2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．命题“存在， ”的否定是（ ）‎ A． 不存在， B． 存在， ‎ C． 对任意的， D． 对任意的， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，‎ 所以为“对任意的， ”，故选D。‎ ‎2．已知全集为，集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，求得集合，再根据集合的补集和交集的运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，集合,，‎ 所以，所以,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．如果，那么下列各式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：令，代入验证排除A，B，D选项，故选C.‎ ‎【考点】不等式的基本性质.‎ ‎4．已知函数，则=（  ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据分段函数的解析式，代入求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，‎ 当平面ABC⊥平面ACD时，‎ 得到的四面体的体积取最大值，‎ 此时点B到平面ACD的距离，所以，‎ ‎∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三棱锥的体积的最值问题，其中解答中根据题意，把矩形折叠成一个三棱锥，求解点B到平面ACD的距离是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎6．的一个充分但不必要的条件是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由不等式，可得，解得，‎ 由此可得：选项A，是不等式成立的一个充要条件；‎ 选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；‎ 选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；‎ 选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎7．已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是 ‎①若 ， ，，则 ‎ ‎②若，，则 ‎③若，，，则 ‎ ‎④若 ， ，则//‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由线线平行的性质定理能判定A是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判定C的正误，在D中，可得或，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，‎ 在A中，由于，‎ 过直线平面都相交的平面，记，‎ 则且，所以，‎ 又，所以，故A是正确的；‎ 在B中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；‎ 在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；‎ 在D中，若，则或，，所以是不正确的，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.‎ ‎8．已知，则的 (　　)‎ A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知，则，‎ 化简，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，则，‎ 又由，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）‎ A． （1）（2）（3） B． （1）（4） C． （1）（2）（4） D． （2）（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；‎ 如图（2），直线 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；‎ 如图（3），直线所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，‎ 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎10．函数，若，，，则有（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.‎ 详解：，在上为减函数，‎ 且时，时，，‎ 且，，‎ 且，‎ 且，，‎ 在上单调递减，‎ ‎，‎ 即 ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 ‎11．设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：函数的图象恒过定点（1，4），的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．‎ 由知，又存在，使得，‎ 知即或，另中恒过（2，0），‎ 故由函数的图象知：‎ a=0时，恒大于0，显然不成立．‎ 若时，，；‎ 若a<0时，，‎ 此时函数图象的对称，故函数在区间为增函数，‎ 又不成立．故选A．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法 ‎12．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．‎ ‎【详解】‎ ‎△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，‎ 底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到 ‎ 见图示：‎ AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=．‎ 该球的表面积为：4π×OD2=7π；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ 二、填空题 ‎13．已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，‎ 利用扇形的弧长公式和勾股定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．‎ 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，‎ 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，‎ 所以展开图中圆心角为90°，‎ 根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了旋转体的侧面展开图的应用问题，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，利用弧长公式求解圆心角的度数，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力.‎ ‎14．已知，则的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，整理得，再利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 则，‎ 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简 ‎，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是 。‎ ‎【答案】[2，3）‎ ‎【解析】试题分析：若0＜a＜1，则函数在区间（-∞，1]上为增函数，不符合题意；若a＞1，则在区间（-∞，1]上为减函数，且t＞0∴即a的取值范围是[2，3）．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，‎ 易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，‎ 故小三角形的边长为，‎ 小球与一个面不能接触到的部分的面积为 ‎，‎ 所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体的结构特征的应用，其中解答的关键是看出小球的运动轨迹是什么，得到一个正三角形，通过计算正三角形的面积之间的关系，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知幂函数在上单调递增，函数．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)当时，记的值域分别为集合，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）0，（2）0≤k≤‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据幂函数的定义和性质求出m检验即可；‎ ‎（2）结合集合的关系进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得：（m﹣1）2=1，⇒m=0或m=2，‎ 当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，‎ 与题设矛盾，舍去，‎ ‎∴m=0．‎ ‎（2）由（Ⅰ）得：f（x）=x2，‎ 当x∈时，f（x）∈，即A=，‎ 当x∈时，g（x）∈[﹣k，4﹣k]，即B=[﹣k，4﹣k]，‎ 若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，‎ 则，即，‎ 解得：0≤k≤．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强．‎ ‎18．解关于的不等式 ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 由题意，原不等式等价于，分类讨论，即可求解不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 原不等式等价于 ‎(1)当时，解集为 ‎(2)当时，原不等式可化为，‎ 因为，所以解集为 ‎(3)当时，，解集为 ‎(4)当时，原不等式等价于，即，‎ 解集为 ‎(5)当时，，解集为 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；‎ 当时，解集为；当时，解集为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数的分式不等式的求解，以及含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解答中根据参数，合理分类讨论求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．‎ ‎（1）求证：AC⊥A1B；‎ ‎（2）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．‎ ‎（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC． ‎ 因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC． ‎ 因为 A1D∩BD=D， ‎ 所以 AC⊥平面A1BD． ‎ 所以 AC⊥A1B． ‎ ‎（2） 因为 A1D⊥平面ABC，‎ 因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD． ‎ 由（1）知 BD⊥AC．‎ 因为 AC∩A1D=D，‎ 所以 BD⊥平面A1ACC1．‎ 因为 BD⊂平面BB1D，‎ 所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎20．某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用（）（单位：万元）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.‎ ‎（1）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，根据，求得的值，得到，进而得到函数利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意有，得 ‎ 故 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时，有最大值. ‎ 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.‎ ‎21．如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，,F是AB上的一点，且,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知 ‎（1）求证：AD平面BCE ‎（2）求证：AD//平面CEF；‎ ‎（3）求三棱锥A-CFD的体积.‎ ‎【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为由于AB是圆的直径，所以AD⊥BD,又因为点C在平面ABD的射影E在BD上，所以CE⊥平面ADB.又因为平面ADB.所以AD⊥CE.又因为.所以AD⊥平面BCE.‎ ‎（2）因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF, 平面CE.所以AD//平面CEF.‎ ‎(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.‎ 试题解析：（1）证明：依题意： ‎ 平面 ∴ ‎ ‎ ∴平面． 4分 ‎（2）证明：中，， ∴‎ 中，， ∴． ‎ ‎∴ ． ∴‎ 在平面外，在平面内，‎ ‎∴平面． 8分 ‎（3）解：由（2）知，，且 平面 ‎∴． 12分 ‎【考点】1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.‎ ‎22．已知函数，若同时满足以下条件：‎ ‎①在D上单调递减或单调递增；‎ ‎②存在区间，使在 上的值域是，那么称为闭函数．‎ ‎（1）求闭函数符合条件②的区间 ；‎ ‎（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；‎ ‎（3）若是闭函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值；‎ ‎（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断 ‎（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围 ‎【详解】‎ 解：（1）∵在R上单减，所以区间[a，b]满足，‎ 解得a=﹣1，b=1‎ ‎（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增 假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即 ‎∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点 故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数 ‎（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．‎ 设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．‎ ‎∴ 得，即所求．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.‎