2020届二轮复习数列学案（全国通用）

2020届二轮复习数列学案（全国通用）

高考冲刺：数列 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ ‎1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中与之间的互化关系是高考解答题的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.‎ ‎【知识升华】‎ ‎1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如与的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.‎ ‎7.数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.‎ ‎8.本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式 例1．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）.‎ ‎ ……‎ ‎【思路点拨】从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, …，推测出第n层的球数。‎ ‎【解析】显然.‎ 第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和，即 所以： ‎ 举一反三 ‎【变式1】设为等差数列, 为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出及的前10项的和S10及T10．‎ ‎【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则，解得 ‎∴‎ 考点二：数列递推关系式的理解与应用 例2．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．‎ ‎（I）求的值；（II）求的通项公式．‎ ‎【思路点拨】（1）由成公比不为的等比数列列方程求；‎ ‎（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.‎ ‎【解析】（I），，，‎ 因为成等比数列，所以，解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故．‎ ‎（II）当时，由于 ‎，， ，，‎ 所以．‎ 又，，故．‎ 当时，上式也成立，‎ 所以．‎ ‎【总结升华】从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知等差数列的前项和为，且S13＞S6＞S14,a2=24．‎ ‎(1)求公差d的取值范围；‎ ‎（2）问数列{Sn}是否存在最大项，若存在，求出最大时的n，若不存在,请说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得 ‎∴‎ ‎（2）由（1）知，a10＞0,a10+a11＜0,∴a10＞0＞a11，‎ 又公差小于零，数列{an}递减，‎ 所以{an}的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。‎ ‎∴n=10时，Sn最大。‎ 考点三：数列的通项与前n项和之间的关系与应用 例3．在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【思路点拨】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。‎ ‎【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 即，所以，故选择答案C.‎ 举一反三 ‎【变式1】设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn ‎【解析】‎ ‎（1）当 ‎∴{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的公比为由得 ‎∴‎ 故 ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 两式相减得 ‎∴‎ 考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用 例4．已知数列满足()‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足(),‎ 证明:是等差数列;‎ ‎【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。‎ ‎【解析】（I）解：∵ ，∴‎ ‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ ∴ 即　（）‎ ‎ （II）证法一：∵，‎ ‎ ∴即 ‎ ∴　　　　　　　　①‎ ‎ 　　　　②‎ ‎ ②－①，得，‎ 即 　③‎ ‎　 ④‎ ‎　 ③－④，得　 ， 即 故是等差数列.‎ 举一反三 ‎【变式1】设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式．‎ ‎（2）令求数列的前项和 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得，解得．‎ ‎ 设数列的公比为，由，可得．‎ 又，可知，‎ 即，解得．‎ 由题意得∴，∴．‎ 故数列的通项为．‎ ‎（2）由于 ‎ 由（1）得，∴‎ ‎ 又， ∴是等差数列．‎ ‎ ∴‎ ‎ 故．‎ 考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用 例5（2018 天津高考）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；‎ ‎（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，‎ 由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．‎ ‎∵q＞0，解得q=2，∴d=2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；‎ 数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有，‎ 设{cn}的前n项和为Sn，则 ‎，‎ ‎，‎ 两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．‎ ‎∴．‎ ‎【总结升华】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．‎ 举一反三 ‎【变式1】（2018 衡阳县校级模拟）数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）设bn=（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）∵an+2﹣2an+1+an=0，‎ ‎∴an+2﹣an+1=an+1﹣an（n∈N*）．‎ ‎∴{an}是等差数列．设公差为d，‎ 又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，‎ ‎∴d=﹣2．∴an=﹣2n+10．‎ ‎（2）bn==‎ ‎=（﹣），‎ ‎∴Sn=b1+b2++bn=[（1﹣）+（﹣）++（﹣）]‎ ‎=（1﹣）=．‎ 假设存在整数m满足Sn＞总成立．‎ 又Sn+1﹣Sn=﹣‎ ‎=＞0，‎ ‎∴数列{Sn}是单调递增的．‎ ‎∴S1=为Sn的最小值，故＜，‎ 即m＜8．又m∈N*，‎ ‎∴适合条件的m的最大值为7．‎ 考点六：数列与函数的迭代问题 等差、等比数列369154 例2】‎ 例6.已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列，若，，，。‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设数列对任意自然数n都有成立，求的值；‎ ‎（3）比较的大小。+‎ ‎【解析】（1），‎ 所以 解得 所以 ‎，‎ 所以 解得 所以 ‎（2）时 两式相减并整理，得 所以 ‎（3）比较的大小。+‎ ‎，‎ 时，‎ 时，，所以.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知数列中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….‎ ‎(Ⅰ)令，求证是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)求数列的通项；‎ ‎(III)设、分别为数列、的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.‎ ‎【解析】（I）由已知得 ‎ 又， ‎ 是以为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎（II）由（I）知， ‎ ‎，，…，‎ 将以上各式相加得： ‎ ‎（III）解法一：‎ 存在，使数列是等差数列.‎ 数列是等差数列的充要条件是 （、是常数 即 又.‎ 当且仅当，即时，数列为等差数列.‎ 解法二：存在，使数列是等差数列.‎ 由（I）、（II）知，，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 又.‎ ‎∴.‎ 当且仅当时，数列是等差数列.‎ 考点七：数列综合应用与创新问题 例7．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.‎ ‎（Ⅰ）求，并求的值；‎ ‎（Ⅱ）令，证明数列是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：.‎ ‎【思路点拨】根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）取，；‎ 再取，则，‎ 即，‎ ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴，解得，或（舍去）.‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 再令，则，‎ 即 ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴，即，解得：或，‎ 又，则，，‎ 由，所以是等差数列. ‎ ‎（3）由（2）得，，则 所以；‎ 又当时，，‎ 则，‎ 故.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在（）个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.则= ，= ，的表达式为 ；‎ ‎【解析】由已知得，，. ‎