高考文科数学复习：夯基提能作业本 (20)

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第六节　简单的三角恒等变换 A组　基础题组 ‎1.若cos2αsinα+‎‎7π‎4‎=-‎2‎‎2‎,则sin α+cos α的值为(　　)‎ A.-‎2‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎7‎‎2‎ ‎2.已知sin 2α=‎3‎‎5‎π‎2‎‎<2α<π,tan(α-β)=‎1‎‎2‎,则tan(α+β)等于(　　)‎ A.-2 B.-1 C.-‎2‎‎11‎ D.‎‎2‎‎11‎ ‎3.‎2cos10°-sin20°‎sin70°‎的值是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎4.已知sin 2α=‎1‎‎3‎,则cos2α-‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.-‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.-‎‎2‎‎3‎ ‎5.(2017安徽师大附中模拟)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos θ=(　　)‎ A.‎2‎‎5‎‎5‎ B.‎5‎‎5‎ C.-‎2‎‎5‎‎5‎ D.-‎‎5‎‎5‎ ‎6.已知tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎4‎,则tanα+‎π‎4‎=　　　　. ‎ ‎7.tanπ‎4‎‎+α·cos2α‎2cos‎2‎π‎4‎‎-α的值为　　　　. ‎ ‎8.已知cos(α+β)=‎1‎‎6‎,cos(α-β)=‎1‎‎3‎,则tan αtan β的值为　　　　. ‎ ‎9.已知tan α=-‎1‎‎3‎,cos β=‎5‎‎5‎,α∈π‎2‎‎,π,β∈‎0,‎π‎2‎,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.‎ ‎10.已知函数f(x)=Acosx‎4‎‎+‎π‎6‎,x∈R,且fπ‎3‎=‎2‎.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)设α,β∈‎0,‎π‎2‎, f‎4α+‎‎4π‎3‎=-‎30‎‎17‎, f‎4β-‎‎2π‎3‎=‎8‎‎5‎,求cos(α+β)的值.‎ B组　提升题组 ‎11.若锐角α,β满足(1+‎3‎tan α)(1+‎3‎tan β)=4,则α+β=　　　　. ‎ ‎12.‎3‎tan12°-3‎‎(4cos‎2‎12°-2)sin12°‎=　　　　. ‎ ‎13.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,‎3‎).‎ ‎(1)求sin 2α-tan α的值;‎ ‎(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=‎3‎fπ‎2‎‎-2x-2f2(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的值域.‎ ‎14.已知函数f(x)=‎2‎sin ωx+mcos ωx(ω>0,m>0)的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和m的值;‎ ‎(2)若fθ‎2‎=‎6‎‎5‎,θ∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎,求fθ+‎π‎8‎的值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　cos2αsinα+‎‎7π‎4‎=cos‎2‎α-sin‎2‎α‎2‎‎2‎‎(sinα-cosα)‎=‎(cosα+sinα)(cosα-sinα)‎‎2‎‎2‎‎(sinα-cosα)‎=-‎2‎‎2‎,整理得sin α+cos α=‎1‎‎2‎.‎ ‎2.A　由题意,可得cos 2α=-‎4‎‎5‎,则tan 2α=-‎3‎‎4‎,‎ 故tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=tan2α-tan(α-β)‎‎1+tan2αtan(α-β)‎=-2.‎ ‎3.C　原式=‎2cos(30°-20°)-sin20°‎sin70°‎=‎‎2(cos30°·cos20°+sin30°·sin20°)-sin20°‎sin70°‎ ‎=‎3‎cos20°‎cos20°‎=‎3‎.‎ ‎4.C　cos2α-‎π‎4‎=‎1+cos‎2α-‎π‎2‎‎2‎=‎1+sin2α‎2‎,‎ 将sin 2α=‎1‎‎3‎代入,得原式=‎1+‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎2‎‎3‎,故选C.‎ ‎5.D　当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x=‎5‎‎2‎‎5‎sinx-‎1‎‎5‎cosx=‎5‎sin(x+α)取得最大值其中cosα=‎2‎‎5‎,sinα=-‎‎1‎‎5‎,‎ ‎∴θ+α=2kπ+π‎2‎,k∈Z,即 θ=2kπ+π‎2‎-α,k∈Z,‎ ‎∴cos θ=cos‎2kπ+π‎2‎-α=cosπ‎2‎‎-α=sin α=-‎5‎‎5‎.故选D.‎ ‎6.答案　-4‎ 解析　因为tanα-‎π‎4‎=tanα-1‎‎1+tanα=‎1‎‎4‎,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=tanα+1‎‎1-tanα=‎1‎‎-tanα-‎π‎4‎=-4.‎ ‎7.答案　1‎ 解析　原式=‎sinπ‎4‎‎+α·cos2α‎2sin‎2‎π‎4‎‎+αcosπ‎4‎‎+α ‎=‎cos2α‎2sinπ‎4‎‎+αcosπ‎4‎‎+α ‎=cos2αsinπ‎2‎‎+2α=cos2αcos2α=1.‎ ‎8.答案　‎‎1‎‎3‎ 解析　因为cos(α+β)=‎1‎‎6‎,‎ 所以cos αcos β-sin αsin β=‎1‎‎6‎.①‎ 因为cos(α-β)=‎1‎‎3‎,‎ 所以cos αcos β+sin αsin β=‎1‎‎3‎.②‎ ‎①+②得cos αcos β=‎1‎‎4‎.‎ ‎②-①得sin αsin β=‎1‎‎12‎.‎ 所以tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=‎1‎‎3‎.‎ ‎9.解析　由cos β=‎5‎‎5‎,β∈‎0,‎π‎2‎,‎ 得sin β=‎2‎‎5‎‎5‎,则tan β=2.‎ ‎∴tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=‎-‎1‎‎3‎+2‎‎1+‎‎2‎‎3‎=1.‎ ‎∵α∈π‎2‎‎,π,β∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴π‎2‎<α+β<‎3π‎2‎,‎ ‎∴α+β=‎5π‎4‎.‎ ‎10.解析　(1)因为fπ‎3‎=Acosπ‎12‎‎+‎π‎6‎=Acosπ‎4‎=‎2‎‎2‎A=‎2‎,所以A=2.‎ ‎(2)由f‎4α+‎‎4π‎3‎=2cosα+π‎3‎+‎π‎6‎ ‎=2cosα+‎π‎2‎=-2sin α=-‎30‎‎17‎,‎ 得sin α=‎15‎‎17‎,又α∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以cos α=‎8‎‎17‎.‎ 由f‎4β-‎‎2π‎3‎=2cosβ-π‎6‎+‎π‎6‎=2cos β=‎8‎‎5‎,‎ 得cos β=‎4‎‎5‎,又β∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以sin β=‎3‎‎5‎,‎ 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ‎=‎8‎‎17‎×‎4‎‎5‎-‎15‎‎17‎×‎3‎‎5‎=-‎13‎‎85‎.‎ B组　提升题组 ‎11.答案　‎π‎3‎ 解析　因为(1+‎3‎tan α)(1+‎3‎tan β)=4,‎ 所以1+‎3‎(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,‎ 即‎3‎(tan α+tan β)=3-3tan αtan β=3(1-tan αtan β),‎ 即tan α+tan β=‎3‎(1-tan αtan β).‎ ‎∴tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=‎3‎.‎ 又∵α,β为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=π‎3‎.‎ ‎12.答案　-4‎‎3‎ 解析　原式=‎‎3‎‎·sin12°‎cos12°‎-3‎‎2(2cos‎2‎12°-1)sin12°‎ ‎=‎‎2‎‎3‎‎1‎‎2‎sin12°-‎3‎‎2‎cos12°‎cos12°‎‎2cos24°sin12°‎ ‎=‎‎2‎3‎sin(-48°)‎‎2cos24°sin12°cos12°‎ ‎=‎-2‎3‎sin48°‎sin24°cos24°‎=‎-2‎3‎sin48°‎‎1‎‎2‎sin48°‎=-4‎3‎.‎ ‎13.解析　(1)∵角α的终边经过点P(-3,‎3‎),‎ ‎∴sin α=‎1‎‎2‎,cos α=-‎3‎‎2‎,tan α=-‎3‎‎3‎,‎ ‎∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-‎3‎‎2‎+‎3‎‎3‎=-‎3‎‎6‎.‎ ‎(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,‎ ‎∴g(x)=‎3‎cosπ‎2‎‎-2x-2cos2x=‎3‎sin 2x-1-cos 2x ‎=2sin‎2x-‎π‎6‎-1,‎ ‎∵0≤x≤‎2π‎3‎,∴-π‎6‎≤2x-π‎6‎≤‎7π‎6‎.‎ ‎∴-‎1‎‎2‎≤sin‎2x-‎π‎6‎≤1,‎ ‎∴-2≤2sin‎2x-‎π‎6‎-1≤1,‎ 故函数g(x)=‎3‎fπ‎2‎‎-2x-2f2(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的值域是[-2,1].‎ ‎14.解析　(1)易知f(x)=‎2+‎m‎2‎sin(ωx+φ)(φ为辅助角),‎ ‎∴f(x)min=-‎2+‎m‎2‎=-2,又m>0,∴m=‎2‎.‎ 由题意知函数f(x)的最小正周期为π,∴‎2πω=π,∴ω=2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎2‎sin 2x+‎2‎cos 2x=2sin‎2x+‎π‎4‎,‎ ‎∴fθ‎2‎=2sinθ+‎π‎4‎=‎6‎‎5‎,‎ ‎∴sinθ+‎π‎4‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∵θ∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎,∴θ+π‎4‎∈π‎2‎‎,π,‎ ‎∴cosθ+‎π‎4‎=-‎1-sin‎2‎θ+‎π‎4‎=-‎4‎‎5‎,‎ ‎∴sin θ=sinθ+π‎4‎-‎π‎4‎=sinθ+‎π‎4‎cosπ‎4‎-cosθ+‎π‎4‎·sinπ‎4‎=‎7‎‎2‎‎10‎,‎ ‎∴fθ+‎π‎8‎=2sin‎2θ+‎π‎8‎+‎π‎4‎ ‎=2sin‎2θ+‎π‎2‎=2cos 2θ ‎=2(1-2sin2θ)=2×‎1-2×‎‎7‎‎2‎‎10‎‎2‎=-‎48‎‎25‎.‎