- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习北师大版不等关系与基本不等式教案
不等关系与基本不等式 【学习目标】 1.在复习不等式性质的基础上,介绍了含有绝对值的不等式及其解法,平均值不等式及简单应用、证明不等式的一些基本方法,以及不等式在实际生活中的应用. 2.特别强调了不等式及证明的几何意义和背景,以加深学生对不等式的数学本质的理解、提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力. 【要点梳理】 要点一:不等式的性质 性质1 对称性:; 性质2 传递性:; 性质3 加法法则(同向不等式可加性):; 推论:. 性质4 乘法法则:若,则 推论1: ; 推论2:; 推理3:; 推理4:. 要点二:含有绝对值的不等式 绝对值的几何意义 设是一个实数,在数轴上||表示实数对应的点与原点的距离; |-|表示实数对应的点与实数对应的点之间的距离. 关于绝对值的几个结论 定理 对任意实数和,有 推论 1.; 2.. 3. . 要点诠释: (1)关于定理,可以把、、 看作是三角形三边,很象三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这样理解便于记忆,此定理在后面学习复数时,可以推广到比较复数的模长,并有其几何意义,有时也称其为“绝对值的三角形不等式”. (2)绝对值不等式|+|≤||+||或|-|≤|-c|+|c-|,从左到右是一个不等式放大过程,从右到左是缩小过程,证明不等式可以直接使用,也可通过适当的添、拆项证明不等式,还可利用它消去变量求最值. 绝对值不等式的解法 含绝对值的不等式||<与||>的解集 不等式 >0 =0 <0 ||<的解集 -<< ||>的解集 >或<- R 和型不等式的解法 1. 先去绝对值符号,化为不等式组: ⇔; ⇔. 2.解关于的不等式. 不等式的解法 1.将不等式两边平方,去绝对值:; 2.解不等式:. 含有两个绝对值符号的不等式解法 一般有三种解法,分别是“零点划分法”、“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”.此外,有时还可采用平方法去绝对值,它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用. “零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根; (2)把这些根按由小到大进行排序,n个根把数轴分为n+1个区间; (3)在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集; (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集. 要点三:平均值不等式 定理1 对任意实数,有(当且仅时,取“=”号). 定理2 对任意两个正数,有(当且仅时,取“=”号). 定理3 对任意三个正数,有(当且仅时,取“=”号). 定理4 对任意三个正数,有(当且仅时,取“=”号). 推广 对于n个正数,有 (当且仅当时取“=”号). 其中,、 叫作这n个正数的算术平均值和几何平均值, 因此这个结论也可以阐述为n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 要点四:不等式的证明 不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据.但是由于不等式的形式多样,因此不等式的证明方法也很多. 比较法 有两种: 1.求差比较法: 任意两个代数式、,可以作差后比较与0的关系,进一步比较与的大小. ①; ②; ③. 2.求商比较法: 任意两个值为正的代数式、,可以作商后比较与1的关系,进一步比较与的大小. ①; ②; ③. 要点诠释: (1)比较法通常是进行因式分解或进行配方,利用非负数的性质来进行判断. (2)若代数式、均为负数,也可以用求商比较法. 综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明的两种常用的思维方法. 1.综合法 一般地,从命题的已知条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过演绎推理,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,我们把这种思维方法叫做综合法. 2.分析法 一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法. 要点诠释:综合法的基本思路:执因索果;分析法的基本思路:执果索因.它们是思维方向互逆的两种推理方法. 放缩法 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩法. 要点诠释:放缩法的要求较高,要想用好它,必须有目标,目标可以从要证的结论中去寻找. 几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法. 反证法 反证法是间接证明的一种基本方法.一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 反证法的基本思路:假设——矛盾——肯定 要点五:不等式的应用 不等式的应用十分广泛,不仅可以解决一些数学问题,而且也可以解决其他学科中以及生产生活中的一些问题。在应用时一般按以下步骤进行: ①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大或最小值; ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一: 绝对值不等式 例1.解下列关于的不等式: (1); (2); (3)|-4|-|2+5|<1; (4). 【思路点拨】去绝对值,转化为解一元一次(二次)不等式(组)的形式. 【解析】 (1)原不等式等价于, 即 ∴ 原不等式的解集为 (2)解法一:原不等式等价于, 两边平方得,解得, ∴原不等式的解集为. 解法二:原不等式等价于, 表示数轴上与-1对应的点的距离;表示数轴上与1对应的点的距离. 由于数轴上0与-1对应的点的距离和它到1对应的点的距离相等,所以若要使与-1对应的点的距离和它到1对应的点的距离相等,那么应满足:. ∴原不等式的解集为. (3)原不等式可化为: 当① ② 或③ 解不等式组①得:<-8. 解不等式组②得:. 解不等式组③得:>4 综上所述,原不等式的解集为{|<-8或>-}. (4) 当时,原不等式可化为:1<3,恒成立,故解集为全体实数; 当时,原不等式可化为,即 ① 当时,不等式①的解为:; 当时,不等式①的解为:. 综上所述, 当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为. 【总结升华】解含有绝对值的不等式的关键在于去掉绝对值符号,处理的方法通常是利用绝对值的定义与几何意义或平方等方法.对含多个绝对值符号的不等式一般利用“零点划分”法,分类讨论.如本题(3)中,分别令-4=0, 2+5=0,得两个零点. 故分、和>4三种情况. 举一反三: 【变式1】集合中的最小整数为________. 【答案】-3. 【变式2】解下列关于的不等式:. 【答案】当时,得,无解 当,得 解得: 当时,得 解得: 综上所述,原不等式的解集为. 【变式3】解下列关于的不等式:. 【答案】 当时,即,因,故原不等式的解集是空集。 当时,即,原不等式等价于,解得: 综上,当时,原不等式解集为空集;当时,不等式解集为. 例2.(2016 中山市模拟)已知函数f(x)=|x-a|. (1) 若f(x)≤m的解集为{x |-1≤x≤5},求实数a,m的值; (2) 当a=2且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2) 【思维点拨】(1)根据绝对值 不等式的解法建立关系即可求实数a,m的值; (2)根据绝对值不等式的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集。 【解析】 (1)因为f(x)≤m,所以|x-a|≤m, 即a-m≤x≤a+m, 因为f(x)≤m的解集为{x |-1≤x≤5}, 所以a-m=-1,a+m=5,解得a=2,m=3; (2)当a=2时,函数f(x)=|x-2|, 则不等式f(x)+t≥f(x+2)等价于|x-2|+t≥|x|, 当x≥2时,x-2+t≥x,即t≥2与条件0≤t<2矛盾, 当0≤x<2时,2-x+t≥x,即0≤x≤ ,成立, 当x<0时,2-x+t≥x,即t≥-2恒成立。 综上不等式的解集为 。 【总结升华】本题考查绝对值函数,考查解不等式,解题的关键是进行分段讨论。 举一反三: 【变式1】若存在实数使|-|+|-1|≤3成立,求实数的取值范围. 【解析】由绝对值不等式的几何意义可知,数轴上点到点与1点的距离的和小于等于3.由图可得-2≤≤4. 【变式2】(2016 贵州校级模拟)已知函数f(x)=2|x+1|+|x﹣2|. (1)求f(x)的最小值; (2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3. 【解析】(1)∵函数f(x)=2|x+1|+|x﹣2|, 当x<﹣1时,f(x)=﹣2(x+1)﹣(x﹣2)=﹣3x∈(3,+∞); 当﹣1≤x<2时,f(x)=2(x+1)﹣(x﹣2)=x+4∈[3,6); 当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x﹣2)=3x∈[6,+∞); 综上,f(x)的最小值为m=3; (2)a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m=3, 又因为+++(a+b+c)=(+a)+(+b)+(+c) ≥2(++)=2(a+b+c), 当且仅当a=b=c=1时,取“=”, 所以,++≥a+b+c, 即++≥3. 【变式3】已知函数f()=|+|+|-2|. (1)当=-3时,求不等式f()≥3的解集; (2)若f()≤|-4|的解集包含[1,2],求的取值范围. 【思路点拨】本题第(1)问较简单,一般用零点划分法就可以转化,第(2)问容易犯直接求解f()≤|-4|的解集的错误,应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2] [-2-,2-]这一问题,注意不要弄反. 【解析】(1)当=-3时, 当≤2时,由f()≥3得-2+5≥3,解得≤1; 当2<<3时,f()≥3无解; 当≥3时,由f()≥3得2-5≥3,解得≥4; 所以f()≥3的解集为{|≤1}∪{|≥4}.(5分) (2)f()≤|-4||-4|-|-2|≥|+|.来源:学,科,网Z,X,X,K] 当∈[1,2]时,|-4|-|-2|≥|+| 4--(2-)≥|+| -2-≤≤2-. 由条件得-2-≤1且2-≥2,即-3≤≤0. 故满足条件的的取值范围为[-3,0].(10分) 例3. 已知 ,求证 【思路点拨】利用绝对值的两个性质给予证明. (1) , ∴ (2) 由(1),(2)得: 【总结升华】在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。 举一反三: 【变式1】 求证:. 【证明】, ∴, ∴。 【变式2】若为任意实数,为正数,求证: 【证明】,而, ∴,得证. 【变式3】 【证明】因为 类型二:平均值不等式 例4. 若,求函数的最大值. 【思路点拨】适当拼凑,利用平均值不等式的定理求函数的最值. 【解析】, 因为,所以和都是正数,所以 , 当且仅当,即时取等号. 所以,该函数的最大值为. 【总结升华】(1)当若干正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当若干正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”. 举一反三: 【变式1】已知,求函数的最大值. 【答案】1. 因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项, , ∴. 当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。 【变式2】已知,且,求的最小值。 【答案】16. , 当且仅当时,上式等号成立, 又,可得时, 。 类型三:不等式的证明 例5.设为正数,用综合法证明:. 【思路点拨】将不等式从左向右给予证明. 【解析】 【总结升华】本题是从已知条件出发,通过巧妙拼凑,利用平均值不等式的有关定理,进而证明结论,即“由因寻果”,运用了综合法这一基本的证明方法. 举一反三: 【变式1】已知,,c均为正数,利用综合法证明:,并确定为何值时,等号成立. 【证明】 证法一:因为,,c均为正数, 所以, ① , 将上式两边平方,得 , ② 将①②不等式两边相加,得 . 又, ③ 所以原不等式成立. 当且仅当时,①式和②式等号成立; 当且仅当时,③式等号成立. 即当且仅当时,原式等号成立. 证法二:因为均为正数,由基本不等式得, 所以. ① 同理, ② 故. ③ 所以原不等式成立. 当且仅当时,①式和②式等号成立; 当且仅当,时,③式等号成立. 即当且仅当==c=3时,原式等号成立. 【变式2】设、、c三数成等比数列,而、y分别为、和、c的等差中项. 试证: 【证明】依题意,、、c三数成等比数列,即 , 由比例性质有: . 又由题设: , 所以 原题得证. 例6.已知,用分析法证明:. 【证明】 【总结升华】分析法是由果索因,在用分析法证明问题时,一定要恰当运用“要证”、“只要证”、“即证”、“也即证”等用语. 举一反三: 【变式1】已知函数. 若,且,用分析法证明:. 【证明】 要证 即证明 只需证明 只需证明, 由于,故, 所以 故只需证明, 即证. 即证, 因为,且,所以上式成立. 所以. 【变式2】设,用分析法证明:. 【证明】 要证 , 只要证 , 即证 , 也就是证 , 只要证 , 即证 , 因为 >0, 也就是证 , 由条件可知,显然成立. 故. 例7. 用比较法证明:.. 【思路点拨】本题用比较法给予证明. 【证明】证法一:求差比较法: 解法二:求商比较法: 【总结升华】比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法,用比较法证明不等式的步骤是:作差(商)—变形—判断符号(比较与1的大小)—下结论。 举一反三: 【变式1】设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a,b∈M,试比较与的大小. 【答案】(1)由|2x-1|<1,得-1<2x-1<1, 解得0<x<1,所以M={x|0<x<1}. (2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1. 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0, 故ab+1>a+b. 当m>1时,y=logmX在(0,+∞)上递增, ∴ 当0<m<1时logmX在(0,+∞)上单调递减, ∴. 【变式2】设,试比较与的大小. 【解析】 ∵,, ∴. 例8. 用放缩法证明: 【证明】 【总结升华】在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的.常见的放缩变换有变换分式的分子和分母,如上面不等式中k∈N+,k>1时, 举一反三: 【变式】函数,用放缩法证明: . 【证明】=1- 得 . 例9.已知,用反证法证明:. 【思路点拨】首先假设结论的否命题成立,以此为条件推出一个错误的结论. 【解析】 【总结升华】结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼,或直接从正面证明较为困难的问题,一般可以考虑使用反证法. 举一反三: 【变式1】试证一元二次方程至多有两个不同的实根. 【证明】假设一元二次方程有两个以上的实数根,且各不相 等。令为方程的三个相异实根,则: 这与各不相等矛盾。故原命题成立。 【变式2】若为自然数,且,则中至少有一个为偶数。 【证明】假定均为奇数,令, 类型四:不等式的应用 例10.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求的千克; (2)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得利润最大. 【解析】(1)=5时,,解得=2. (2)由(1)可知,该商品每日销售量,所以商场每日销售该商品所获得利润为: 当且仅当,即=4时取“=”号. 所以,当销售价格为4元/千克时,使商场每日销售该商品所获得利润最大,最大利润为42元. 【总结升华】用平均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 举一反三: 【变式1】设计一副宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为(<1),画面的上下各留出8cm的空白,左右各留5cm的空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 【解析】设画面的宽为 cm,面积为S cm2,则 当且仅当,即取等号. 所以,当画面的宽为55 cm、高为88 cm时,宣传画所用纸张面积最小. 【变式2】用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形菜园长、宽个为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆是多少? 【解析】设矩形菜园的长为 m,宽为y m,则y=100,篱笆的长为2(+y)m. 由可得, ∴2(+y)≥40, 当且仅当=y时等号成立,此时=y=10. ∴这个矩形的长、宽都为10m时,所用篱笆最短,最短篱笆是40 m.查看更多