数学理卷·2019届安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期期末考试（2018-02）

数学理卷·2019届安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期期末考试（2018-02）

定远育才学校2017-2018学年第一学期期末考试 高二数学(理)试题 考生注意：‎ ‎1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题 ‎1. 设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 ‎2. 点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（　　）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎3.若实数满足的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5.已知圆 ，圆 ，圆与圆的位置关系为（ ）‎ A.外切 B.内切 ‎ C.相交 D.相离 ‎6.已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知抛物线的焦点到准线距离为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的短轴长为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知函数，若，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为.若=2，则该椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知命题 “函数在区间上是增函数”；命题 “存在，使成立”，若为真命题，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知两点， ，点是椭圆上任意一点，则点到直线的距离最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足，则的值为__________．‎ ‎14.已知函数中， 为参数，已知曲线在处的切线方程为，则__________．‎ ‎15.过点且垂直于直线的直线方程是_____________．‎ ‎16.已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点， ，则圆的标准方程为__________．‎ 三、解答题 ‎17.定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）设点在上运动, 与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.‎ ‎18.已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点分别在轴上，离心率为，在其上有一动点，到点距离的最小值是1.过作一个平行四边形，顶点都在椭圆上，如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）判断能否为菱形，并说明理由.‎ ‎（Ⅲ）当的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.‎ ‎19.已知点，点是直线上的动点，过作直线， ，线段 的垂直平分线与交于点．‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)若点是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围．‎ ‎20.已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.‎ ‎21.已知椭圆： 的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时， 恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.‎ ‎22. 如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，‎ ‎（1）当时，求双曲线的方程；‎ ‎（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 11.B 12.A ‎13.‎ ‎14.1‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（1）在圆内,‎ 所以圆内切于圆.点的轨迹为椭圆，‎ 且轨迹的方程为.‎ ‎（2）①当为长轴（或短轴）时，此时.‎ ‎② 当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为,‎ 联立方程得.‎ 将上式中的替换为,得 ‎.‎ ‎,‎ 当且仅当,‎ 即时等号成立，此时面积最小值是.‎ 面积最小值是,此时直线的方程为或.‎ ‎18. ‎ ‎（Ⅰ）依题，令椭圆的方程为，‎ 所以离心率，即.‎ 令点的坐标为，所以，焦点，即 ‎，（没有此步，不扣分）‎ 因为，所以当时，，‎ 由题，结合上述可知，所以，‎ 于是椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程为，‎ 联立方程，，‎ 得，‎ 所以，.‎ 若是菱形，则，即，于是有，‎ 又，‎ 所以有，‎ 得到，可见没有实数根，故不能是菱形.‎ ‎（Ⅲ）由题，而，又 即，‎ 由（Ⅱ）知.‎ 所以，，‎ 因为函数，在时，，‎ 即得最大值为6，此时，也就是时，‎ 这时直线轴，可以判断是矩形.‎ ‎19.‎ ‎ (1)据题设分析知，点的轨迹是以点为焦点，直线 为准线的抛物线，所以曲线的方程为.‎ ‎(2)设，点，点，‎ 直线的方程为，‎ 化简，得，‎ 又因为内切圆的方程为．‎ 所以圆心到直线的距离为1，即，‎ 所以，‎ 由题意，得，所以.‎ 同理，有，‎ 所以是关于的方程的两根，‎ 所以因为 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 直线的斜率，则，‎ 所以.‎ 因为函数在上单调递增，所以当时， ，‎ 所以，所以，‎ 所以.所以的取值范围是.‎ ‎20. ‎ ‎（1），‎ 所以且， 解得， ‎ ‎（2）由（1）与题意知对任意的恒成立， ‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 所以函数为上的增函数.‎ 因为，‎ 所以函数在上有唯一零点，即有成立，‎ 所以 ‎ 故当时， ，即；当时， ，即 ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以 所以，因为，所以，又因 所以最大值为 ‎21.‎ ‎（1）当时，直线的倾斜角为，所以：‎ 解得： ，所以椭圆方程是：； ‎ ‎（2）当时，直线： ，此时，，，又点坐标是，据此 可得，，故以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6．由此猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6．　‎ 证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：‎ ‎，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，‎ 由方程组　得到：，‎ 所以：，　　从而：‎ ‎=0，‎ 所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．‎ ‎22.‎ ‎（1）由1有 ‎ 设：‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 设 ‎ 为常数 ‎