2020届二轮复习极化恒等式问题学案（全国通用）

2020届二轮复习极化恒等式问题学案（全国通用）

‎ 专题07 极化恒等式问题 极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.‎ 1. 极化恒等式：‎ 2. 极化恒等式三角形模型：在中，D为BC的中点，则 ‎3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，‎ 类型一 利用极化恒等式求值 典例1.如图在三角形ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，则值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设 解得 类型二 利用极化恒等式求最值或范围 典例2 在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设EF的中点为M，连接CM，则 即点M在如图所示的圆弧上，‎ 则 类型三 利用极化恒等式求参数 典例3 设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P，恒有,则三角形ABC形状为_______.‎ ‎【答案】C为顶角的等腰三角形.‎ ‎【解析】‎ 取BC的中点D，连接PD,P0D.‎ ‎,设O为BC的中点，‎ 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.‎ ‎1.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设BC 的中点为O，OC的中点为M,连接OP,PM,‎ 当且仅当M与P重合时取等号 ‎2．直线与圆相交于两点M,N,若，P为圆O上任意一点，则的取值范围为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 圆心O到直线的距离为 设MN的中点为A，‎ ‎3．如图，已知B,D是直角C两边上的动点，‎ ‎，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设MN的中点为G，BD的中点为H，‎ 所以的最大值为 ‎4.如图在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1，3，点B,C分别在m,n上，且，则的最大值为______‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 连接BC，取BC的中点D，则，‎ 又 故 又因为 所以 ‎5.在半径为1的扇形AOB中，,C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 取OB的中点D，连接PD，则 于是只要求求PD的最小值即可，‎ 由图可知，当时，‎ 即所求最小值为 ‎6.已知线段AB的长为2，动点C满足（为常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图取AB的中点为D，连接CD,则 又由点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，‎ 故，则负数的最大值为 ‎7.已知A(0,1)，曲线横过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，B（1，0），则，连接BP，取BP的中点C，连接AC,‎ 因为的最小值为2，则有 上式等价于，即 当且仅当P与B重合时取等号，此时曲线C在B处的切线斜率等于1，‎ 即 ‎8.若平面向量满足，则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当，即时取最小值 ‎9.在正方形ABCD中，AB=1，A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图取BC的中点E，取AD的中点F，‎ 所以 而，‎ 当且仅当时取等号，所以的最大值为2‎ ‎10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB的中点，以A为圆心,AE为半径作弧交AD于F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图取CD的中点M.‎ 所以 而，当且仅当P,Q重合时等号成立 所以的最小值为 ‎11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，求的范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图当弦MN的长度最大时，为内切球的直径，此时O为MN的中点，‎ 所以 而，所以的范围为