2020届二轮复习函数的奇偶性课件（69张）（全国通用）

2020届二轮复习函数的奇偶性课件（69张）（全国通用）

【 知识梳理 】 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数 f(x) 的定义 域内任意一个 x, 都有 f(-x) =_____, 那么函数 f(x) 就叫 做偶函数 关于 ____ 对称 f(x) y 轴 奇偶性 定义 图像特点 奇函数 如果对于函数 f(x) 的定义 域内任意一个 x, 都有 f(-x) =______, 那么函数 f(x) 就 叫做奇函数 关于 _____ 对称 -f(x) 原点 2. 函数的周期性 (1) 周期函数 : 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时 , 都有 ____________, 那 么就称函数 f(x) 为周期函数 , 称 T 为这个函数的周期 . f(x+T)=f(x) (2) 最小正周期 : 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存 在一个 ___________, 那么这个 _________ 就叫做 f(x) 的 最小正周期 . 最小的正数 最小正数 【 常用结论 】 1. 函数奇偶性常用结论 (1) 如果函数 f(x) 是偶函数 , 那么 f(x)=f(|x|). (2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 ; 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 . (3) 在公共定义域内有 : 奇 ± 奇 = 奇 , 偶 ± 偶 = 偶 , 奇 × 奇 = 偶 , 偶 × 偶 = 偶 , 奇 × 偶 = 奇 . 2. 函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量的值 x: (1) 若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2a(a>0). (2) 若 f(x+a)= , 则 T=2a(a>0). (3) 若 f(x+a)=- , 则 T=2a(a>0). 【 基础自测 】 题组一 : 走出误区 1. 判断正误 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 偶函数图像不一定过原点 , 奇函数的图像一定过原点 . ( 　　 ) (2) 若函数 y=f(x+a) 是偶函数 , 则函数 y=f(x) 关于直线 x=a 对称 . ( 　　 ) (3) 函数 f(x) 在定义域上满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x) 是周期为 2a(a>0) 的周期函数 . ( 　　 ) (4) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 . ( 　　 ) (5) 若 T 是函数的一个周期 , 则 nT(n∈Z,n≠0) 也是函数的周期 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 奇函数只有在原点有定义时才过原点 , 且 f(0)=0, 而偶函数不管在原点有无定义 , 都不一定过原点 . (2)√. 因为 y=f(x+a) 为偶函数 , 则 f(x+a)=f(-x+a)= f(a-x), 可知 x=a 为对称轴 . (3)√. 因为 f(x+a)=-f(x), 所以 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= -f(x+a)=-[-f(x)]=f(x), 所以 f(x) 的周期为 2a(a>0). (4)√. 因为函数具有奇偶性 , 所以定义域一定关于原点 对称 , 而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性 . (5)√. 由周期函数的定义可知正确 . 2. 已知 f(x)=ax 2 +bx 是定义在 [a-1,2a] 上的偶函数 , 那 么 a+b 的值是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 依题意得 f(-x)=f(x), 所以 b=0, 又 a-1= -2a, 所以 a= , 所以 a+b= . 3. 偶函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=2 对称 ,f(3)=3, 则 f(-1)= 　　　　 .  【 解析 】 因为 f(x) 为偶函数 , 所以 f(-1)=f(1). 又 f(x) 的图像关于直线 x=2 对称 , 所以 f(1)=f(3). 所以 f(-1)=3. 答案 : 3 题组二 : 走进教材 1.( 必修 1·P50· 例 2 改编 ) 下列函数为偶函数的是 ( 　　 ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x 2 +x C.f(x)=2 x -2 -x D.f(x)=2 x +2 -x 【 解析 】 选 D.D 中 ,f(-x)=2 -x +2 x =f(x), 所以 f(x) 为偶函数 . 其余 A 、 B 、 C 选项均不满足 f(-x)=f(x). 2.( 必修 1·P110·T3(3) 改编 ) 设 f(x) 是定义在 R 上的周 期为 2 的函数 , 当 x∈[-1,1) 时 ,f(x)= 则 = 　　　　 .  【 解析 】 答案 : 1 考点一　函数奇偶性的判断 【 题组练透 】 1.(2018· 肇庆模拟 ) 下列函数为偶函数的是 ( 　　 ) A.y=sin x B.y=ln( -x) C.y=e x D.y=ln 【 解析 】 选 D. 由函数奇偶性的定义知 D 中的函数为偶函数 . 2. 下列函数中 , 既不是奇函数 , 也不是偶函数的是 ( 　　 ) A.y=x+sin 2x B.y=x 2 -cos x C.y=2 x + D.y=x 2 +sin x 【 解析 】 选 D. 对于 A,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin 2x)= -f(x), 为奇函数 ; 对于 B,f(-x)=(-x) 2 -cos(-x)=x 2 -cos x =f(x), 为偶函数 ; 对于 C,f(-x)=2 -x + =2 x + =f(x), 为偶函数 ; 对于 D,y=x 2 +sin x 既不是偶函数也不是奇函数 . 3. 若函数 f(x)(x∈R) 是奇函数 , 函数 g(x)(x∈R) 是偶函数 , 则 ( 　　 ) A. 函数 f(g(x)) 是奇函数 B. 函数 g(f(x)) 是奇函数 C. 函数 f(x)·g(x) 是奇函数 D. 函数 f(x)+g(x) 是奇函数 【 解析 】 选 C. 令 h(x)=f(x)·g(x), 因为函数 f(x) 是奇函数 , 函数 g(x) 是偶函数 , 所以 f(-x)=-f(x),g(-x)= g(x), 所以 h(-x)=f(-x) · g(-x)=-f(x) · g(x)=-h(x), 所以 h(x)=f(x) · g(x) 是奇函数 . 4. 设函数 f(x),g(x) 的定义域为 R, 且 f(x) 是奇函数 ,g(x) 是偶函数 , 则下列结论中正确的是 ( 　　 ) A.f(x)g(x) 是偶函数 B.|f(x)|g(x) 是奇函数 C.f(x)|g(x)| 是奇函数 D.|f(x)g(x)| 是奇函数 【 解析 】 选 C.f(x) 为奇函数 ,g(x) 为偶函数 , 故 f(x)· g(x) 为奇函数 ,|f(x)|g(x) 为偶函数 ,f(x)|g(x)| 为奇 函数 ,|f(x)g(x)| 为偶函数 . 【 规律方法 】 判断函数奇偶性的方法 (1) 定义法 : (2) 图像法 : 函数是奇 ( 偶 ) 函数⇔函数图像关于原点 (y 轴 ) 对称 . 考点二　函数的周期性及应用 【 典例 】 (2018· 达州模拟 ) 若函数 f(x)(x∈R) 是周期为 4 的奇函数 , 且在 [0,2] 上的解析式为 f(x)= 则 = 　　　　 . 世纪金榜导学号  【 解析 】 由于函数 f(x) 是周期为 4 的奇函数 , 所以 答案 : 【 规律方法 】 函数周期性的判断及应用 (1) 判断函数的周期性只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0) 便可证明函数是周期函数 , 且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 . (2) 根据函数的周期性 , 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 , 在解决具体问题时 , 要注意结论 : 若 T 是函数的周期 , 则 kT(k∈Z 且 k≠0) 也是函数的周期 . 【 对点训练 】 　已知定义在 R 上的函数满足 f(x+2)=- , 当 x∈(0,2] 时 ,f(x)=2x-1. 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019) 的值 为 　　　　 .  【 解析 】 因为 f(x+2)=- , 所以 f(x+4)=- =f(x), 所以函数 y=f(x) 的周期 T=4. 又当 x∈(0,2] 时 ,f(x)=2x-1, 所以 f(1)=1,f(2)=3,f(3)=- =-1,f(4)= 所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=504[f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)]+f(504×4+1)+f(504×4+2)+f(504×4+3)= 504× +1+3-1=1 347. 答案 : 1 347 考点三　函数奇偶性的应用 【 明考点 · 知考法 】 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大 性质 , 在高考中常常将它们综合在一起命制试题 , 其中 奇偶性多与单调性相结合 , 而周期性常与抽象函数相结 合 , 并以结合奇偶性求函数值为主 . 多以选择题、填空题形式出现 . 命题角度 1 　求函数值或参数的值 【 典例 】 (1)(2018· 晋中模拟 ) 已知 f(x) 是 R 上的奇函数 ,f(4)=2, 且对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) 成立 , 则 f(2 020)= 　　　　 . 世纪金榜导学号  【 解析 】 因为 f(x) 是 R 上的奇函数 , 所以 f(0)=0, 又对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当 x=-3 时 , 有 f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以 f(-3)=0,f(3)=0, 所以 f(x+6)=f(x), 周期为 6, 故 f(2 020)=f(4)=2. 答案 : 2 (2)(2018· 全国卷 Ⅲ) 已知函数 f (x) =ln( -x)+1, f(a)=4, 则 f(-a)= 　　　　 . 世纪金榜导学号  【 解析 】 令 g(x)=ln( -x), 则 所以 g(x) 是奇函数 , 由已知 ,f(x)=g(x)+1, f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3, 所以 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2. 答案 : -2 【 状元笔记 】 已知函数的奇偶性求参数 , 一般采用待定系数法求解 , 根据 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x) 得到关于待求参数的恒等式 , 由系数的对等性得参数的值或方程 ( 组 ), 进而得出参数的值 . 命题角度 2 　奇偶性与单调性的结合 【 典例 】 (2017· 全国卷 Ⅰ) 函数 f(x) 在 (-∞,+∞) 单调递减 , 且为奇函数 . 若 f(1)=-1, 则满足 -1≤f(x-2)≤1 的 x 的取值范围是 世纪金榜导学号 ( 　　 ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【 解析 】 选 D. 由已知 , 得 f(-1)=1, 使 -1≤f(x)≤1 成立的 x 满足 -1≤x≤1, 所以由 -1≤x-2≤1 得 1≤x≤3, 即使 -1≤f(x-2)≤1 成立的 x 满足 1≤x≤3. 【 状元笔记 】 在求解与抽象函数有关的不等式时 , 往往是利用函数的单调性将“ f” 符号脱掉 , 使其转化为具体的不等式求解 . 此时应特别注意函数的定义域 . 命题角度 3 　奇偶性与周期性的结合 【 典例 】 (2018· 全国卷 Ⅱ) 已知 f(x) 是定义域为 (-∞, +∞) 的奇函数 , 满足 f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2, 则 f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(50)= ( 　　 ) 世纪金榜导学号 A.-50 B.0 C.2 D.50 【 解析 】 选 C.f(x) 是定义域为 (-∞,+∞) 的奇函数 , 图 像关于原点对称 , 满足 f(1-x)=f(1+x), 则 f(x+4)=f(1- (x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x), 所以 f(x) 是周期为 4 的函数 . 又 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)= -f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 【 状元笔记 】 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题 , 关键是将 未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解 . 【 对点练 · 找规律 】 1.(2018· 广州模拟 ) 已知 f(x) 在 R 上是奇函数 , 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2) 时 ,f(x)=2x 2 , 则 f(7)= ( 　　 ) A.2 B.-2 C.-98 D.98 【 解析 】 选 B. 因为 f(x+4)=f(x), 所以函数 f(x) 的周期 T=4, 又 f(x) 在 R 上是奇函数 , 所以 f(7)=f(-1)=-f(1)= -2 × 1 2 =-2. 2. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且在 [0,+∞) 上是增加的 , 若 f(lg x)<0, 则 x 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0,1) B.(1,10) C.(1,+∞) D.(10,+∞) 【 解析 】 选 A. 由题意 , 函数 f(x) 在 R 上是增加的 , 且 f(0)= 0, 不等式 f(lg x)<0=f(0) 等价于 lg x<0, 故 0f(- ), 则 a 的取值 范围是 　　　　 .  【 解析 】 因为 f(2 |a-1| )>f(- )=f( ), 又由已知可得 f(x) 在 (0,+∞) 上是增加的 , 所以 2 |a-1| < , 所以 |a-1|< , 所以 0, 给出下列命题 : ① 直线 x=-6 是函数 y=f(x) 的图像的一条对称轴 ; ② 函数 y=f(x) 在 [-9,-6] 上是增加的 ; ③ 函数 y=f(x) 在 [-9,9] 上有四个零点 . 其中所有正确命题的序号为 　　　　 .  【 解析 】 ① 对于任意 x∈R, 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) 成立 , 令 x=-3, 则 f(-3+6)=f(-3)+f(3), 又因为 f(x) 是 R 上的偶 函数 , 所以 f(3)=0. 所以 f(x+6)=f(x), 所以 f(x) 的周期为 6, 又因为 f(x) 是 R 上的偶函数 , 所以 f(x+6)=f(-x), 而 f(x) 的周期为 6, 所 以 f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6), 所以 f(-6-x)= f(-6+x), 所以直线 x=-6 是函数 y=f(x) 的图像的一条对 称轴 .② 当 x 1 ,x 2 ∈[0,3], 且 x 1 ≠x 2 时 , 都有 >0, 所以函数 y=f(x) 在 [0,3] 上是增加的 , 因为 f(x) 是 R 上的 偶函数 , 所以函数 y=f(x) 在 [-3,0] 上是减少的 , 而 f(x) 的周期为 6, 所以函数 y=f(x) 在 [-9,-6] 上是减少的 . ③f(3)=0,f(x) 的周期为 6, 所以 f(-9)=f(-3)=f(3)= f(9)=0, 函数 y=f(x) 在 [-9,9] 上有四个零点 . 答案 : ①③