2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

银川一中2018/2019学年度(上)高二期中考试 数学(文科)试卷 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1. 若p是真命题，q是假命题，则(　 　)‎ A. p∧q是真命题 B. p∨q是假命题 C. 非p是真命题 D. 非q是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：因为p是真命题，q是假命题，则或命题一真即真，且命题一假即假，选项A,,BC,错误。选项D命题的否定和原命题真值相反，因此成立。选D ‎2.已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，故选D．‎ 考点：导数的物理意义．‎ ‎3.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0‎-1”‎的否定是　(　　)‎ A. ∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1 B. ∀x∉(0,+∞),lnx=x-1‎ C. ∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 D. ∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣‎1”‎的否定是：.‎ 故选：A.‎ ‎4.设双曲线 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)‎ A. 4 B. ‎3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，，即可求出a的值．‎ ‎【详解】由题意， ， ∴a=2， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．‎ ‎5.“”是“函数为偶函数”的 （ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若则函数是偶函数；若函数是偶函数，则对定义域内任意x恒成立；即恒成立；所以恒成立不恒成立，舍去；所以 故选A ‎6.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)‎ A. B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用配方化简x2+y2-2x-15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查学生会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力．‎ ‎7.若抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A. y2=4x B. y2=6x C. y2=8x D. y2=10x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵抛物线，∴准线为，∵点到其准线的距离为4，∴，‎ ‎∴，∴抛物线的标准方程为.‎ 考点：1.抛物线的标准方程；2.抛物线的准线方程；3.点到直线的距离.‎ ‎8.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题，令：‎ 解得；。 曲线上距离最近的点坐标为 则距离为：‎ 考点：导数的几何意义及点到直线距离的算法和运动变化的思想.‎ ‎9.设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x‎2g(x)的部分图像可以为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，则，题中只给了部分图象，所以从选项中观察，四个图象在原点附近均不同，但是分析函数，因为都为偶函数，所以在原点附近，恒成立，且在原点处函数值为，只有选项C满足，故本题正确选项为C.‎ 考点：基本函数的导数，函数的图象．‎ ‎10.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)‎ A. 4 B. ‎8 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为 PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．‎ ‎【详解】：∵抛物线方程为y2=8x， ∴焦点F（2，0），准线l方程为x=-2， ∵直线AF的斜率为-，直线AF的方程为y=-（x-2）， 由 可得A点坐标为（-2，4） ∵PA⊥l，A为垂足， ∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4）， ∴|PF|=|PA|=6-（-2）=8. 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．‎ ‎11.设双曲线，离心率，右焦点．方程的两个实数根分别为，则点与圆的位置关系( )‎ A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用离心率公式和a，b，c的关系，结合韦达定理，以及点与圆的位置关系的判断，即可得到结论．‎ ‎【详解】曲线，离心率，右焦点F（c，0）， 可得c=a=b， 方程ax2-bx-c=0 的两个实数根分别为x1，x2， 可得 ， 则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=1+2＜8， 则P（x1，x2）与圆x2+y2=8的位置关系为P在圆内． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断，考查双曲线的离心率和基本量a，b，c的关系，考查韦达定理的运用，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知是定义在R上的函数的导函数，且，则 的大小关系为( )‎ A. a0且a≠1,设命题p:函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上单调递减，命题q:曲线y=x2+(a-2)x+4与x轴交于不同的两点．若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(6,+∞).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和x轴交点的情况与判别式的关系即可求出命题p，q下的a的取值范围．根据p∧q为假，p∨q为真即可判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况即可求出a的取值范围．‎ ‎【详解】由函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上单调递减,知00,即a<-2或a>6.‎ 又a>0且a≠1,所以a>6.‎ 又因为“p且q”为真命题,所以p为假命题,q为真命题,于是有所以a>6.‎ 因此,所求实数a的取值范围是(6,+∞).‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的单调性，二次函数图象和x轴交点的情况与判别式△的关系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．‎ ‎18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2处有极值．‎ ‎(1)求f(x)的解析式．‎ ‎(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．‎ ‎【答案】（1）f(x)=x3+2x2-4x+5.（2）最大值为13.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，令导函数在0处的值为3，在-2处的值为0，函数在0处的值为1，列出方程组求出a，b，c的值． （2）令导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范围 ‎【详解】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=3+‎2a+b.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-f(1)=(3+‎2a+b)·(x-1), 即y-(a+b+c+1)=(3+‎2a+b)(x-1).‎ 又已知该切线方程为y=3x+1,‎ 所以即 因为y=f(x)在x=-2处有极值,所以f′(-2)=0, 所以‎-4a+b=-12.‎ 解方程组得 所以f(x)=x3+2x2-4x+5.‎ ‎(2)由(1)知f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).‎ 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 当x∈[-3,-2)时,f′(x)>0;‎ 当x∈时,f′(x)<0; 当x∈时,f′(x)>0,‎ 所以f(x)的单调增区间是[-3,-2)和,单调减区间是.‎ 因为f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13.‎ ‎【点睛】本题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力．‎ ‎19.已知点A(2,8)在抛物线上,直线l和抛物线交于B,C两点，焦点F是三角形ABC的重心，M是BC的中点（不在x轴上）‎ ‎（1）求M点的坐标；‎ ‎（2）求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（11，－4）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，求出p=16，得到 抛物线方程为，焦点F（8，0）是△ABC的重心，设点M的坐标为，则由 ‎ 即可求出M点的坐标；‎ ‎（2）设BC所在直线的方程为：‎ 由消x得，所以，由（2）的结论得，解得，即可求出直线l的方程..‎ ‎【详解】解（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，‎ 解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.‎ F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，设点M的坐标为，则 ‎ ‎ 所以点M的坐标为（11，－4）．‎ ‎（2）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：‎ 由消x得，‎ 所以，由（2）的结论得，解得 因此BC所在直线的方程为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题.‎ ‎20.已知函数图象上一点处的切线方程为．‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若方程内有两个不等实根，求m的取值范围(其中e为自然对数的底数).‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为-3，即f′（2）=-3，由函数f（x）=alnx-bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=-3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b 的方程，求解方程组，得a，b的值； （2）设h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；‎ ‎【详解】：（1） ‎ 所以=-3，且 ， 解得． （2） 令 ‎ 则 ，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）． 在内，当 ‎ 时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数； 当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数 则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是 即1＜m≤．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，考查利用导数研究函数的性质，属中档题.‎ ‎21.已知函数,．‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）当时,恒成立,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出g'（x）=ex-a，由a≤0和a＞0分类讨论，由此能求出结果． （2）当x＞0时，令 ，则，令，则，．‎ ‎，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ） ．‎ ‎（1）当时，在单调递增．‎ ‎（2）当时，当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ ‎（Ⅱ）当时， ，即．‎ 令 ，．‎ 令 ，．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 又，，所以当时，即单调递减，‎ 当时，，即单调递增．‎ 所以，所以 ‎【点睛】本题考查函数的单调性、实数的取值范围、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．‎ ‎22.已知椭圆的焦点坐标是,过点F2直线与长轴的直线交椭圆与P,Q且|PQ|=3‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）过F2直线与椭圆交与不同的两点M.N, 三角形F1MN的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得 ‎ ‎，又 ，由此可求椭圆方程； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1‎ MN的周长=‎4a=8， ‎ ‎，因此S△F1MN最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．‎ ‎【详解】解： （Ⅰ）设椭圆的方程是, 由交点的坐标得:, ‎ 由,可得 ，解得 故椭圆的方程是 ‎ ‎（Ⅱ）设, ‎ 设的内切圆半径是,则的周长是, , 因此最大,就最大 ‎ 由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为, ‎ 由得,, ‎ ‎ ‎ 则令则 ‎ 则 ‎ 令 ‎ 当时,,在上单调递增, ‎ 有, ‎ 即当时,所以, ‎ 此时所求内切圆面积的最大值是 ‎ 故直线,内切圆的面积最大值是 ‎ ‎(或用对勾函数的 单调性做也给满分）‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出S△F1MN最大，R就最大是关键．‎