浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形

浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形

单元检测五　三角函数、解三角形 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题　共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列命题中正确的是(　　)‎ A．终边在x轴正半轴上的角是零角 B．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C．不相等的角的终边一定不相同 D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与β的终边相同 答案　D 解析　对于A，因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α＝2kπ(k∈Z)，A错误；对于B，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B错误；对于C，例如30°≠－330°，但其终边相同，C错误，故选D.‎ ‎2．已知角θ的终边经过点，则sin2的值为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　因为点在角θ的终边上，‎ 所以cosθ＝－，则sin2＝＝，故选C.‎ ‎3．已知sin＝，则sin等于(　　)‎ A.B．－C．±D．－ 答案　B 解析　∵sin＝cos＝cos＝，‎ ‎∴sin＝cos ‎＝cos＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝－.‎ ‎4．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　A 解析　由题可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a>b.综上，a>b>c，故选A.‎ ‎5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因为f(x)为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，θ取得最小正实数值，故选B.‎ ‎6．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)‎ A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　C 解析　由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝，‎ f(x)＝sin，由点在函数f(x)的图象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．则角B的大小为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故选C.‎ ‎8．已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝－4，则|x1－x2|的值可能为(　　)‎ A.B.C.D．π 答案　C 解析　由题意得f(x)＝sin2x－cos2x－1‎ ‎＝2sin－1，则g(x)＝2sin，故函数g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)与g(x2)的值一个为2，另一个为－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．当k＝1时，|x1－x2|＝，故选C.‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一点，且S△BCD＝，则等于(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　设＝＝＝k，‎ 则由c2sinA·cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，‎ 得k2sinAsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，‎ 即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，‎ 所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.‎ 又cosB＝，所以sinB＝，‎ 所以S△ABC＝acsinB＝，‎ 所以＝＝1－＝，故选A.‎ ‎10．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原点的单调递增区间，‎ 因为函数f(x)在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共110分)‎ 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)‎ ‎11.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.‎ 答案　450π 解析　由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π(cm2)．‎ ‎12．(2018·浙江省名校协作体考试)已知tan＝3，则tanα＝________，cos2α＝________.‎ 答案　　 解析　由tan＝＝3，‎ 解得tanα＝，‎ 所以cos2α＝＝＝.‎ ‎13．(2019·衢州模拟)设函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的最小正周期为__________，单调递增区间为________________________．‎ 答案　π　，k∈Z 解析　函数f(x)的最小正周期为＝π，‎ 由2x＋∈，k∈Z得 x∈，k∈Z，‎ 即单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cosA(bcosC＋ccosB)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.‎ 答案　　7‎ 解析　方法一　由正弦定理得，‎ ‎2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，‎ 所以2cosAsin(B＋C)＝sinA，‎ 在△ABC中，B＋C＝π－A，‎ 所以sin(B＋C)＝sinA>0，所以cosA＝，‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 因为S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，所以bc＝12，‎ 由a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，‎ 所以13＝(b＋c)2－36，即(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.‎ 方法二　过A作AD⊥BC于D，‎ 在Rt△ADB中，BD＝ccosB，‎ 在Rt△ADC中，DC＝bcosC，‎ 所以BD＋DC＝ccosB＋bcosC＝a，‎ 代入2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，化简得cosA＝，‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 因为S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，所以bc＝12，‎ 由a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，‎ 所以13＝(b＋c)2－36，‎ 即(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.‎ ‎15．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，代表了当时世界数学的最高水平．其中他还创造使用了“三斜求积术”(给出了三角形三边求三角形面积公式S＝)，这种方法对现在还具有很大的意义和作用．在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，D在AC上，且BD平分∠ABC，则△ABC面积是________；BD＝________.‎ 答案　84　 解析　方法一　将已知数据代入公式，得S△ABC＝84.‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴＝＝，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋，cos∠ABC＝＝，‎ ‎∴2＝2＝＋＝，‎ ‎∴BD＝.‎ 方法二　∵cos∠ABC＝＝，‎ cos∠BAC＝＝，‎ cos∠ABD＝cos＝＝，‎ ‎∴sin∠ABC＝，sin∠BAC＝，sin∠ABD＝，‎ ‎∴S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝84，‎ BD＝＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎16.函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin2θ＝________.‎ 答案　 解析　由题意知函数y＝sin(πx＋φ)的最小正周期为T＝＝2，过点P作PQ垂直x轴于点Q(图略)，‎ 则tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝，‎ tanθ＝tan(∠APQ＋∠BPQ)＝8，‎ 故sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝.‎ ‎17．已知函数f(x)＝sin－cos，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x10)，且f(x)的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f(A)的取值范围．‎ 解　(1)因为a2＋b2＝6abcosC，‎ 由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcosC，‎ 所以cosC＝.‎ 又sin2C＝2sinAsinB，由正弦定理得c2＝2ab，‎ 所以cosC＝＝＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(2)f(x)＝sin＋cosωx＝sin，‎ 则最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，‎ 所以f(x)＝sin.‎ 因为C＝，B＝－A，‎ 则解得

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