江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019-2020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、选择题： 1.设 ，则下列不等式一定成立的是 　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断． 【详解】 ， ， ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题． 2.已知向量 ， .若向量 与向量 平行，则实数 的值 是（ ） A. 6 B. -6 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】 求出向量 的坐标，利用向量共线定理即可得出． 【详解】解： ， 又因为向量 与向量 平行 所以存在实数 ，使得 x a 0< < ( ) 2 2x ax a< < 2 2x ax a> > 2 2x a ax< < 2 2x a ax> > 0x a< < 2ax a∴ > 2x ax> 2 2x ax a∴ > > ( )0,1,1a = ( )1, 2,1b = − a b+  ( ),2,c m n= n a b+  ( )0,1,1a =  ( )1, 2,1b = − ( )1, 1,2a b∴ + = −  a b+  ( ),2,c m n= λ ( )a b cλ + =   解得 故选： 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知椭圆 ： ，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此 椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 椭圆长轴为 ，焦点恰好三等分长轴，所以 椭圆方程为 ，故选 B. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、 公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5 人以 爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等 差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　） A. 三分鹿之一 B. 三分鹿之二 C. 一鹿 D. 一鹿、三分鹿之一 【答案】A 【解析】 分析： 本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出 5 人所得依次成等差 数列，其中 ， ，要求 ，由等差数列的前 项和公式易解得． 详解：显然 5 人所得依次成等差数列，设公士所得为 ， 则 ，解得 ． 故选 A． 2 2 m n λ λ λ = ∴ = −  = 2 2 4 m n λ = − ∴ = −  = − D C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 136 32 x y+ = 2 2 19 8 x y+ = 2 2 19 5 x y+ = 2 2 116 12 x y+ =  6 2 6, 3,a a= = 2 26 6, 1, 1 8,c c b a∴ = = = − = ∴ 2 2 19 8 x y+ = 1 5 3a = 5 5S = 5a n x 55( )3 52 x+ = 1 3x = 点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中 集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成． 5.已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为 （ ） A. 16 B. 32 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式、前 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 ． 【详解】解： 等比数列 为单调递增数列， 设其前 项和为 ， ， ， ， 解得 ， ， ． 故选： ． 【点睛】本题考查数列的第 5 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与 计算能力，属于基础题． 6.下列不等式或 命题一定成立的是（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ 最小值为 2. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 { }na n nS 2 2a = 3 7S = 5a 1 4 n 5a  { }na n nS 2 2a = 3 7S = ∴ 2 1 3 1 3 2 (1 ) 71 a a q a qS q = =  − = = − 1 1a = 2q = 4 4 5 1 1 2 16a a q∴ = = × = A ( )2 1lg lg 04x x x + ≥ >   ( )1sin 2 ,ksinx x kx π+ ≥ ≠ ∈Ζ ( )2 1 2x x x+ ≥ ∈ R ( )2 2 3 2 xy x Rx += ∈+ 根据基本不等式的性质一一验证. 【详解】解：① ，由基本不等式可得 当且仅当 时取等号，故正确； ② 可以取负值，故 不成立，故错误； ③由基本不等式可得 当且仅当 时取等号，故正确； ④当 时 故错误. 故选： 【点睛】本题考查基本不等式 应用，属于基础题. 7.已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得出关于 的不等式 的解集为 ，由此得出 或 ，在 成立时求出实数 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得 出实数 的取值范围. 【详解】由题意知，关于 的不等式 的解集为 . （1）当 ，即 ． 当 时，不等式 化为 ，合乎题意； 当 时，不等式 化为 ，即 ，其解集不 的 0x > 2 1 124 2x x x+ ≥ ⋅ ⋅ = ( )2 1lg lg 04x x x ∴ + ≥ >   1 2x = sin x ( )1sin 2 ,ksinx x kx π+ ≥ ≠ ∈Ζ 2 1 2 1 2x x x+ ≥ ⋅ ⋅ = 1x = 0x = 2 2 0 3 3 20 2 2y += = <+ C x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − ≥ a 62, 5  −   62, 5  −   6 ,25  −   ( ] [ ),2 2,−∞ +∞ x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0a − = 2 4 0 0 a − < ∆ < 2 4 0a − = a a x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0a − = 2a = ± 2a = ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < 1 0− < 2a = − ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < 4 1 0x− − < 1 4x > − 为 ，不合乎题意； （2）当 ，即 时． 关于 的不等式 的解集为 . ，解得 ． 综上可得，实数 的取值范围是 ．故选 C． 【点睛】本题考查二次不等式在 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系 数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 8.设 为数列 的前 项和，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 可求数列 的通项公式，利用等比数列的前 项和求 . 【详解】解： 当 时， ，解得 ， 当 时， ， ， 故 是以 ， 的等比数列， 故选： R 2 4 0a − ≠ 2a ≠ ±  x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0 0 a − <∴∆ < 26 5 a− < < a 6 ,25  −   R nS { }na n 2 3n nS a= − 6S = 192 96 93 189 1 1 1 2n n n S na S S n− ==  − ≥ { }na n 6S 2 3n nS a= − 1n = 1 12 3S a= − 1 3a = 1n ≥ 1 12 3n nS a− −= − ( )1 12 3 2 3n n n nS S a a− −∴ − = − − − 12 2n n na a a −∴ = − 12n na a −∴ = 1 2n n a a − ∴ = { }na 1 3a = 2q = 13 2n na −∴ = ⋅ ( )6 6 3 1 2 1891 2S − ∴ = =− D 【点睛】本题考查利用 求 ，以及等比数列的前 项和，属于基础题. 9.若正数 、 满足 ，设 ，则 的最大值是（ ） A. 12 B. -12 C. 16 D. -16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 则 ，将式子换元成关于 的二次函数，利用二次函数 的性质求最值，值得注意 的取值范围. 【详解】解： 、 解得 当且仅当 时取得最大值 故选： 【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题. 10.正四面体 的棱长为 2， 、 分别为 、 的中点，则 的值为（ ） A. -2 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D nS na n a b ( )2 5ab a b= + + ( )( )4 12y a b a b= + − − − y ( )2 5ab a b= + + 5 2 aba b −+ = ab ab ( )2 5ab a b= + + 5 2 aba b −∴ + = 0a > 0b > 5 22 aba b ab −∴ + = ≥ 25ab ≥ ( )( )4 12y a b a b= + − − − 5 54 122 2 ab aby − −  ∴ = − −     13 29 2 2 ab aby − −  ∴ =      ( )213 29 1 21 162 2 4 ab aby ab − −  ∴ = = − − +     25ab ≥ max 12y∴ = 25ab = A ABCD E F BC AD AE AF⋅  【解析】 【分析】 如图所示， ， ．代入 ，利用数量积运算性质即可得 出． 详解】解：如图所示， ， ． ． 故选： ． 【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 11.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在 点 ，使得 ，则该离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 结合椭圆离心率的定义可得 ，可求得 ， 【 1 ( )2AE AB AC= +   1 2AF AD=  AE AF⋅  1 ( )2AE AB AC= +   1 2AF AD=  ∴ 1 1 1( ) ( )2 2 4AE AF AB AC AD AB AD AC AD= + = +             2 21 (2 cos60 2 cos60 )4 = ° + ° 1= D ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F e P 1 2 PF ePF = e )2 1,1 − 2 ,12      (0, 2 1−  20, 2       1 2 PF ePF = 1 2 1 2 2 2 21 1PF PF PF a ePF PF PF ++ = = = + 2 2 1 aPF e = + 而 ，从而可求得离心率 的取值范围． 【详解】解：依题意，得 ， ，又 ， ，不等号两端同除以 得， ， ，解得 ， 又 ， ． 即 故选： 【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得 ，利用 解决问题是关键，也是难点，属于中档题． 12.当 为正整数时，定义函数 表示 的最大奇因数.如 ，则 ( ) A. 342 B. 345 C. 341 D. 346 【答案】A 【解析】 ， 而 ， ， ， ， 又 ， 2a c PF a c− +  e 1 2 1 2 2 2 21 1PF PF PF a ePF PF PF ++ = = = + 2 2 1 aPF e ∴ = + 2a c PF a c− +  2 1 aa c a ce ∴ − ++  a 21 11e ee − ++  ∴ 21 2 1 2 e e  − +   2 1e − 0 1e< < ∴ 2 1 1e− < )2 1,1e ∈ − A 2 2 1 aPF e = + 2a c PF a c− +  n ( )N n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N 3 3, 10 5, , 1 2 3 2nN S n N N N N= = = + + + +  ( )5S = ( ) ( ) ( )2 , 2 1 2 1N n N n N n n= − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ... 2nS n N N N N= + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 5 ... 2 1 2 4 ... 2n nS n N N N N N N N ∴ = + + + + − + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 3 5 ... 2 1 1 2 3 ... 2n nS n N N N N − ∴ = + + + + − + + + + +  ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 2 1 2 1 2 1 42 2 n n nS n S n n S n S n −+ −∴ = × + − ≥ ⇒ − − = ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2S N N= + = + = ，故选 A. 二、填空题 13.命题 “ ，都有 ”的否定：______. 【答案】 ，使得 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论． 【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是： ，有 ； 故答案为： ，有 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14.不等式 的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式，解得. 【详解】解： 故不等式的解集为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 45 1 5 4 4 3 ... 2 1 4 4 4 4 5S S S S S S S S S     ∴ − = − + − + + − = + + + ⇒      2 3 42 4 4 4 4= + + + + 342= :p 0x∀ > 2 0x x− ≥ 0x∃ > 2 0x x− < 0x∃ > 2 0x x− < 0x∃ > 2 0x x− < 1 3x x − > 1 ,02  −   1 3x x − > 1 3 0x x −∴ − > 1 2 0x x − −∴ > ( )1 2 0x x∴ − − > ( )2 1 0x x∴ + < 1 02 x∴− < < 1 ,02  −   故答案为： 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 15.已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线 的渐近线方程为 【答案】 【解析】 试题分析：因为双曲线 的离心率为 2，所以 1+ =4， =3， 又双曲 线焦点与椭圆 的焦点相同，即焦点在 x 轴上，故双曲线的渐近线方程为 ． 考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质． 点评：基础题，圆锥曲线中 A,b,c,e 关系要熟悉，并做到灵活运用． 16.已知 ， 那么 的最小值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】 先根据条件消掉 ，即将 代入原式得 ，再裂项并用贴“1”法，最后运用 基本不等式求其最小值． 【详解】解：因为 ，所以， ， 因此， 的 1 ,02  −   2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 x y+ = 3y x= ± 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 b a 2 2 b a 3b a = ± 2 2 125 9 x y+ = 3y x= ± 1 2ab = ( ), 0,1a b∈ 1 2 1 1a b +− − b 1 2b a = 1 4 1 2 1 a a a +− − 1 2ab = 1 2b a = 1 2 1 2 11 1 1 1 2 a b a a + = +− − − − 1 4 1 2(2 1) 2 1 2 1 1 2 1 a a a a a a − += + = +− − − − 1 2 12 2( ) 21 2 1 2 1 2 2 1 a a a a = + + = + +− − − − 1 12( )[(2 1) (2 2 )] 22 1 2 2 a aa a = + − + − +− − ， 当且仅当： ，即 时，取“ ”， 即 的最小值为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴 1 等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题． 三、解答题： 17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ；(2) 【解析】 试题分析： （1）根据等差数列基本量的运算求得 ，故可得通项公式．（2）根据数列 通项公式的特点利用裂项相消法求和． 试题解析： （1）设等差数列 的公差为 ， 由题意得 ， 解得 （2）由（1）得 2 2 2 12[1 1 ] 22 1 2 2 a a a a − −= + + + +− − 2 2 2 12(2 2 ) 2 102 1 2 2 a a a a − −+ ⋅ + =− − 2 2 2 1 2 1 2 2 a a a a − −=− − 3 4a = = 1 2 1 1a b +− − 10 10 { }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S = { }na 1 3 1n na b n = − { }nb n nT 3 2na n= + .2(3 2)n nT n = + 1 5 3a d= =， { }nb { }na d 2 5 1 5 3 1 2 5 25 5 5 10 55 a a a d S a a d + = + =  = = + = 1 5, 3, a d =  = ( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = + ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n b a n n n n n  = = = − − − + − +  18.已知 ，函数 ． （1）若 对 (0，2)恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 a＝1 时，解不等式 ． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分离参数 a，构造函数利用均值不等式求最值即可； （2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可． 【详解】（1）∵f（x）≤2x 对 x∈（0，2）恒成立， ∴a≤ +2x 对 x∈（0，2）恒成立， ∵ +2x≥2 ，当且仅当 =2x，即 x= 时等号成立， ∴a （2）当 a=1 时，f（x）=1﹣ ，∵f（x）≥2x，∴1﹣ ≥2x， ①若 x＞0，则 1﹣ ≥2x 可化为：2x2﹣x+1≤0，所以 x∈∅； ②若 x＜0，则 1﹣ ≥2x 可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1 或 x≤﹣ ，∵x＜0，∴x≤﹣ ， 由①②可得 1﹣ ≥2x 的解集为：（﹣∞，﹣ ] 【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题． 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n  = + + = − + − + + − − +   ( ) 1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2 n n n  = − = + +  a R∈ 1( )f x a x = − ( ) 2f x x≤ x∈ ( ) 2f x x≥ 2 2a ≤ 1( , ]2 −∞ − 1 x 1 x 2 1 x 2 2 2 2≤ 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 x 1 2 19.在平面直角坐标系 中，曲线 上的动点 到点 的距离减去 到直线 的距离等于 1. (1)求曲线 的方程； (2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：直线 与直线 的倾斜角互补. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用抛物线定义“到定点距离等 2 于到定直线距离的点的轨迹”求动点 的轨迹； （2）设 直线与抛物线方程联立化为 ， ．由于 ，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线 与直线 的斜率 之和 0，即可证明 【详解】（1）曲线 上的动点 到点 的距离减去 到直线 的 距离等于 1， 所以动点 到直线 的距离与它到点 的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线 ； （2）证明：设 .联立，得 ，（ ） ∴ ， , ，∴直线线 与直线 的斜率之和： 因为 ∴直线 与直线 的斜率之和为 ， ∴直线 与直线 的倾斜角互补. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算 公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． xoy C ( )( ), 0M x y x > ( )2,0F M 1x = − C ( )2y k x= + C A B FA FB 2 8y x= P ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2(4 8) 4 0k x k x k+ − + = ( 0)k ≠ > 0∆ FA FB C ( )( ), 0M x y x > ( )2,0F M 1x = − M 2x = − ( )2,0F 2 8y x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 2 2 24 8 4 0k x k x k+ − + = 0k ≠ > 0∆ 2 1 2 2 8 4kx x k −+ = 1 2 4x x = FA FB ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 k x k xy y x x x x + ++ = +− − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 k x x k x x k x x x x x x + − + − + −= =− − − − 1 2 4x x = FA FB 0 FA FB 20.某种汽车购买时费用为 14．4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元，汽 车的维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6 万元，……，依等差数列逐 年递增． （Ⅰ）设使用 n 年该车的总费用（包括购车费用）为 f(n)，试写出 f(n)的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）． 【答案】（1） ;（2）12 年. 【解析】 【分析】 （I）由已知中某种汽车购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元，汽车的维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6 万元，…，依等差 数列逐年递增，根据等差数列前 n 项和公式，即可得到 f（n）的表达式； （II）由（I）中使用 n 年该车的总费用，我们可以得到 n 年平均费用表达式，根据基本不等 式，我们易计算出平均费用最小时的 n 值，进而得到结论． 【详解】（I = = (Ⅱ)设该车的年平均费用为 S 万元, 则有仅当 n=12 时,等号成立. 汽车使用 12 年报废为宜. 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式 求最值是解题的关键，属于中点题. 21.如图 ，在高为 的等腰梯形 中， ，且 ， ，将它沿对称 轴 折起，使平面 平面 ，如图 ，点 为 的中点，点 在线段 ( )2 *( ) 0.1 14.4f n n n n N= + + ∈ ( ) 14.4 (0.2 0.4 0.6 0.2 ) 0.9f n n n= + + + +…+ + 0.2 ( 1)14.4 0.92 n n n ++ + 20.1 14.4n n+ + 1S= ( )f nn ( )21 0.1 14.4n nn = + + 14.4 110 n n = + + 2 1.44 1≥ + 2 1.2 1= × + 3.4= 1 6 ABCD / /AB CD 12AB = 6CD = 1OO 1ADO O ⊥ 1BCO O 2 P BC E AB 上(不同于 ， 两点)，连接 并延长至点 ，使 . (1)证明： 平面 ； (2)若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，把证明 平面 的问题转化为证明 ， 即可；（2）求出平面 的法向量为 和平面 的一个法向量 为 ，把求二面角 的余弦值的问题转化为求 与 的夹角的余弦值的 问题即可. 【详解】(1)证明：由题设知 ， ， 两两垂直，所以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 的长为 ， 则 ， ， ， ， ， ). A B OE Q / /AQ OB OD ⊥ PAQ 2BE AE= C BQ A− − 6 6 OD ⊥ PAQ 0OD AQ⋅ =  0OD PQ⋅ =  CBQ ( )1 , ,n x y z= ABQ ( )2 0,0,1n = C BQ A− − 1n 2n OA OB 1OO O OA OB 1OO x y z AQ m ( )0,0,0O ( )6,0,0A ( )0,6,0B ( )0,3,6C ( )3,0,6D ( )6, ,0Q m 因为点 为 的中点，所以 ， 所以 ， ， . 因为 ， ， 所以 ， ，又 与 不共线， 所以 平面 . (2)解　因为 ， ，所以 ， 则 ，所以 ， . 设平面 的法向量为 ， 由 得 令 ，则 ， ， . 易得平面 的一个法向量为 . 设二面角 的大小为 ，由图可知， 为锐角， 则 ， 即二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线面垂直及求二面角的平面角问题，求 出平面的法向量是解决问题的关键，属常规考题. 22.已知椭圆 ： ( )，F 为左焦点，A 为上顶点， 为右顶点，若 ，抛物线 顶点在坐标原点，焦点为 F． （1）求 的标准方程； 的 P BC 90, ,32P     ( )3,0,6OD = ( )0, ,0AQ m= 96, , 32PQ m = − −    0OD AQ⋅ =  0OD PQ⋅ =  OD AQ⊥  OD PQ⊥  AQ PQ OD ⊥ PAQ 2BE AE= / /AQ OB 1 32AQ OB= = ( )6,3,0Q ( )6,3,0QB = − ( )0, 3,6BC = − CBQ ( )1 , ,n x y z= 1 1 0 0 n QB n BC  ⋅ = ⋅ =     6 3 0 3 6 0 x y y z − + = − + = 1z = 2y = 1x = ( )1 1,2,1n = ABQ ( )2 0,0,1n = C BQ A− − θ θ 1 2 1 2 6cos 6 n n n n θ ⋅= =     C BQ A− − 6 6 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > (2,0)B 7 2AF AB=  2C 1C （2）是否存在过 F 点的直线，与 和 交点分别是 P，Q 和 M，N，使得 ？ 如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 分析：（1）由题设有 ，再根据 可得 的值，从而得到椭圆的标准方程. （2）因为 ，故 ，设直线方程为 ，分别联立直 线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去 后利用韦达定理用 表示 ，解出 后 即得直线方程. 详解：（1）依题意可知 ，即 ， 由右顶点为 得 ，解得 ，所以 的标准方程为 . （2）依题意可知 方程为 ，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为 ， ， 联立方程组 ，得 ， 由韦达定理得 ，则 ， 联立方程组 ，得 ，由韦达定理得 ， 所以 ， 若 ，则 ，即 ，解得 ， 所以存在符合题意的直线方程为 或 . 点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与 圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为 的 1C 2C 1 2OPQ OMNS S=   2 2 14 3 x y+ = 6 1 03x y+ + = 6 1 03x y− + = 2a = 7 2AF AB=  b 1 2OPQ OMNS S∆ ∆= 1 2PQ MN= 1x ky= − x k ,PQ MN k 7 2AF AB=  2 27 2a a b= + ( )2,0B 2a = 2 3b = 1C 2 2 14 3 x y+ = 2C 2 4y x= 1x ky= − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,P x y Q x y M x y N x y 2 2 1 3 4 12 x ky x y = −  + = ( )2 23 4 6 9 0k y ky+ − − = 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 ky y y yk k −+ = =+ + 2 1 2 2 12 4 3 4 ky y k +− = + 2 1 4 x ky y x = −  = − 2 4 4 0y ky+ − = 3 4 3 44 , 4y y k y y+ = − = − 2 3 4 4 1y y k− = + 1 2OPQ OMNS S∆ ∆= 1 2 3 4 1 2y y y y− = − 2 2 2 12 4 2 13 4 k kk + = ++ 6 3k = ± 6 1 03x y+ + = 6 1 03x y− + = 直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值 域等问题.