浙江省五校2020届高三上学期联考数学试题

浙江省五校2020届高三上学期联考数学试题

‎2019学年浙江五校10月联考 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出集合后可得两个集合的交集.‎ ‎【详解】，，故，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.‎ ‎2.已知向量，，且与的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项采用向量数量积的公式进行验证即可 ‎【详解】解析：对A：，故不垂直，A错；‎ 对B：，故不垂直，B错；‎ 对C：，故垂直，C对；‎ 对D：，故不垂直，D错；‎ 故选C ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型 ‎3.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要先对函数式进行化简，化简成形式，再进行值域求解 ‎【详解】，∵，故选D ‎【点睛】本题考查复合函数值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如，先求的值域再求的取值范围 ‎4.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，则（ ）‎ A. 时，一定存在最大值 B. 时，一定存在最大值 C. 存在最大值时， D. 存在最大值时，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的特点来判断与的关系即可 ‎【详解】对A：因为，所以数列单调递减，故一定存在最大值，A正确；‎ 对B：因为，所以数列单调递增，故不存在最大值，B错；‎ 对C：因为当，时，存在最大值，C错；‎ 对D：由C的解析知，D错；‎ 故选A ‎【点睛】本题考查等差数列与的关系，我们可以通过来加强理解，当公差，数列为常数列，，当时，有最小值，时，有最大值；当公差时，，有最小值，，有最大值 ‎5.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可 ‎【详解】时，不等式可化为；‎ 当时，不等式为，满足题意；‎ 当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，‎ 所以，即；‎ 当时，恒成立；‎ 综上所述，实数的取值范围是 答案选A ‎【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 ‎6.已知，为实数，则，是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 ‎【详解】若，则， ，，‎ 显然，充分条件成立 但时，比如说时，却推不出，必要条件不成立 所以是的充分不必要条件 ‎【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论 ‎7.定义，则关于实数的不等式组所表示的平面区域的面积是（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对新定义的解读，需要先求解，即，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可 ‎【详解】解析：，‎ 即 由图像可得：平面区域面积：，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域 ‎8.函数，则（ ）‎ A. 在上递增 B. 在上递减 C. 在上递减 D. 在上递增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于常规方法无法进行化简，故需要对进行求导，根据导数来研究函数的增减性 ‎【详解】，‎ 故，故在和单调递增，即在上递减 答案选C ‎【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质 ‎9.三角形中，已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化简，得到，此时需要用到 进行代换，化简得到关于与的正切公式，由于题中求的是角，故需将代换成，进而化简求值 ‎【详解】解析：，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 ‎10.若不等式对上恒成立，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式看作两个因式，和，先讨论的正负，确定对应区间，再对的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解 ‎【详解】解析：‎ 法一：‎ 由题意可知：当，，当，，故当，，当，，‎ 即有，故选B；‎ 法二：‎ 由右图像可得：显然有， ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究 ‎11.已知集合， ，若，则______；若，则______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可 ‎【详解】，因为，‎ 所以，如图所示 ‎，‎ 所以.如图：‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观 ‎12.已知，若，则______；______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将右式的“1”化成“”，再化简求值 ‎【详解】；‎ 所以，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，为万能公式的使用，应当熟记 ‎13.不等式解集是______；不等式的解集是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简成，再利用指数函数性质解不等式；同理对于化简成，但要注意，再进行求解即可 ‎【详解】，所以不等式的解集是 不等式的解集是 ‎【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质 ‎14.设数列的前项和为，满足，则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出的关系式，再根据为奇数和偶数求解具体数值即可 ‎【详解】当时，；‎ 当时，‎ 当为偶数时，‎ 即为奇数时，所以；‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和的方法，涉及题设包含这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 ‎15.定义，已知，.若对恒成立，则的最小值是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，根据题意，表示出的表达式，再根据与的位置关系，进行求解 ‎【详解】‎ 如图：‎ 若对恒成立，此时，‎ 则，在上恒成立，所以 当且仅当，时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.‎ 则的最小值是5‎ ‎【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键 ‎16.已知向量，其中，，与夹角为，且.则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，，，则，，则，，进而可求出与夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 ‎【详解】设，，，则，，‎ 所以,即与的夹角为，‎ 而与的夹角为,‎ 所以四点共圆，‎ 于是为圆的直径时最大，‎ ‎，‎ 则的最大值为 ‎【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示，是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题 ‎17.已知实数满足：，则的最小值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 ‎【详解】方法一：距离问题 问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题 若相切，则有唯一解 ‎，‎ 两平行线与的距离 所以 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数；，则 已知两组数；，则 所以，所以.‎ 方法三：判别式法 设，将其代入，下面仿照方法一即可.‎ 方法四：整体换元 根据对称性，不妨设，‎ 设，则，且 方法五：三角换元 由对称性，不妨设（为锐角）‎ 所以 所以的最小值为2‎ ‎【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面 ‎18.已知，中，角所对的边为.‎ ‎（1）若，求的值域；‎ ‎（2）若，，，求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可 ‎（2）将化简求得，通过数值进一步锁定，求出，采用拼凑法求出，再用正弦定理求解 ‎【详解】解析：‎ ‎（1）∵，‎ 即 ‎（2），因为，所以，或者，即或者（舍去），故；‎ ‎，由正弦定理得：‎ ‎【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中，常见的还有，，等 ‎19.已知多面体中，，，，为中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明 直线所在平面 ‎（2）过点作，连接，则为直线与平面所成角的平面角，再采用等体积法求出 ，即可求得 也可采用建系法直接求解 ‎【详解】法一：‎ ‎（1）由得：；如图：取中点，‎ 连接，得：，，；故：；‎ ‎（2）过点作；连接，则为直线与平面所成角的平面角，‎ 即有，‎ 不妨设，即有：，所以 法二：由得：；如图建系得：‎ ‎，，，,，‎ ‎（1）,则 ‎（2）设面的法向量为，，，‎ 即有：，‎ 故 ‎【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题 ‎20.设数列是等比数列，数列是等差数列，若，.‎ ‎（1）若，数列中的最大项是第项，求的值 ‎（2）设，求数列的前项和 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出，的关系式，求解出与的通项公式，表示出的通项公式，利用进行判断 ‎（2）采用错位相减法进行求解即可 ‎【详解】解析：‎ ‎（1）设公差为，公比为 则，‎ 所以，；‎ ‎，‎ 当时，，于是；‎ 当时，，于是；‎ 综上所述：，‎ 于是，‎ ‎（2）错位相减求和法 ‎，，‎ ‎【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确 ‎21.过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，直线交椭圆于，两点.‎ ‎（1）设直线的斜率为，求的值；‎ ‎（2）若，分别在直线的两侧，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线方程为，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点的坐标为，代入可得，进行求解 ‎（法二）（利用点差法）设点，，，，中点，，由与，作差得再进行求解 ‎（2）设直线方程为，联立椭圆方程得出，点的横坐标为，用焦点弦公式表示出，同理联立方程，用弦长公式表示出，，结合题干求出，再用点到直线距离公式求得到距离，进而求得面积 ‎【详解】（1）解法一：设直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，，又中点在直线上，所以，从而可得弦中点的坐标为，，‎ 所以 ‎ 解法二：设点，，，，中点， 则，‎ ‎，‎ 又与，作差得 所以 ‎（2）设，，， ‎ ‎，点的横坐标为 于是 联立方程 所以，‎ ‎，‎ 所以 从而有，结合，‎ 从而得，不妨设，此时，‎ 此时，‎ ‎【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算 ‎22.设函数 ‎（1）当时，若是函数的极值点，求证：；‎ ‎（2）（i）求证：当时，；‎ ‎（ii）若不等式对任意恒成立，求实数取值范围.‎ 注：e=2.71828为自然对数的底数.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）（i）证明见解析 （i i）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，得，再令，求得，可判断单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证 ‎（2）（i）要证，只需证，只需证，通过求导证明，求得，即可求证 ‎（ii）先通过必要性进行探路，当时，一定成立，推出 ，当时，，化简得，‎ 进一步求导得，结合（i）中放缩可得 ‎，再对和分类讨论，进而求证 ‎【详解】解析：（1）， ‎ 令 即恒增，又，，所以在上有一根，即为的极值点，且；‎ ‎（2）（i）‎ 要证，只需证，只需证，，，即在，即，所以恒成立，即在单调递增，又有，所以恒成立，即.‎ ‎（i i）必要性探路：当，有，‎ 当时，‎ 设 ‎（1）当时，，‎ 所以函数 ‎（2）当时，‎ 所以函数 综上所述：实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高 ‎ ‎