2018-2019学年四川省绵阳南山中学高二下学期入学考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省绵阳南山中学高二下学期入学考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省绵阳南山中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线x-y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据方程求斜率，再求倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设该直线的倾斜角为θ，（0°≤θ＜180°）‎ 直线方程x-y+1=0，其斜率k=1， ‎ 有tanθ=k=1，解可得θ=45°， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线斜率与倾斜角，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2．经过点A（3,2），且与直线平行的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设直线方程为，因为经过点A（3,2），所以，所以直线方程为。‎ 考点：直线方程的求法；直线平行的条件。‎ 点评：与Ax＋By＋C＝0平行的直线可深为：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)。‎ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为：Bx－Ay＋C1＝0。‎ ‎3．已知，应用秦九韶算法计算时的值时，‎ 的值为( )‎ A．27 B．11 C．109 D．36‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由秦九韶算法可得 ‎1‎ 故答案选 ‎4．南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（　　）‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 男生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ A．1，6 B．2，12 C．2，4 D．4，16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定抽样比例，再根据抽样比例确定结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，得；‎ 抽取20人组成样本时的抽样比例是，‎ ‎∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2，‎ 女生人数是60×=12．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高（cm）‎ ‎118‎ ‎126‎ ‎136‎ ‎144‎ 由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为 A．154 B．153 C．152 D．151‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由表格可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，那么可知回归方程必定过样本中心点，即为（7,131）代入可知，=65，预测该学生10岁时的身高，将x=10代入方程中，即可知为153，故可知答案为B 考点：线性回归直线方程 点评：主要是考查了线性回归直线方程的回归系数的运用，属于基础题。‎ ‎6．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：椭圆右焦点,双曲线渐近线,即 ‎，故选D．‎ 考点：1、圆的方程；2、直线与圆锥曲线．‎ ‎7．某校举行演讲比赛，9位评委给选手打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的)无法看清，若统计员计算无误，则数字应该是（ ） ‎ ‎ ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，余下的个数字的平均数是，，，故选D.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出的值为（　　 ）‎ A． B．‎ C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：第一圈，i=0，s=2，是，i=1,s=;‎ 第二圈，是，i=2，s=;‎ 第三圈，是，i=3，s=－3；‎ 第四圈，是，i=4，s=2；‎ 第五圈，否，输出s，即输出2，故选D。‎ 考点：本题主要考查程序框图的功能识别。‎ 点评：简单题，注意每次循环后，变量的变化情况。‎ 视频 ‎9．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发有有诸多不利影响，影响学生的健康成长，如表是性别与吃零食的列联表：‎ 男 女 总计 喜欢吃零食 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 不喜欢吃零食 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 附：K2=，‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 根据以上数据，你有多大把握认为“喜欢吃零食与性别有关”（　　）‎ A．以上 B．以上 C．以上 D．以上 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式计算卡方，再对照数据作判断.‎ ‎【详解】‎ 根据列联表，计算K2==4＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为“喜欢吃零食与性别有关”．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查卡方计算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的，如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，则它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先列约束条件，计算面积，最后根据几何概型概率公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 设甲，乙两船到达时间分别为x，y，‎ 则0≤x＜24，0≤y＜24，‎ 它们中的任何一条船不需要等待码头空出，则只需|y-x|≥4，‎ 设“它们中的任何一条船不需要等待码头空出”为事件A，‎ 则由几何概型中的面积型可得：‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．若关于x的方程=kx+2只有一个实数根，则k的取值范围为（　　）‎ A． B．或 C．或 D．或或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程的 根转化为两函数图象交点，结合图象确定k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意设y1=，y2=kx+2，‎ 当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；‎ 当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：‎ 根据图象可知，当k＞1或k＜-1时，直线y=kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，‎ 综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜-1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，先计算垂直于直线的方程，计算与x轴交点，建立不等式，计算e的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 设直线l为过且与垂直的直线，则直线l的斜率为 而，则该直线方程为，所以该直线与x轴交点坐标为，要使得为钝角，则说明直线在直线l上方，故满足，结合 得到，结合解得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了椭圆的基本性质，考查了点斜式直线方程计算方法，关键得出两直线与x轴交点的关系，建立不等式，计算e的范围，即可，属于偏难的题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图所示程序执行后输出的结果是______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析程序语句中两个变量的执行过程，可得该程序为先判断后计算的当型循环算法，模拟执行过程，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 程序执行如下 ‎—‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎14‎ ‎1‎ ‎15‎ ‎0‎ 输出 ‎ 故程序终止时，输出.‎ 故答案为0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构的伪代码，当程序的循环次数不多时，常采用模拟程序执行的方法得到程序的运行结果.‎ ‎14．空间直角坐标系中点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P1，点P（2，3，5）关于y轴的对称点为P2，则|P1P2|=______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对称得P1 ，P2坐标，再根据两点间距离公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵空间直角坐标系中点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P1，‎ 点P（2，3，5）关于y轴的对称点为P2，‎ ‎∴P1（-2，3，5），P2（-2，3，-5），‎ ‎∴|P1P2|= ．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间点对称关系以及两点间距离公式，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎15．过圆x2+（y-2）2=4外一点A（3，-2），引圆的两条切线，切点为T1，T2，则直线T1T2的方程为______．‎ ‎【答案】3x-4y-4=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据切线长公式得T1、T2在以A为圆心，切线长为半径的圆上，再根据两圆公共弦方程求法得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，圆x2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），半径r=2，设该圆的圆心为C（0，2），‎ 又由A（3，-2），|AC|=，‎ 则|AT1|=|AT2|=，‎ 则T1、T2在以A为圆心，|AT1|=|AT2|=为半径的圆上，‎ 该圆的方程为（x-3）2+（y+2）2=21，‎ 则直线T1T2的是圆C与圆A的公共弦，则两圆方程对应相减可得：3x-4y-4=0；‎ 即直线T1T2的方程为3x-4y-4=0；‎ 故答案为：3x-4y-4=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查切线长公式以及两圆公共弦方程，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行车道总宽度AB为6米，则车辆通过隧道的限制高度是______米（精确到0.1米）‎ ‎【答案】3．2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可以建立适当的平面直角坐标系，从而可以得到抛物线的解析式，然后根据要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到当x=-3时，求出相应的y值，此时汽车的顶部离隧道的顶部距离至少是0.5m，从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米．‎ ‎【详解】‎ 取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c（4，-4），‎ 设抛物线方程x2=-2py（p＞0），将点C代入抛物线方程得p=2，‎ ‎ ∴抛物线方程为x2=-4y，行车道总宽度AB=6m，‎ ‎ ∴将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m，‎ ‎​ ∴限度为 则车辆通过隧道的限制高度是3.2米.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次模型的实际应用，解题的关键是理解题意.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛，某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：‎ ‎（1）完成频率分布表（直接写出结果）；‎ ‎（2）若成绩在90.5分以上的学生获一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学恰有1人参加竞赛的概率．‎ 分组 频数 频率 第1组 ‎[60.5，70.5）‎ ‎0.26‎ 第2组 ‎[70.5，80.5）‎ ‎17‎ 第3组 ‎[80.5，90.5）‎ ‎18‎ ‎0.36‎ 第4组 ‎[90.5，100.5]‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率、频数与总数关系分别计算并填表，（2）先根据频率、频数与总数关系估计全校获一等奖的人数，再利用枚举法得总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）作出频率分布表如下：‎ ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 第1组 ‎ 13‎ ‎ 0.26‎ ‎ 第2组 ‎ 17‎ ‎ 0.34‎ ‎ 第3组 ‎ 18‎ ‎ 0.36‎ ‎ 第4组 ‎ 2‎ ‎ 0.04‎ ‎ 合计 ‎ 50‎ ‎ 1‎ ‎（2）获得一等奖的概率约为0.04，‎ ‎∴获得一等奖的人数估计为150×0.04=6（人），其中，该班共有2名同学荣获一等奖，‎ 记获得一等奖的这6人为： A1，A2，B，C，D，E，共中A1，A2为该班获得一等奖的同学，‎ 从全校所有获得一等奖的6名同学中抽取2名同学代表全校参加竞赛共有（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A1，E），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（A2，E），（A1，A2），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（E，D）共种情况，该班同学恰恰有1人参加竞赛的情况有8种，分别为：（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A1，E），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（A2，E），∴该班同学恰有1人参加竞赛的概率P=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率、频数与总数关系以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）试预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎（注：=，=-b）‎ ‎【答案】（1）=1.05+0.7x； （2）预测加工10个零件需要8.05小时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求均值，再根据公式求以及，（2）在回归直线方程中令自变量为10，所得函数值为预测结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表中数据，计算=×（2+3+4+5）=3.5，‎ ‎=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，‎ ‎==0.7，‎ ‎=-=3.5-0.7×3.5=1.05，‎ ‎∴y关于x的线性回归方程=1.05+0.7x；‎ ‎（2）x=10时，计算=1.05+0.7×10=8.05，‎ 试预测加工10个零件需要8.05小时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.‎ ‎19．从高三抽出名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求：‎ ‎（1）这名学生成绩的众数与中位数；‎ ‎（2）这名学生的平均成绩.‎ ‎【答案】（1）众数是75，中位数约为76．7；（2）平均成绩约为74．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．‎ 试题解析：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为.‎ 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求.‎ ‎∵.‎ ‎∴前三个小矩形面积的和为，而第四个小矩形面积为，‎ ‎∴中位数应位于第四个小矩形内.‎ 设其底边为，高为，∴令得，故中位数约为.‎ ‎（2）样本平均值应是频率粉绿分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可，‎ ‎∴平均成绩为 考点：众数、中位数、平均数 ‎20．在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程。‎ 试题解析：（1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为。‎ ‎（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得。由，得，此时，圆的半径，‎ 由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或。‎ 考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程。‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入。本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的。‎ 视频 ‎21．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?‎ 若是,求出m+n的值；否则,说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）－1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）∵椭圆的右焦点 ‎∴抛物线C的方程为……3分 ‎（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于 由， ……5分 ‎∴∴， ……7分 又由 即m=,同理， ……9分 ‎∴……11分 所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. ……12分 考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系的判定和应用，和向量的坐标运算.‎ 点评：遇到直线与圆锥曲线位置关系的问题，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.‎ ‎22．椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）-8‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意可得又因为，所以可得a，b的值，即可得方程；（2）设出点p坐标，由两点式列出直线方程，然后利用点m到两直线的距离相等来确定m值，再根据p点，横坐标的范围，来确定m范围；（3）设直线方程为与椭圆方程联立，需满足求得，由（2）可知，代入化简即可 试题解析：（1）由于 由题意知 又 ‎（2）设 由题意知 由于点P在椭圆上，所以 所以 ‎（3）设则直线l的方程为 联立 由题意得 又 由（2）知 所以 因此 考点：1．椭圆方程的性质；2．直线与椭圆 视频