【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第58讲随机事件的概率与古典概型学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第58讲随机事件的概率与古典概型学案

第58讲　随机事件的概率与古典概型 考试说明 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.‎ ‎2.了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎3.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 随机事件 与概率 随机事件与概率 ‎★☆☆‎ 古典概型 古典概型 ‎2014全国卷Ⅰ5,2013全国卷Ⅱ14‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2014·全国卷Ⅰ 4位同 各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同 参加公益活动的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 D　每位同 有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个,故周六、周日都有同 参加公益活动的概率为1-=.‎ ‎2.[2013·全国卷Ⅱ 从n个正整数1,2,3,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=　　　　. ‎ ‎[答案 8‎ ‎[解析 和为5的只有两种情况,1+4,2+3,故=⇒=28⇒n=8.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2017·山东卷 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 C　每次抽取1张,抽取2次,共有=72(种)情况,其中满足题意的情况有2×=40(种),所以所求概率P==,故选C.‎ ‎2.[2016·上海卷 如图9-58-1所示,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A‎1A2…A8的中心,A1(1,0).任取不同的两点Ai,Aj,点P满足++=0,则点P落在第一象限的概率是　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 共有=28(个)基本事件,其中使点P落在第一象限的基本事件共有+2=5(个),故所求概率为.‎ ‎3.[2016·江苏卷 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 本题为古典概型,基本事件共有36个,点数之和大于等于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),共计6个基本事件,故点数之和小于10的有30个基本事件,所求概率为.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.可能发生也可能不发生 ‎2.(2)频率fn(A)　常数 ‎3.包含　B⊇A　A=B　并事件　事件A发生　事件B发生 ‎4.(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)①P(A)+P(B)‎ ‎②1-P(B)‎ ‎5.(1)①互斥　②基本事件　(2)①有限　有限性　②相等　等可能性　(3)‎ 对点演练 ‎1.④　[解析 概率的本质含义是事件发生的可能性大小,因此④正确.‎ ‎2.至多有1件次品　[解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9种结果,故它的对立事件为“含有1件或0件次品”,即“至多有1件次品”.‎ ‎3.　[解析 有放回地连续取出两件产品,其所有可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b),共9个基本事件.由于每件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},事件B包含4个基本事件,因而P(B)=.‎ ‎4.　[解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.‎ ‎5.0.75　[解析 该射击运动员射击4次至少击中3次,考虑该事件的对立事件,故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少,含有2个或2个以上的有5组数据,故所求概率为=0.75.‎ ‎6.　　[解析 设平局(用△表示)为事件A,甲赢(用☉表示)为事件B,乙赢(用※表示)为事件C.容易得到下图.‎ 平局含3个基本事件(图中的△),P(A)= =.‎ 甲赢含3个基本事件(图中的☉),P(B)= =.‎ ‎7.0.35　‎‎[解析 因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为1-0.65=0.35.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)由随机事件的频率与概率的相关知识得出正确选项;(2)依据频数分布表计算出相应的频率,然后分别计算出汽车A分别通过公路1与公路2的概率、汽车B分别通过公路1与公路2的概率,最后比较相应概率的大小可得出正确选项.‎ ‎(1)D　(2)A　[解析 (1)A是一个随机事件,某人打靶,射击10次,击中7次,则此人中靶的频率为0.7,故A错误;B是一个随机事件,一位同 做抛硬币试验,抛6次,不一定有3次“正面朝上”,故B错误;C是一个随机事件,买这种彩票,中奖或不中奖都有可能,事先无法预料,故C错误;D正确,例如在0到5中随机取一个实数,这个数不等于3.352 64的概率是1,但不是必然事件.‎ ‎(2)频率分布表如下:‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设A1,A2分别表示事件“汽车A在约定日期的前11天出发选择公路1,2将货物运往城市乙”,B1,B2分别表示事件“汽车B在约定日期的前12天出发选择公路1,2‎ 将货物运往城市乙”,则P=0.2+0.4=0.6,P=0.1+0.4=0.5,P=0.2+0.4+0.2=0.8,P=0.1+0.4+0.4=0.9,所以汽车A选择公路1,汽车B选择公路2.‎ 变式题　D　[解析 由所给数据可知,20组数据中有3组,即191,031,113不是优秀,其余17组是优秀,所以选手可以拿到优秀的概率为,故选D.‎ 例2　[思路点拨 先弄清选择数字的总的方法数,因为有两个1,故选择数字的方法数为5×6+1=31,再考虑小于3.14的情形,最后利用对立事件的概率计算公式计算即可.‎ A　[解析 选择数字的总的方法有5×6+1=31(种),其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14,所以得到的数大于3.14的概率为P=1-=.故选A.‎ 变式题　A　[解析 甲获胜有两种情况:第一种情况,甲第一次就抽到标有偶数的卡片,对应概率为=;第二种情况,甲、乙抽到的第一张卡片均标有奇数,此时所剩两张卡片均标有偶数,甲必然可以获胜,对应概率为×=.故所求概率为+=.故选A.‎ 例3　C　[解析 由题意可知,将四幅画先分3组,有=6(种)方法,再分配,有=6(种)方法,由分步乘法计数原理可知总方法数N==36,满足条件的方法数N1=+=12,故所求概率P===.故选C.‎ 变式题　(1)C　(2)D　[解析 (1)从中选出数 、物理、化 成绩优秀的各1人的所有基本事件有A1B‎1C1,A1B‎1C2,A1B‎2C1,A1B‎2C2,A2B‎1C1,A2B‎1C2,A2B‎2C1,A2B‎2C2,A3B‎1C1,A3B‎1C2,A3B‎2C1,A3B‎2C2,共12个,其中符合条件的基本事件有6个,故A1或B1仅1人被选中的概率为.‎ ‎(2)根据题意,当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”,在中任取3个不同的数字组成三位数,有=60(种)取法.对从中取出的3个不同的数字进行排列:将4放在十位上,再排2个数字放在百位、个位上,有=12(种)排法;将5放在十位上,再排2个数字放在百位、个位上,有=6(种)排法;将6放在十位上,再排2个数字放在百位、个位上,有=2(种)排法.根据分类加法计数原理,可得共有12+6+2=20(种)排法,所以构成“凹数”的概率为=.‎ 例4　[思路点拨 (1)先求出总的基本事件个数,然后再求出满足a∥b,即满足mn=-2的基本事件个数,根据古典概型的概率计算公式计算;(2) 使得a⊥(a-2b),也就是m(m-4)+2n+1=0,即m2‎-4m=-1-2n,求满足这个条件的基本事件个数,然后根据古典概型的概率计算公式计算.‎ 解:有序数组(m,n)的所有可能情况为 (-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种.‎ ‎(1)使得a∥b成立的(m,n)满足mn=-2,所以事件A发生的情况有(-2,1),(-1,2),(1,-2),(2,-1),共4种,‎ 故所求概率P(A)==.‎ ‎(2)使得a⊥(a-2b)成立的(m,n)满足m(m-4)+2n+1=0,即m2‎-4m=-1-2n,所以事件B发生的情况只有(1,1)一种,故所求概率P(B)=.‎ 例5　[思路点拨 (1)首先根据直线不经过第四象限确定a,b的取值范围,然后从所给集合中进行选取,最后利用古典概型求解即可;(2)首先根据直线与圆的位置关系确定出关于a,b的不等式,然后根据此条件确定相关事件的基本事件个数,进而利用古典概型求解即可.‎ 解:实数(a,b)的所有可能结果为(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种.‎ ‎(1)设“直线y=ax+b不经过第四象限”为事件A,若直线y=ax+b不经过第四象限,则必须满足a≥0,b≥0,所以事件A包含4个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2).‎ 故P(A)==,即直线y=ax+b不经过第四象限的概率为.‎ ‎(2)设“直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点”为事件B,若直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点,则必须满足≤1,即b2≤a2+1,‎ 所以事件B包含12个基本事件:(-2,-2),(-2,-1),,,,,,,,,,.‎ 故P==,即直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为.‎ 例6　[思路点拨 (1)确定二次函数有零点时,主要利用判别式Δ≥0确定其对应的基本事件个数,最后利用古典概型求解;(2)首先根据函数的单调性确定a,b满足的关系式,并据此确定其对应的基本事件个数,然后利用古典概型求解.‎ 解:(1)数对(a,b)的所有可能情况为 (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种.‎ 函数y=f有零点,即Δ=b2‎-4a≥0,有,,,,,,共6种情况满足条件,所以函数y=f有零点的概率为=.‎ ‎(2)函数y=f图像的开口向上,对称轴为直线x=,y=f(x)在区间上是增函数,则有≤1,即b≤‎2a,有,,,,,,,,,,,,,共13种情况满足条件,所以函数y=f在区间上是增函数的概率为.‎ 强化演练 ‎1.B　[解析 (a,b)的所有可能情况为(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),记事件A为“f(x)在(-∞,-1 上是减函数”,由条件知f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-,若f(x)在(-∞,-1 上是减函数,则-≥-1,即b≤a,所以事件A包含(2,1),(4,1),(4,3),共3个基本事件,所以P(A)=.‎ ‎2.　[解析 由题意知m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},所以(m,n)的所有情况共36种.点P在直线x+y=7上的情况有,,,,,,共6种,所以点P在直线x+y=7上的概率为=.‎ ‎3.　[解析 由题意得,(m,n)的所有情况共有36种.由于向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角θ为锐角,所以(m,n)·(1,-1)>0,即m>n,满足题意的情况如下:当m=2时,n=1;当m=3时,n=1,2;当m=4时,n=1,2,3;当m=5时,n=1,2,3,4;当m=6时,n=1,2,3,4,5.共有15种.故所求概率为=.‎ ‎4.解:(1)数对(a,b)的所有可能情况如下:(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).共有15种.设“a≥2且b≤‎3”‎为事件A,则事件A包含8个基本事件,所以P(A)=.‎ ‎(2)设“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数”为事件B.‎ 因为函数f(x)=ax2-4bx+1的图像的对称轴为x=,且a>0,所以要使事件B发生,只需≤1,即2b≤a.因为满足题意的数对有(1,-1),(2,-1),(2,1),(3,-1),(3,1),共5个,所以P(B)==.‎ ‎【备选理由】例1考查随机事件的概率,用频率估计概率;例2考查互斥事件的概率计算;例3考查古典概型的概率计算;例4考查古典概型与平面向量的交汇题型;例5考查古典概型与函数的交汇命题.‎ ‎1　[配合例1使用 随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 该市某重点中 拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率为　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,任取2天且第一天为晴天的选法有16种,其中第二天不下雨的选法有14种,所以运动会期间不下雨的概率为=.‎ ‎2　[配合例2使用 某城市2016年的空气质量状况如下表所示:‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率P 其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50

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