎,. ‎ ‎(Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且. ‎ ‎①当时,,此时在内有两根和,列表可得 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以在内有极大值点1,极小值点. ‎ ‎②当时,,此时在内只有一根,列表可得 ‎[来源:学*科*网]‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ‎ ‎③当时,,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增[来源:学科网ZXXK]‎ 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ‎ ‎23.(2012年高考(湖南理))已知函数=,其中a≠0.‎ ‎(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.‎ ‎(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 令则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求函数极值的步骤 ‎(1)确定函数的定义域.‎ ‎(2)求方程f′(x)=0的根.‎ ‎(3)用方程f′(x)=0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格.‎ ‎(4)由f′(x)=0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.‎ ‎2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展.从函数图象上可以直观地看出:如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较,就可以求出函数的最大(小)值.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 热点三 利用导数研究综合问题 ‎24.【2013年全国高考新课标(I)文科】已知函数,若,则 的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎25.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若时,,求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)设数列的通项,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由已知,,.‎ 若,则当时,,所以.‎ ‎26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】‎ 设是正整数,为正有理数. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小值;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,记为不小于的最小整数,例如,,.‎ 令,求的值. ‎ ‎ (参考数据:,,,)‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)在④中,令,分别取值81,82,83,…,125,得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ………‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎27.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】‎ ‎(I)证明:当 ‎ ‎(II)若不等式取值范围.‎ ‎28.【2013年全国高考新课标(I)理科】已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.‎ ‎(Ⅰ)求a,b,c,d的值 ‎(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.‎ ‎【答案】(1)因为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),所以b=d=2;因为,故;,故,故;所以,;‎ ‎(2)令,则,由题设可得,故,令得,‎ ‎(1)若,则,从而当时,,当时,即在上最小值为,此时f(x)≤kg(x)恒成立;‎ ‎(2)若,,故在上单调递增,因为所以f(x)≤kg(x)恒成立 ‎(3)若,则,故f(x)≤kg(x)不恒成立;‎ 综上所述k的取值范围为.‎ ‎29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】‎ 已知函数 ‎(I)求证: ‎ ‎(II)若取值范围.‎ 此时 综上:.‎ ‎30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】‎ 设,,已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,称为、关于的加权平均数.‎ ‎(i)判断, ,是否成等比数列,并证明;‎ ‎(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数,记为H. ‎ 若,求的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎31.(2012年高考(天津文))已知函数 ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎ (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;‎ ‎(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ ‎ 或,‎ ‎ 得:函数的单调递增区间为,单调递减区间为 ‎32.(2012年高考(陕西文))设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n为偶数,,,求b+‎3c的最小值和最大值;‎ ‎(3)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 综上可知,.‎ ‎ 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并并证明如下:‎ ‎ 用,当,‎ ‎ ‎ ‎【方法总结】‎ 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意x∈[a,b]都有f(x)≥g(x),可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可.解题技巧总结如下:‎ ‎(1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式.‎ ‎(2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.‎ ‎(3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”.‎ ‎【考点剖析】‎ 一.明确要求 ‎1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次).‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).‎ ‎3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次).‎ ‎4.会利用导数解决某些实际问题.‎ 二.命题方向 ‎1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点.‎ ‎2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值.解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用,一般难度较大,属中高档题.‎ ‎3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题,已成为近几年高考的考点且每年必考!‎ ‎4.选择题、填空题主要考查函数的最值,而解答题则考查函数综合问题,一般难度较大.‎ 三.规律总结 两个注意 ‎(1)注意函数定义域的确定.‎ ‎(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.‎ 两个条件 ‎(1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.‎ ‎(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.‎ 三个防范 ‎(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.‎ ‎(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条件.‎ 如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可导;‎ ‎②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.‎ ‎(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必要条件.‎ ‎【考点模拟】‎ 一.扎实基础 ‎1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】设函数在定义域内的导函数为,若的图象如图1所示,则的图象可能为( )‎ ‎3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知常数、、都是实数,‎ 的导函数为,的解集为,若 的极小值等于,则的值是( )‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎4. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】当时,函数的图像大致是( )‎ ‎5. 【安徽省淮南一中、颍上一中、怀远一中、蒙城一中四校2013届高三5月联考】‎ 函数在R上可导,且导函数满足则的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 【安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测】已知函数 ‎,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A)在上恰有一个零点 (B)在上恰有两个零点 ‎(C)在上恰有一个零点 (D)在上恰有两个零点 ‎7. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知在处取最大值,以下各式正确的序号为 ( )‎ ‎①②③④⑤‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知函数=有零点,则的取值范围是 .‎ ‎9. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】‎ 函数在区间上最大值为 .‎ ‎10. .【2013年浙江省第二次五校联考】设函数(为实数),在区间和上单调递增,则实数的取值范围为______________.‎ 二.能力拔高 ‎11. .【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】设函数的导函数为,对任意R都有成立,则( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)的大小不确定 ‎【答案】C ‎ ‎12. 【北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二)】已知函数是 定义在上的奇函数,且当时,(其中是的导函 数),若,,,则,,的大 小关系是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎13. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】已知函数,则下列说法不正确的是( )‎ ‎(A)当时,函数有零点 ‎(B)若函数有零点,则 ‎(C)存在,函数有唯一的零点 ‎(D)若函数有唯一的零点,则 ‎14. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】设D是函数定义域内的一个区间,若存在,使,则称是的一个“次不动点”,也称在区间D上存在次不动点,若函数在区间上存在次不动点,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎15. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在上只有一个零点,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎16. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】已知函数 ‎(Ⅰ)若在(0,)单调递减,求a的最小值; ‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围.‎ ‎…7分 ‎17. 【广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试】‎ ‎ 已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.‎ ‎ (Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;‎ ‎ (Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.‎ ‎ 18. 【2013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】[来源:Z_xx_k.Com]‎ 已知函数.‎ ‎(1)若函数满足,且在定义域内恒成立,求实数b的取值范围;‎ ‎(2)若函数在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)当时,试比较与的大小.‎ ‎ 19. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 (本题满分14分) 设函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性; ‎ ‎(Ⅱ)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;‎ ‎(Ⅲ)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)当时,恒成立 等价于恒成立, ...........11分 记,所以 ‎, .‎ ‎20. 【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(理科)(本小题满分13分)‎ 已知函数, 令.‎ ‎ (Ⅰ)当时,求的极值;‎ ‎(Ⅱ) 当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,若存在,‎ 使得成立,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)依题意,‎ ‎ 单调递增区间是;‎ 当时,的单调递减区间是;‎ 三.提升自我 ‎21. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】定义在R上的函数的导函数为,已知是偶函数. 若,且,则与的大小关系是( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.不确定 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由可知,当时,函数递减.当时,函数递增.因为函数是偶函数,所以,,即函数的对称轴为.所以若,则.若,则必有,则,此时由,即,综上,选C.‎ ‎22. 【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知函数,设,且函数的零点均在区间内,圆的面积的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎23. 【湖南省永州市2013届高三第一次模拟考试】 已知函数. ‎ ‎(1) 若函数在定义域内为减函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2) 如果数列满足,,试证明:‎ 当时,.(本题满分13分)‎ 解:(1) 函数的定义域为.‎ ‎,,….,‎ 将这n-2个式子相加得 [来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎,将代入得 故当时,               …………….13分 ‎24. 【湖北省八校2013届高三第二次联考】已知函数,且在处的切线方程为 ‎(1)求的解析式; ‎ ‎(2)证明:当时,恒有 ‎(3)证明:若且则 时,;‎ 时,.‎ ‎ (12分)‎ ‎.‎ ‎ (14分)‎ ‎25. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】设函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)如果是函数的一个极值点,求实数a的值及的最大值;‎ ‎(Ⅱ)求实数a的值,使得函数f(x)同时具备如下的两个性质:‎ ‎ ① 对于任意实数且,恒成立;‎ ‎② 对于任意实数且, 恒成立.‎ ‎ ……………8分 ‎【考点预测】‎ ‎1. 设函数有三个零点、x2、x3,且则下列结论正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.函数满足,,则不等式的解集为______.‎ ‎3. 定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时, ,则函数的零点的个数为( )‎ A.1 B‎.2 ‎ C.0 D.0或2‎ ‎4. 若函数对任意的实数,,均有,则称函数 是区间上的“平缓函数”. ‎ ‎(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”,并说明理由;‎ ‎(2) 若数列对所有的正整数都有 ,设, ‎ 求证: .‎ 当 ‎5. 已知函数().‎ ‎(1)若函数在处取得极大值,求的值;‎ ‎(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;‎ ‎(3)证明:,.‎ 综上,-ln(2n+1)<2, ……………………………… 12分
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