2021版新高考数学一轮复习单元质检卷二函数新人教A版
单元质检卷二 函数
(时间:100分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=12|x|
B.y=|ln x|
C.y=x2+2|x|
D.y=2-x
2.若a=12 23,b=15 23,c=12 13,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是( )
A.f(3)>f(-4)
B.若f(m-1)0,则x∈(-1,0)∪(1,+∞)
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D.∀x∈R,∃M∈R,使得f(x)≥M
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019浙江宁波期中)已知函数f(x)=|x|,x≤0,x,x>0,则f(f(-2))= ;若f(a)=2,则实数a= .
14.若函数f(x)=loga(x+5)+1(a>0且a≠1),图象恒过定点P(m,n),则m+n= ;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为 .
15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是 .
16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为 .
四、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=ax-2x+2,其中a∈R.
(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;
(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.
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18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);
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③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;
(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
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19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
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20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5,求此时t的值.
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21.(14分)已知函数f(x)=lgx+ax-2,其中x>0,a>0.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
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参考答案
单元质检卷二 函数
1.C A选项:当x>0时,y=12x,此时函数单调递减,故A错误;
B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;
C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;
D选项:y=2-x=12x为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.
2.D ∵y=x23(x>0)是增函数,∴a=12 23>b=15 23.
∵y=12x是减函数,∴a=12 23b=ln2>lne=12,∴f(a)f(1),
∴f(a)0,-x·ex,x<0.
当x>0时,由f(x)=x·ex,得f'(x)=ex+x·ex=ex(x+1)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数;
当x<0时,由f(x)=-x·ex,得f'(x)=-ex-x·ex=-ex(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,
∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=1e.作出函数f(x)=|x|·ex(x≠0)的图象的大致形状如图所示.
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令f(x)=t,则方程f(x)+2f(x)-λ=0化为t+2t-λ=0,即t2-λt+2=0,
要使关于x的方程f(x)+2f(x)-λ=0有四个相异实根,
则方程t2-λt+2=0的两根一个在0,1e上,一个在1e,+∞上.
则1e2-λe+2<0,解得λ>2e+1e.
∴实数λ的取值范围是2e+1e,+∞.故选D.
9.ABC ∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1),①
f(-x+2)=-f(x+2),②
∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③
∴由②③得f(-x)=f(-x+2),即f(x)的周期为2,
∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,
∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.
10.AB 指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,
当a>1时,可得ymin=1a,ymax=a,
那么1a+a=52,解得a=2,
当00,说明函数在(0,+∞)是增函数;
③f(-1)=0.
所以f(3)0,又f(-1)=0,
可得x∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C正确;
因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x∈R,∃M∈R,
使得f(x)≥M,正确;故选CD.
13.2 -2或4 ∵函数f(x)=|x|,x≤0,x,x>0,∴f(-2)=|-2|=2,
f(f(-2))=f(2)=2;
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∵f(a)=2,
∴当a≤0时,f(a)=|a|=2,解得a=-2;
当a>0时,f(a)=a=2,解得a=4.
综上,实数a的值为-2或4.
14.-3 (2,+∞) 当x+5=1时,即x=-4,不论a为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;
∴函数g(x)=ln(x2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
令u(x)=x2-4,u(x)>0,递增区间为(2,+∞),g(u)=lnu在定义域内为增函数,复合函数g(u(x))根据同增异减性质,函数g(x)递增区间为(2,+∞).
15.(1,+∞) 依题意,知f(x)=-f(-x)有非零解,由f(x)=-f(-x)得ex-a=-(e-x-a),即a=12ex+1ex>1(x≠0),所以当f(x)=ex-a存在奇对称点时,实数a的取值范围是(1,+∞).
16.[3,4] 根据题意知93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2×x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)32x,得BC=18x-x2,由h=32x≥3,BC=18x-x2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x+3x2(2≤x<6),由y=18x+3x2≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的取值范围为[3,4].
17.解(1)不等式f(x)≤-1即为ax-2x+2≤-1⇔(a+1)xx+2≤0.
当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);
当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);
当a>-1时,不等式解集为(-2,0].
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(2)任取00,x2+2>0,
∴要使f(x)在(0,+∞)上单调递减,即f(x1)-f(x2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.
18.解(1)E=f(t)=t2+20t+16,05,
t=6时,E(6)=35.
(2)00).因为f(1)=0,所以t24(a-1)=0.
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又因为t≠0,所以a=1,
所以f(x)=x-t+222-t24(t≠0).
(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t≠0),所以当t+22<-1,即t<-4时,
f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;
当-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,
所以t=±25(舍去);
当t+22>12,即t>-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92.
21.解(1)由x+ax-2>0,得x2-2x+ax>0.因为x>0,
所以x2-2x+a>0.
当a>1时,
x2-2x+a>0恒成立,
函数f(x)的定义域为(0,+∞);
当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};
当01+1-a}.
(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
即x+ax-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.
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令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-x-322+94在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,
即a的取值范围是{a|a>2}.
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