【数学】2019届一轮复习北师大版椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用学案

热点10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系． 要求学生有较强的计算能力，才能顺利解答.从实际教学 看，这部分知识是学生比较头疼的题目.分析原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以及运算能力不足造成，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1. 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例 1【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】如图，椭圆的焦点为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若是线段的三等分点，则的周长为（ ）‎ A. 20 B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由通径公式可得 ，且，由中点坐标公式可得 ，‎ 为线段的中点，结合中点坐标公式可得 ， | | ]‎ 点在椭圆上，则 ，‎ 由题意可知，则 ，‎ 结合椭圆的性质可得 ，‎ 由椭圆的定义可知， 的周长为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．　　‎ 例 2【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点到点距离的最小值是（ ）学 + ‎ A. 5 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎3 轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．　‎ 例 3【2016高考新课标3理数】已知抛物线 的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】 ‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 4 在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题 展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大．‎ 例 4【2018届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知椭圆经过点 ‎，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.‎ ‎(1)求椭圆的方程；学+ ‎ ‎(2)若直线的斜率分别为，求证 为定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 试题解析 (1)由题意知， 且，[ 学+ + ]‎ 解得， ，椭圆的方程为；‎ ‎(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，‎ 设， ，则， ， ‎ 由，得，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故为定值2.‎ ‎【反思提升】圆锥曲线问题，往往利用的关系或曲线的定义，确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，研究几何图形的面积等.这类题目能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、数学的应用意识等.因此，在复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法 解决问题的能力.最后要注意运算能力的培养.‎