数学卷·2018届安徽省阜阳市太和中学高二下学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届安徽省阜阳市太和中学高二下学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）‎ ‎1．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（　　）‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C． D．‎ ‎3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎4．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　）‎ A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1‎ C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ ‎5．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x=0处取极小值 C．在（4，+∞）上为减函数 D．在x=2处取极大值 ‎6．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2‎ 且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）‎ A． +y2=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎7．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5‎ ‎8．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（　　）‎ A．k＜4 B．k＜5 C．k＜6 D．k＜7‎ ‎9．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（　　） ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ m A．15 B．16 C．16.2 D．17‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（　　）‎ A．f（﹣1）=f（1） B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定 ‎11．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）‎ A．bf（a）＜af（b） B．bf（a）＞af（b） C．bf（a）≤‎ af（b） D．af（b）≤bf（a）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）‎ ‎13．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0），则双曲线C1的方程为　　．‎ ‎14．若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是　　．‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　．‎ ‎16．已知命题p：“∀x∈[1，2]， x2﹣ln x﹣a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．请把解答过程写在答题卷上）‎ ‎17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求函数f（x）的解析式．‎ ‎18．随着经济社会的发展，消费者对食品安全的关注度越来越高，通过随机询问某地区110名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容，得到如下的列联表：‎ 年龄与看生产日期与保质期列联表　单位：名 ‎60岁以下 ‎60岁以上 总计 看生产日期与保质期 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 不看生产日期与保质期 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（1）从这50名60岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各有多少名？‎ ‎（2）从（1）中的5名居民样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各1名的概率；‎ ‎（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“年龄与在购买食品时看生产日期与保质期”有关？‎ 附：下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A，B两点，且•=2，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）当 k=1时，求弦长|AB|‎ ‎20．奇函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象E过点两点．‎ ‎（1）求f（x）的表达式；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求m的取值范围．‎ ‎21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）‎ ‎1．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（　　）‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．‎ 根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，‎ 故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把抛物线y=4x2‎ 的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，‎ 故焦点坐标为（0，），‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，‎ 当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，‎ 则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　）‎ A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1‎ C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ ‎【考点】命题的否定；全称命题．‎ ‎【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x=0处取极小值 C．在（4，+∞）上为减函数 D．在x=2处取极大值 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0‎ 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可知C正确，A错误．‎ 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，‎ 可知B、D错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）‎ A． +y2=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的通经，以及半焦距，求出a，得到b，即可求解椭圆方程．‎ ‎【解答】解：F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，可得c=1，‎ 过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，‎ 可得，‎ ‎2（a2﹣c2）=3a，即：2a2﹣2﹣3a=0解得a=2，则b=，‎ 所求的椭圆方程为： +=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，‎ 求导得：y′=3x2+a，所以y′x=1=3+a=2，解得a=﹣1，‎ 把（1，3）及a=﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b=3，‎ 则b的值为3．‎ 故选A ‎　‎ ‎8．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（　　）‎ A．k＜4 B．k＜5 C．k＜6 D．k＜7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据a=44+43+43+42+4+1=341，得到程序中判断框内的“条件”．‎ ‎【解答】解：执行如图的程序框图，输出a的值的规律是4k+4k﹣1+4k﹣2+…+4+1‎ 因为输出的结果是341，‎ 由于44+43+43+42+4+1==341．‎ 即a=44+43+43+42+4+1，需执行5次，‎ 则程序中判断框内的“条件”应为k＜6．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（　　） ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ m A．15 B．16 C．16.2 D．17‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值，‎ ‎【解答】解：∵==3， ==，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（3，），‎ ‎∵y与x线性相关，且回归方程为，‎ ‎∴=3.5×3﹣1.3，∴m=17，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（　　）‎ A．f（﹣1）=f（1） B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜‎ f（1） D．不能确定 ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．‎ ‎【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），‎ 把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），‎ 解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，‎ ‎∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，‎ 则f（﹣1）＞f（1）．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e==．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）‎ A．bf（a）＜af（b） B．bf（a）＞af（b） C．bf（a）≤‎ af（b） D．af（b）≤bf（a）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由已知条件令F（x）=，判断出F′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出F（a）与F（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），‎ 令F（x）=，则F′（x）=，‎ ‎∵xf′（x）﹣f（x）≤0，‎ ‎∴F′（x）≤0，‎ ‎∴F（x）在（0，+∞）上单调递减或常函数 ‎∵对任意的正数a、b，a＜b ‎∴≥，‎ ‎∵任意的正数a、b，a＜b，‎ ‎∴af（b）≤bf（a）‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）‎ ‎13．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0），则双曲线C1的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】结合已知即可得=2，c=，列方程解得a、b的值，即可求出双曲线C1的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C2：﹣=1的渐近线方程为y=±2x，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵且C1的右焦点为F（，0）．‎ ‎∴c=，由a2+b2=c2‎ 解得a=1，b=2，‎ ‎∴双曲线C1的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是　m≥　．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】f（x）为三次多项式函数，解决单调性用导数，函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数即f′（x）＞0在R上恒成立．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2x+m．∵f（x）在R上是单调递增函数，‎ ‎∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2+2x+m≥0．由△=4﹣4×3m≤0，得m≥．‎ 故答案为m≥‎ ‎　‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值．‎ ‎【解答】解：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，‎ 则点A到准线l：x=﹣1的距离为3．‎ 得3=2+3cosθ⇔cosθ=，又m=2+mcos（π﹣θ）⇔=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知命题p：“∀x∈[1，2]， x2﹣ln x﹣a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，]　．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】解命题P是恒成立问题，利用变量分离，构造新函数，用最值法求解，命题q即为方程有解．‎ ‎【解答】解：∵∀x∈[1，2]， x2﹣lnx﹣a≥0‎ ‎∴a≤x2﹣lnx，x∈[1，2]‎ 令：f（x）=x2﹣lnx，x∈[1，2]‎ 则f′（x）=x﹣，∵f′（x）＞0‎ ‎∴f（x）在[1，2]上增函数 ‎∴f（x）的最小值为，‎ ‎∴a≤，‎ 又命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”是真命题，‎ ‎∴△=4a2+32+24a≥0‎ ‎∴a≥﹣2或a≤﹣4‎ 又∵命题p：“∀x∈[1，2]， x2﹣lnx﹣a≥0”‎ 与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”都是真命题 ‎∴实数a的取值范围 是：（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，]，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，]．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．请把解答过程写在答题卷上）‎ ‎17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求函数f（x）的解析式．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求导，由题意可知：f（1）=10，f′（1）=0，即可求得a和b的值，求得函数解析，根据导数与函数单调性的关系，判断函数的极值，求得函数f（x）的解析式．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（1）=10，f′（1）=0，‎ 则，解得：，或，‎ 由，则f（x）=x3﹣3x2+3x+9，求导f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2≥0，‎ ‎∴当x=1，无极值，不成立，‎ ‎，则f（x）=x3+4x2﹣11x+16，‎ 函数f（x）的解析式f（x）=x3+4x2﹣11x+16．‎ ‎　‎ ‎18．随着经济社会的发展，消费者对食品安全的关注度越来越高，通过随机询问某地区110名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容，得到如下的列联表：‎ 年龄与看生产日期与保质期列联表　单位：名 ‎60岁以下 ‎60岁以上 总计 看生产日期与保质期 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 不看生产日期与保质期 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（1）从这50名60岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各有多少名？‎ ‎（2）从（1）中的5名居民样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各1名的概率；‎ ‎（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“年龄与在购买食品时看生产日期与保质期”有关？‎ 附：下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）先求出每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．‎ ‎（2）从这5名60岁以上居民中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件，其中，事件A“选到看与不看生产日期与保质期的居民各一名”包含了6个的基本事件，由此求得所求的概率．‎ ‎（3）根据列联表，求出K2的观测值k的值为7.486＞6.635，再根据P（K2≥6.635）=0.01，得出有99%的把握认为“年龄与在购买食品时看生产日期与保质期”有关．‎ ‎【解答】解：（1）根据分层抽样可得：样本中看生产日期与保质期的60岁以上居民有×30=3名，‎ 样本中不看生产日期与保质期的60岁以上居民有×20=2名．‎ ‎（2）记样本中看生产日期与保质期的3名60岁以上居民为a1、a2、a3，不看生产日期与保质期的2名60岁以上居民为b1、b2，‎ 从这5名60岁以上居民中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：（a1、a2）；（ a1、a3）； （a1、b1）；（ a1、b2）；（a2、a3）；（a2、b1）；（a2、b2）；（a3、b1）；（a3、b2）；（b1、b2）．‎ 其中，事件A“选到看与不看生产日期与保质期的居民各一名”包含了6个的基本事件：（a1、b1）；（ a1、b2）；（a2、b1）；（a2、b2）；（a3、b1）；（a3、b2）．‎ 所以所求的概率为P（A）==‎ ‎（3）根据题中的列联表得k=≈7.486，‎ 又P（K2≥6.635）=0.010，‎ 所以有99%的把握认为“年龄与在购买食品时看生产日期与保质期”有关．‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A，B两点，且•=2，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）当 k=1时，求弦长|AB|‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得p，求得抛物线方程；‎ ‎（2）由（1）可知，利用弦长公式即可求得弦长|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，整理得x2﹣2pkx﹣4p=0，‎ 其中△=4p2k2+16p＞0，‎ 则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，‎ ‎∴•=x1x2+y1y2=x1x2+•=﹣4p+4，‎ 由已知，﹣4p+4=2，解得p=，‎ ‎∴抛物线E的方程为x2=y；‎ ‎（2）由（1）可知：x1+x2=1，x1x2=﹣2，‎ 则丨AB丨=•=3，‎ 弦长|AB|=3．‎ ‎　‎ ‎20．奇函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象E过点两点．‎ ‎（1）求f（x）的表达式；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，由f（x）是奇函数和A、B两点在图象上列出三个方程，解出a、b、c ‎（2）求导，利用导数方法求单调区间 ‎（3）将方程f（x）+m=0有三个不同的实根转化为两图象y=f（x）和y=﹣m有三个交点，利用数形结合解决 ‎【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+ax为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），（x∈R），∴b=0‎ ‎∴f（x）=ax3+cx ‎∵图象过点、‎ ‎∴‎ ‎∴f（x）=x3﹣3x ‎（2）∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）‎ ‎∴﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0；x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0‎ ‎∴f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），减区间是（﹣1，1）‎ ‎（3）∵f（﹣1）=2，f（1）=﹣2‎ 为使方程f（x）+m=0即f（x）=﹣m有三个不等根，则﹣2＜﹣m＜2，即﹣2＜m＜2‎ ‎∴m的取值范围是（﹣2，2）‎ ‎　‎ ‎21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设知， =，b=1，‎ 结合a2=b2+c2，解得a=，‎ 所以+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），‎ 代入椭圆方程+y2=1，‎ 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知得（1，1）在椭圆外，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．‎ 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•‎ ‎=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜ex．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（x）=ex﹣ax，‎ 所以f（0）=1，即A（0，1），‎ 由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．‎ 所以f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．‎ 所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x．‎ 由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，‎ 故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，‎ 因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，‎ 即x2＜ex．‎