2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试 高二试题理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，用的是（ ）‎ A．三段论推理 B．类比推理 C．归纳推理 D．传递性关系推理 ‎ ‎4.若向量，，，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时要做的假设是（ ）‎ A．函数恰有两个零点 B．函数至多有一个零点 C．函数至多有两个零点 D．函数没有零点 ‎ ‎6.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.定积分（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（ ）‎ ‎9.甲、乙、丙、丁四位同学一起向数学老师询问数学竞赛的成绩．老师说：他们四人中有2位获得一等奖，有2位获得二等奖，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．乙、丁可以知道对方的成绩 B．乙、丁可以知道自己的成绩 C．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎ ‎10.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.函数的极大值点为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.当且时，复数在复平面上对应的点位于第 象限．‎ ‎14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎15.如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为 ．‎ ‎16.函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数在点处的切线与轴平行．‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）求函数的单调区间及极值．‎ ‎18.已知四棱锥中，底面，，，，是中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎20.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）为的导函数，讨论的零点个数；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22.已知复数，（为实数，为虚数单位），且是纯虚数．‎ ‎（1）求复数，；‎ ‎（2）求的共轭复数．‎ ‎2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.四 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），‎ 由题意可知，‎ ‎∴，‎ 代入得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ 令，或，‎ 列表得：‎ ‎∴的单调增区间为，，单调减区间为，‎ ‎，．‎ ‎18.（1）证明：取的中点，连接、，‎ ‎∵、分别为、的中点，‎ ‎∴，且，‎ 又∵，‎ ‎∴且，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标，，，，，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ ‎，，‎ ‎∴即令，则，，，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎．‎ ‎19.解：（1），‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 即切线方程为．‎ ‎（2）要证，‎ 由于，只需证明，即证，‎ 设，则，‎ ‎，（且不恒为0）成立，‎ ‎∴在单调递减，且，‎ ‎∴成立，‎ 即时，成立．‎ ‎20.证明：（1）连接，‎ ‎∵，，∴△为等边三角形，‎ 又∵为中点，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵为矩形，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知平面，‎ ‎∵、平面，‎ ‎∴，，‎ 又∵，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 设，，，，‎ 设平面的一个法向量为，，‎ 则即令，则，‎ 由图形知，平面的一个法向量，‎ 由题意知，‎ 即，即，‎ ‎∵，∴．　‎ ‎21.解：（1），，‎ ‎，，且当时，，，所以；‎ 当时，，，所以．‎ 于是在递减，在递增，故，‎ 所以①时，因为，所以无零点；‎ ‎②时，，有唯一零点；‎ ‎③时，，‎ 取，，则，，‎ 于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．‎ ‎（2）令，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；‎ ‎②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在上递减，则，不符合题意．‎ 综上，．‎ ‎22.解：（1），‎ ‎∵为纯虚数，∴，，‎ ‎∴，．‎ ‎（2），‎ ‎∴的共轭复数为．‎