甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（理）试题

甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（理）试题

‎2020年兰州一中高考数学模拟试卷2（理科）‎ ‎（命题：赵瑞 审题：卢文彬）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（ 　）‎ A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数 在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若非零实数a，b满足 ，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|‎ ‎4．已知α为锐角，，则 ＝（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，‎ 若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（　　）‎ A． s＞3？ B．s＞5？‎ C．s＞15？ D．s＞10？ ‎ 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．‎ 若动点M满足，则的取值范围是（　　）‎ A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]‎ ‎7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（ 　）‎ A．16 B．15 C．14 D．13‎ ‎8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（　 　）‎ A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）‎ ‎9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（　 　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，若方程的解为，则＝（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．的展开式的常数项是　 　．‎ ‎14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝　 　．‎ ‎15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为　 　．‎ ‎16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC ‎⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．‎ ‎（1）证明：A1C⊥AB1；‎ ‎（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．‎ ‎18．(12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若．‎ ‎19．（12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，‎ 年龄（单位：岁）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70]‎ 保费（单位：元）‎ x ‎2x ‎3x ‎4x ‎5x ‎（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值x0；‎ ‎（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概 率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？‎ ‎20．（12分）已知抛物线的焦点为 ，点 ，点 在抛物线 上，且满足（O为坐标原点）.‎ ‎（1）求抛物线 的方程；‎ ‎（2）过焦点 任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线 交于 两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为， 的面积记为，求证：为定值.‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若存在成立，求整数a的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．‎ 转化为直角坐标方程；‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．‎ ‎2020年兰州一中高考数学模拟试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（C　　）‎ A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（　B　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（C　　）‎ A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|‎ ‎4．已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（　D　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，‎ 若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（　D　）‎ A． s＞3？ B．s＞5？‎ C．s＞15？ D．s＞10？ ‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（　D　）‎ A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]‎ ‎7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（A　　）‎ A．16 B．15 C．14 D．13‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（　C　）‎ A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）‎ ‎9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（A　　）‎ A．﹣y2＝1 B．x2＝1 ‎ C．＝1 D．＝1‎ ‎10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　D　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（　B　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（　B　）‎ A．[﹣，﹣] B．[﹣，2e] C．[﹣，2e] D．[，+∞）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（x2+2）（）5的展开式的常数项是　 3 　．‎ ‎14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝　 　．‎ ‎15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为　 （0，+∞） 　．‎ ‎16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　10π　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．‎ ‎（1）证明：A1C⊥AB1；‎ ‎（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连结AC1．‎ ‎∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1．‎ ‎∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，‎ ‎∴BC⊥平面AA1C1C．‎ 又∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C．‎ ‎∵AC1∩B1C1＝C1，‎ ‎∴A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴A1C⊥AB1．‎ ‎（2）取A1C1的中点为M，连结CM．‎ ‎∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，∴CM⊥A1C1，CM⊥AC．‎ 又∵CM⊥BC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图．‎ 设CB＝1，AC＝2CB＝2，AA1＝AC，∠A1AC＝60°，‎ ‎∴C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（﹣1，1，）．‎ 由（1）知，平面C1AB1的一个法向量为＝．‎ 设平面ABB1的法向量为，则并且，‎ ‎∴．‎ 令x＝1，得，即＝．‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值为：．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎ ‎ ‎19．某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，‎ 年龄（单位：岁）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70]‎ 保费（单位：元）‎ x ‎2x ‎3x ‎4x ‎5x ‎（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；‎ ‎（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概 率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？‎ ‎【解答】解：（1）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．‎ 保险公司每年收取的保费为：‎ ‎10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．‎ ‎∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，‎ 解得x≈29.85，‎ ‎∴x0＝30．‎ ‎（2）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．‎ P（X＝150）＝，P（Y＝2150）＝．‎ ‎∴E（X）＝＝147+43＝190元．‎ ‎②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．‎ ‎∵P（Y＝0）＝，P（Y＝12000）＝，‎ 所以E（Y）＝＝240元，‎ 所以E（Y）＞E（X）．‎ ‎∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.‎ ‎【解答】解：(1)设 因为点B在抛物线C上，‎ ‎（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以 因此，同理可得 因此 ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若存在成立，求整数a的最小值 ‎【解答】解：（1）由题意可知，x＞0，，‎ 方程﹣x2+x﹣a＝0对应的△＝1﹣4a，‎ 当△＝1﹣4a≤0，即时，当x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递减； …（2分）‎ 当时，方程﹣x2+x﹣a＝0的两根为，‎ 且，‎ 此时，f（x）在上f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 在上f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；…（4分）‎ 当a≤0时，，，‎ 此时当，f（x）单调递增，‎ 当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； …（6分）‎ 综上：当a≤0时，，f（x）单调递增，‎ 当时，f（x）单调递减；‎ 当时，f（x）在上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； …（7分）‎ ‎（2）原式等价于（x﹣1）a＞xlnx+2x﹣1，‎ 即存在x＞1，使成立．‎ 设，x＞1，‎ 则，…（9分）‎ 设h（x）＝x﹣lnx﹣2，‎ 则，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ 又h（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，h（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，‎ 根据零点存在性定理，可知h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，‎ 设该零点为x0，则x0∈（3，4），且h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即x0﹣2＝lnx0，‎ ‎∴…（11分）‎ 由题意可知a＞x0+1，又x0∈（3，4），a∈Z，‎ ‎∴a的最小值为5．…（12分）‎ ‎．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．‎ 转化为直角坐标方程；‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为参数），得曲线C1的普通方程为，‎ 由曲线C2的极坐标方程ρ＝2cosθ，得C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；‎ ‎（2）曲线C1化为极坐标方程为，‎ 设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，‎ ‎∴，‎ 由知，，‎ ‎∵，∴或，‎ ‎∴或 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为（﹣∞，4]，‎ ‎∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．‎ ‎（2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12．‎ 又∵a＞0，b＞0，c＞3，‎ ‎，‎ 当且仅当a+1＝2b+2＝c﹣3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，‎ ‎∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为32.‎