【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第三章第6节简单的三角恒等变换学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第三章第6节简单的三角恒等变换学案

第六节简单的三角恒等变换 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基础题.‎ ‎1．化简：＝________.‎ 解析：原式＝＝2cos α.‎ 答案：2cos α ‎2．化简：－2cos(α＋β)．‎ 解：原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．‎ 　　　　 三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简与求值，属于基础题.,常见的命题角度有：,(1)给角求值；,(2)给值求值；,(3)给值求角.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　给角求值 ‎1．(2018·新疆第二次适应性检测)的值是________．‎ 解析：依题意得＝＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎[题型技法]　三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．‎ 角度(二)　给值求值 ‎2．已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2) ‎＝ ‎＝＝＝1.‎ ‎[题型技法]　解三角函数的给值求值问题的基本步骤 ‎(1)先化简所求式子或所给条件；‎ ‎(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；‎ ‎(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．‎ 角度(三)　给值求角 ‎3．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C.或 D.或 解析：选A　∵α∈，∴2α∈，‎ ‎∵sin 2α＝，∴2α∈.‎ ‎∴α∈且cos 2α＝－，‎ 又∵sin(β－α)＝，β∈，‎ ‎∴β－α∈，cos(β－α)＝－，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－×＝，‎ 又α＋β∈，所以α＋β＝.‎ ‎[题型技法]　三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：‎ ‎(1)已知正切函数值，选正切函数．‎ ‎(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．‎ 若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．‎ ‎[题“根”探求]‎ 看个性 角度(一)“给角求值”的解题关键是两种变换：角的变换、结构变换；‎ 角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；‎ 角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”‎ ‎，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求角 找共性 研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解 ‎[冲关演练]‎ ‎1.的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C. D．－ 解析：选D　原式＝＝＝－.‎ ‎2．已知2tan αsin α＝3，α∈，则cos的值是(　　)‎ A．0 B. ‎ C．1 D. 解析：选A　由2tan αsin α＝3，得＝3，‎ 即2cos2α＋3cos α－2＝0，‎ ‎∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．‎ ‎∵－＜α＜0，∴sin α＝－，‎ ‎∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝0.‎ ‎3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)‎ A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z)‎ 解析：选C　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，‎ 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝‎ .‎ 　　　　 三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形等知识综合命题，难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2018·长春模拟)设函数f(x)＝sin xcos x＋cos2 x＋a.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值．‎ ‎[思维路径]‎ 由题给条件想到利用恒等变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式；‎ 由第(1)问想到在ω＞0的前提下，利用周期公式T＝即可计算出函数f(x)的最小正周期，再利用－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解出这个不等式即为函数f(x)的单调递增区间；‎ 由第(2)问想到由x∈计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f(x)的最小值和最大值，列式求出a的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a ‎＝sin 2x＋(1＋cos 2x)＋a ‎＝sin 2x＋cos 2x＋a＋ ‎＝sin＋a＋.‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，‎ 当2x＋＝－时，函数f(x)取得最小值，‎ 即f(x)min＝－＋a＋＝a；‎ 当2x＋＝时，函数f(x)取得最大值，‎ 即f(x)max＝1＋a＋＝a＋.‎ 所以a＋a＋＝，所以a＝0.‎ ‎[解题师说]‎ 三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点 ‎(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．‎ ‎(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．‎ ‎[冲关演练]‎ 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝5＝5sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　　B．－ C. D. 解析：选D　∵cos 2θ＝＝，‎ 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.‎ ‎2．化简：＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选C　原式＝＝＝＝ ，故选C.‎ ‎3．函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．2＋ D．2－ 解析：选B　f(x)＝1－cos 2－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，可得f(x)的最大值是3.‎ ‎4．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D．0‎ 解析：选D　∵sin＝cos，‎ ‎∴cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 即sin α＝－cos α，‎ ‎∴tan α＝＝－1，‎ ‎∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.‎ ‎5．已知sin 2α＝，0<α<，则 cos的值为(　　)‎ A. B．－ C．± D. 解析：选D　因为sin 2α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝.因为0<α<，所以sin α＋cos α＝.‎ 所以 cos＝×(cos α＋sin α)＝.‎ ‎6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝(　　)‎ A．7 B. C．－7 D．－ 解析：选B　sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，即cos α＝－.又α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan＝＝.‎ ‎7．函数y＝sin＋cos 2x的最大值为________．‎ 解析：因为y＝sin＋cos 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＝cos，‎ 故最大值为.‎ 答案： ‎8．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.‎ 解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，‎ ‎∵sinB＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋‎2A)＝cos ‎2A＝，即1－2sin‎2A＝，∴sin A＝.‎ 答案： ‎9．化简： ·＝________.‎ 解析：原式＝· ‎＝·＝·＝.‎ 答案： ‎10．已知方程x2＋3ax＋‎3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.‎ 解析：由已知得tan α＋tan β＝－‎3a，tan αtan β＝‎3a＋1，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝1.‎ 又∵α，β∈，tan α＋tan β＝－‎3a＜0，tan αtan β＝‎3a＋1＞0，∴tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.‎ 答案：－ B级——中档题目练通抓牢 ‎1．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A 的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由题意知，sin A＝－cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，‎ 在等式－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以cos B cos C得tan B＋tan C＝－，‎ 所以tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，‎ 即tan A＝1，所以A＝.‎ ‎2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选C　因为sin α＋2cos α＝，所以sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝(sin2α＋cos2α)，整理得3sin2α－3cos2α－8sin αcos α＝0，则－3cos 2α＝4sin 2α，所以tan 2α＝－.‎ ‎3．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)x2‎ C．xx 解析：选D　f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos 4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)|x2|，即x>x.‎ ‎4．计算 ＝________(用数字作答)．‎ 解析：＝＝＝＝.‎ 答案： ‎5．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.‎ 解析：由cos α＝，0<α<，‎ 得sin α＝＝ ＝，‎ 由0<β<α<，得0<α－β<，又∵cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝ ＝.‎ 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎∴β＝.‎ 答案： ‎6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－‎2f 2(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎ ‎7．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．‎ 解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，‎ 由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，‎ 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝k＋(k∈Z)，‎ 又0<ω<1，所以ω＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(2)由题意可得g(x)＝2sin，‎ 即g(x)＝2cos，‎ 由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，‎ 又α∈，故<α＋<，所以sin＝，‎ 所以sin α＝sin＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.‎ C级——重难题目自主选做 如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ的大小．‎ 解：(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，‎ 则四边形QEDP为矩形．‎ 由扇形半径为1，得|PD|＝sin θ，‎ ‎|OD|＝cos θ.‎ 又|OE|＝|QE|＝|PD|，‎ ‎∴|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cos θ－sin θ，‎ ‎∴S＝|MN|·|PD|＝·sin θ ‎＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.‎ ‎(2)由(1)知S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)‎ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，‎ 因为θ∈，‎ 所以2θ＋∈，所以sin∈.‎ 当θ＝时，S取最大值，且Smax＝.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.若tan θ＝，则＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 解析：选A　＝＝tan θ＝.‎ ‎2．化简：＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选C　原式＝＝＝＝ ，故选C.‎ ‎3．函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．2＋ D．2－ 解析：选B　f(x)＝1－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，可得f(x)的最大值是3.‎ ‎4．已知sin 2α＝，0<α<，则 cos的值为(　　)‎ A. B．－ C．± D. 解析：选D　因为sin 2α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝.因为0<α<，所以sin α＋cos α＝.‎ 所以 cos＝×(cos α＋sin α)＝.‎ ‎5．在△ABC中，若(tanB＋tan C)＝tanB·tan C－1，则sin ‎2A＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选D　由两角和的正切公式知tan(B＋C)＝＝＝－，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin ‎2A＝.‎ ‎6．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.‎ 解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，‎ ‎∵sinB＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋‎2A)＝cos ‎2A＝，即1－2sin‎2A＝，∴sin A＝.‎ 答案： ‎7.函数y＝sin＋cos 2x的单调递增区间为________，最大值为________．‎ 解析：因为y＝sin＋cos 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＝cos，‎ 由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，‎ 故单调递增区间为(k∈Z)，最大值为.‎ 答案：(k∈Z)　 ‎8.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.‎ 解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.‎ 又0<β<α<，∴0<α－β<，‎ 故cos(α－β)＝＝，‎ ‎∵cos α＝，‎ ‎∴sin α＝，‎ 于是sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－× ‎＝，故β＝.‎ 答案： ‎9.化简：(1)；(2).‎ 解：(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－4.‎ ‎(2)法一：原式＝＝ ‎＝＝ ‎＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α.‎ 法二：原式＝＝cos2α· ‎＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α.‎ ‎10.已知函数f(x)＝sin x－cos x＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cos α)，b＝，0＜α＜，且a·b＝.‎ ‎(1)求f(x)在区间上的最值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)f(x)＝sin x－cos x＋2＝2sin＋2，‎ ‎∵x∈，∴x－∈，‎ ‎∴f(x)的最大值是4，最小值是2.‎ ‎(2)由题意知β＝2π，‎ ‎∴a·b＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝，‎ ‎∴sin α＝，‎ ‎∴＝ ‎＝2cos α＝2＝.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的值域为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin＝sin2ωx＋sin ωxcos ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin＋，‎ 因为T＝＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝sin＋，当x∈时，2x－∈，所以sin∈，故所求值域为，故选A.‎ ‎2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知f(x)＝sin2 019x＋＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B　∵f(x)＝sin＋cos＝sin 2 019xcos ＋cos 2 019xsin ＋cos 2 019xcos ＋sin 2 019xsin ＝sin 2 019x＋cos 2 019x＋cos 2 019x＋sin 2 019x＝sin 2 019x＋cos 2 019x＝2sin，∴f(x)的最大值为A＝2；‎ 由题意，得|x1－x2|的最小值为＝，‎ ‎∴A|x1－x2|的最小值为.故选B.‎ ‎3．计算 ＝________(用数字作答)．‎ 解析：＝＝＝＝.‎ 答案： ‎4．已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．‎ 解析：∵α，β∈，∴tan α>0，tan β>0，‎ ‎∴tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝当且仅当＝9tan β时等号成立，∴tan α的最大值为.‎ 答案： ‎5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－‎2f 2(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎ ‎6.(2018·湛江一模) 已知函数f(x)＝Acos(A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan(2α－2β)的值．‎ 解：(1)∵函数f(x)＝Acos(A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为，‎ ‎∴＝＝，∴ω＝2，‎ 又f(0)＝1，∴A＝1，∴A＝2，‎ ‎∴f(x)＝2cos.‎ ‎(2)∵α∈，‎ f＝2cos ‎＝2cos(2α－π)‎ ‎＝－2cos 2α＝－，‎ ‎∴cos 2α＝，sin 2α＝＝，‎ 则tan 2α＝＝.‎ ‎∵β∈，‎ f＝2cos＝2cos 2β＝，‎ ‎∴cos 2β＝，sin 2β＝＝，‎ 则tan 2β＝＝.‎ ‎∴tan(2α－2β)＝＝‎ ＝.‎