内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

集宁一中西校区2019一2020学年第一学期期中考试高二年级理科数学试题 一、选择题 ‎1.等差数列的前项和，若，则( )‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎2.在等比数列中，若，，，则公比等于（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程组即得q的值.‎ 详解】由题得，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.等差数列的前11项和，则 A. 8 B. ‎16 ‎C. 24 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 等差数列的前11项和，，，根据等差数列性质：，故选B.‎ ‎4.在中，，则∠等于(　　)‎ A. 30°或150° B. 60° C. 60°或120° D. 30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接使用正弦定理，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据正弦定理，‎ 可得，解得，故可得为60°或120°；‎ 又，则，显然两个结果都满足题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题.‎ ‎5.在中，若，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出cosB的值，即得B的值.‎ ‎【详解】由余弦定理得,‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )‎ A. －24 B. －3‎ C. 3 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，由此解得的值，进而求得数列的前项和.‎ ‎【详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意得，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，∴S6＝6×1＋×(－2)＝－24.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎7.如表定义函数：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 对于数列，，，，则的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中,,,可得以为周期呈周期性变化,进而得到答案.‎ ‎【详解】∵数列，，，，‎ ‎∴,,,,…‎ 故以周期呈周期性变化, 则.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查数列的函数特性,难度容易.‎ ‎8.在中，若，那么是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由tanAtanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.‎ ‎【详解】由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，‎ ‎∴tan（A+B）0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，‎ C为锐角，故△ABC是锐角三角形，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键．‎ ‎9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．‎ ‎【详解】函数= ‎ sin（2x）+1‎ 对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；‎ 对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；‎ 对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；‎ 对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎10.已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可知，解得，又，从而得解.‎ ‎【详解】由数列为等差数列，可知.‎ 所以，有.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.‎ ‎11.设数列的前项和为，且，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由并项求和结合等比数列求和即可得解 ‎【详解】由题 ‎ ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题 ‎12.已知数列的通项公式为 ，其前项和为,则（   ）‎ A. -30 B. ‎-60 ‎C. 90 D. 120‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数周期每四个一组，和皆为8，则根据15组的和得.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题采用分组转化法求和，即通过四个一组进行重新组合，将原数列转化为一个常数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）‎ 二、填空题 ‎13.已知等差数列的前项和为，且，，，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与的关系可求得与，进而得到公差，由前项和公式及可求得，再由通项公式及可得值．‎ ‎【详解】，，‎ 所以公差，‎ ‎,得，‎ 所以，解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质, 等差数列的前n项和, 考查与的关系,难度较易.‎ ‎14.已知正项数列满足，若，则数列的通项公式______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正项数列正项数列满足，因式分解为,可得,利用等比数列的定义及通项公式即可得出．‎ 详解】∵正项数列正项数列满足,‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是等比数列,首项为,公比为.‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式,数列递推式,难度较易.‎ ‎15.已知为等差数列的前项和，且，给出下列说法：‎ ‎①为的最大值；②；③；④.其中正确的是______.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,利用前项和公式得,可得，最大, 即可判断出正确命题．‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 化为：‎ 最大, ①为的最大值,正确; ②正确;‎ ‎③,所以③不正确;‎ ‎④,所以不正确.‎ 综上可得：①②正确.‎ 故答案: ①②.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n项和公式,难度一般.‎ ‎16.已知等比数列满足，且成等差数列，则 的最大值为________．‎ ‎【答案】1024‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可求得数列的通项，令，由其递推式得出，可得出当或5时，的值最大，可得答案.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质和已知条件可得，由于，可得.‎ 因为成等差数列，所以，可得，由可得，由可得，‎ 从而，‎ ‎(也可直接由得出)，令，则，‎ 令，可得，故，所以当或5时，的值最大，为,‎ 故答案为：1024.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本量和通项的求解，数列的增减性，以及数列的各项积的最大值，解决的关键在于得出数列的各项的积的数列的单调性，这种方法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用展开代入求解即可；‎ ‎（2）由，变形化简可得解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）由，可得，即 ‎.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式.‎ ‎（2）将（1）中求得的代入，利用等差数列和等比数列求和公式即可求出.‎ ‎【详解】（1）因为为等差数列， ‎ 所以．‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【点晴】本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据，列出关于的式子求得，得到，求得通项;第二问中的通项，分成两组求和即可，一组是等差数列，一组等比数列.‎ ‎19.在中，内角、、的对边分别为、、，若已知.‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）为直角三角形 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知及正弦定理得，,化简即可得,由，,则有,即可得出结论;‎ ‎(2)由正弦定理及,可知,因为,利用三角函数性质,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由已知及正弦定理得，，即，又，，所以，，故为直角三角形.‎ ‎（或：由已知及射影定理得，，即，所以，，故为直角三角形.）‎ ‎（2）由（1）知，又，，，故.‎ ‎（或：由（1）知，所以，且当时取最大值，故.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用,考查三角函数的性质,难度一般.‎ ‎20.已知数列的前项和为．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由和的关系式，得到和的递推关系式，从而得到的通项公式；‎ ‎（2）根据（1）中求得的通项，求出通项公式，然后分奇偶，分别求出其前项的和.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 因为，所以，所以.‎ 因为，所以.‎ 两式相减，得，即 ‎ 又因为，所以.‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知 故当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查通过与的关系求通项公式，分奇偶求数列的前项和，属于中档题.‎ ‎21.已知等差数列的公差它的前项和为，若且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d和前n项和公式Sn＝＝na1＋中，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，这五个量中知其中三个就能求另外两个，解题中要注意方程思想的运用．‎ ‎（2）利用，通过裂项相消法即可 ‎【详解】（1）由题意得 解得 ‎（2）‎ 考点：数列通项及求和的简单应用 ‎22.已知数列为等差数列，且满足，，正项等比数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可解出,即可求出由，,即可求出，进而得出,即可求出.‎ ‎(2) 由（1）知,由，可得，即恒成立.构造，通过研究其单调性可知的最大值为,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），，又，且，‎ 得，，所以.‎ ‎（2）由（1）知，所以，可得，即恒成立.设，当时，，，又，即当时，，‎ 所以，，故的最大值为，故.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列,等比数列的通项公式,等比数列的求和公式,考查了数列中恒成立问题,难度较难.‎