2021高考数学一轮复习课后限时集训55圆锥曲线中的范围最值问题文北师大版2

2021高考数学一轮复习课后限时集训55圆锥曲线中的范围最值问题文北师大版2

课后限时集训55‎ 圆锥曲线中的范围、最值问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·开封模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．‎ ‎[解](1)由已知可得解得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．‎ 与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.‎ 可得线段AB的中点为N.‎ 当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.‎ 当k≠0时，直线MN的方程为 y＋＝－，‎ 化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.‎ 所以m＝＝∈.‎ 综上所述，m的取值范围为.‎ ‎2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎[解](1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ - 3 -‎ 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. ①‎ 因为＝2，所以y1＝－2y2. ②‎ 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝ ‎＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F1，点 A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直 线AF1的斜率为1时，|AF1|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．‎ ‎[解](1)∵e＝＝，∴a2＝2c2.‎ 又a2＝b2＋c2，∴b＝c.‎ ‎∴当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆的上顶点，‎ ‎∴a＝|AF1|＝.‎ 又a2＝2c2，b＝c，∴b＝1，‎ 椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)∵A在x轴上方，∴直线AB的斜率不为0.‎ 设直线AB的方程为x＝my－1.‎ ‎∵F1，A′，B三点能构成三角形，‎ ‎∴直线AB不垂直于x轴，∴m≠0.‎ - 3 -‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′的坐标为(x1，－y1)．‎ 联立消去x得(my－1)2＋2y2＝2，即(2＋m2)y2－2my－1＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝，y1y2＝－.‎ 如图，S△F1A′B＝S△BAA′－S△F1AA′＝|AA′||x2－xF1|＝y1|x2＋1|＝y1|my2|＝|my1y2|＝＝≤＝，‎ 当且仅当＝|m|，即|m|＝时取等号．‎ ‎∴△F1A′B面积的最大值为.‎ - 3 -‎