2019届二轮复习　集合、常用逻辑用语、平面向量学案（全国通用）

2019届二轮复习　集合、常用逻辑用语、平面向量学案（全国通用）

‎ ‎ 专题一　集合、常用逻辑用语、平面向量、‎ 复数、算法、合情推理 第1讲　集合、常用逻辑用语 ‎[高考领航]———————————————我知道了高考航向是什么！‎ ‎1．设有限集合A，card(A)＝n(n∈N )，则 ‎(1)A的子集个数是2n；‎ ‎(2)A的真子集个数是2n－1；‎ ‎(3)A的非空子集个数是2n－1；‎ ‎(4)A的非空真子集个数是2n－2；‎ ‎(5)card(A∪B)＝card A＋card B－card(A∩B)．‎ ‎2．(1)A∩B＝B⇔B⊆A；‎ ‎(2)A∪B＝B⇔A⊆B；‎ ‎(3)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；‎ ‎(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．‎ ‎3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎4．含逻辑联结词的命题真假的等价关系 ‎(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假；‎ ‎(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真；‎ ‎(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假；‎ ‎(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真；‎ ‎(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．‎ 考点一　集合的关系与运算 ‎[典例1]　(1)已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则(　　)‎ A．A∩B＝{x|x＜0}　　　 B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅‎ 解析：∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．‎ 又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.‎ 答案：A ‎(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}. 若A∩B＝{1}，则B＝(　　)‎ A．{1，－3} B．{1，0}‎ C．{1，3} D．{1，5}‎ 通解：∵A∩B＝{1}，∴1∈B，‎ ‎∴1－4＋m＝0，∴m＝3.‎ 由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.‎ ‎∴B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.‎ 优解：∵1∈B，由根与系数的关系得1＋x＝4，∴x＝3，故B＝{1，3}．‎ 答案：C ‎(3)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)‎ A．{x|－1＜x＜2}‎ B．{x|－1≤x≤2}‎ C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}‎ D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ 通解：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.‎ 优解：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.‎ 答案：B ‎1．集合的交、并、补运算多与解不等式问题相结合，解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是排除法，对于选择题的考查，可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．‎ ‎2．(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．‎ ‎(2)若给定的集合是点集，用图象法求解．‎ ‎(3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．‎ ‎3．(1)正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性．‎ ‎(2)注意“∅”的出现．‎ 核心素养：此类题重在考基础：集合的概念与运算，不等式、方程、函数的基本解法及基本图形和基本方法(直接法，数形结合法)．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈ ，y∈ }，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9　　　　　　　 B．8‎ C．5 D．4‎ 解析：选A.根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.‎ ‎2．设集合M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|log2x＜1}，则M∩N＝(　　)‎ A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}‎ C．{x|1≤x＜2} D．{x|－1≤x＜2}‎ 通解：选B.由log2x＜1，得0＜x＜2.‎ ‎∴M∩N＝{x|－1≤x≤1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x≤1}，故选B.‎ 优解：由log2x＜1可知，∴x＞0，直接排除A、C、D，故选B.‎ 考点二　命题的真假判定与否定 ‎[典例2]　(1)已知命题p：存在实数α、β，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q：loga2＋log‎2a≥2(a＞0且a≠1)则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(¬p)∧q D．(¬p)∨q 通解：p为真，q为假，当0＜a＜1时，q不成立，故选A.‎ 优解：p为真，则p∨q一定为真，故选A.‎ 答案：A ‎(2)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)‎ 解析：AB绕AC旋转得圆锥，AB为母线．‎ 因为a，b与AC都垂直，‎ 则a，b所在直线可平移到圆C面内，如图．‎ 对于①，②，不妨设BP为直线a，则b为BE.‎ 若∠ABP＝60°，则△ABP为等边三角形，‎ 则△ABE为等边三角形，所以AB与b成角为60°，①不对，②对．‎ 对于③，④，当a与BB′重合时，AB与a所成角最小为45°，③对．‎ 当BP足够小时，∠ABP趋向于90°，④不对．‎ 答案：②③‎ ‎1．命题真假的判定方法 ‎(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；‎ ‎(2)四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，‎ 而其他两个命题的真假无此规律；‎ ‎(3)形如p∨q，p∧q，¬p命题的真假可根据p，q的真假与联结词的含义判定．‎ ‎2．全称命题与特称命题真假的判定 ‎(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；‎ ‎(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．‎ 核心素养：此类题主要①考潜能：知识的综合运用潜能；②考方法：判断命题真与假的方法．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎3．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1；‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3　　　　　　 B．p1，p4‎ C．p1，p2 D．p1，p3‎ 通解：选C.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示：‎ 由得交点A(2，－1)．‎ 目标函数的斜率k＝－＞－1，‎ 观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.‎ .‎ 结合题意知p1，p2正确．‎ 优解：在区域D内取一点M(3，2)．‎ 则x＋2y＝7，满足p2，不满足p3，故选C.‎ ‎4．已知命题p：∃x∈R，2x＞3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x ‎，则下列是真命题的是(　　)‎ A．(¬p)∧q B．(¬p)∨(¬q)‎ C．p∧(¬q) D．p∨(¬q)‎ 通解：选D.当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈时，tan x－sin x＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(¬q)是真命题，其他选项都不正确，故选D.‎ 优解：p为真命题时，p或任何命题都为真，故选D.‎ 考点三　充分、必要条件的判断 ‎[典例3]　(1)(2018·高考北京卷)(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|‎3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵|a－3b|＝|‎3a＋b|，∴(a－3b)2＝(‎3a＋b)2，∴a2－‎6a·b＋9b2＝‎9a2＋‎6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，‎ ‎∴a⊥b；反之也成立．故选C.‎ 答案：C ‎(2)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 通解：(画出可行域，数形结合求解)‎ 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．‎ 优解：q：满足条件的三个边界点分别是A(0，1)，B(2，1)，C(1，0)都适合p；而p中的点O(0，0)，不适合q，故p是q的必要不充分条件，选A.‎ 答案：A ‎(3)在学校开展的素质课堂上，针对当前的智能手机，老师设计了一个问题．p：某人A能打开某部手机；q：这部手机就是A的．则p是q的 条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分也不必要 解析：A能打开某部手机，不能说明该手机就是A的，即pq；但手机是A的，A就能打开该手机，即q⇒p，故选B.‎ 答案：B ‎1．充要条件的判断先要明确两个条件之间的关系，明确“甲的一个××条件是乙”与“甲是乙的××条件”两种不同叙述方式的差异性，要将其转化为基本的“甲是乙的××条件”的形式，然后进行判断；充要条件判断的实质就是判断两个简单命题的真假，根据条件的不同可以从集合、命题的等价转化角度进行判断．‎ ‎2．“p⇒q”⇔“¬p⇐¬q”；‎ ‎“q⇒p”⇔“¬p⇒¬q”；‎ ‎“p⇔q”⇔“¬p⇔¬q”．‎ 核心素养：此类题主要考查学生数学知识的运用能力，及基本概念的基本运算，发展学生的逻辑推理和数学运算素养．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎5．“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 通解：选A.若函数y＝sin为单调递增函数，则－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈ ，‎ 即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈ .‎ 从而函数y＝sin的单调递增区间是(k∈ )．因此若x∈，则函数y＝sin为单调递增函数；‎ 若函数y＝sin为单调递增函数x∈.所以“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.‎ 优解：当x∈时，能⇒x＋∈⇒y＝sin为增函数，但y＝sin为增函数x＋∈x∈.所以选A.‎ ‎6．“m＝‎0”‎是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 通解：选B.(定义法)　已知圆的圆心为C(1，1)，半径r＝.‎ ‎①充分性：当m＝0时，直线为x＋y＝0，显然圆心C到直线的距离d＝＝，所以d＝r，故直线和圆相切，所以“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分条件．‎ ‎②必要性：若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d＝r，‎ 即＝，整理得|2－m|＝2，解得m＝0或m＝4.‎ 所以m＝0不一定成立，故“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的不必要条件．‎ 综上，“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．故选B.‎ 优解：(集合法)　已知圆的圆心为C(1，1)，半径r＝.‎ 直线和圆相切的充要条件为圆心到直线的距离d＝r，‎ 即＝，整理得|2－m|＝2，‎ 解得m＝0或m＝4.‎ 所以“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充要条件为m＝0或m＝4.‎ 显然{0}{0，4}，所以“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．故选B.‎ ‎7．盛唐诗人王之涣的著名诗句“欲穷千里目，更上一层楼”，依据诗人的此情此景，前一句是后一句的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.依据诗人的此情此景和诗的寓意，如果“穷千里目”了，则“更上一层”‎ 了；反之，“更上一层”了，则有“穷千里目”，两者是充要关系，故选C.‎ ‎1．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P Q＝{ | ＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P Q中元素的个数是(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 通解：选B.(列举法)　当b＝0时，无论a取何值， ＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时， ＝2－1＝；当a＝2，b＝1时， ＝21＝2.故P Q＝{1，，2}，该集合中共有3个元素．‎ 优解：(列表法)　因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1. ＝ab的不同运算结果如下表所示：‎ b ‎ a　　‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 由上表可知P Q＝，显然该集合中共有3个不同的元素．‎ ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题为“若x2＝1，则x≠‎‎1”‎ B．“x＝－‎1”‎是“x2－5x－6＝‎0”‎的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜‎‎0”‎ D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题 解析：选D.A中，命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题为“若x2≠1，则x≠‎1”‎，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝‎0”‎的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥‎0”‎，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，因此其逆否命题也为真命题，D正确，故选D.‎ ‎3．设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)‎ A．p为假命题 B．¬q为真命题 C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题 解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然可∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝‎ 在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.‎ ‎4．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos ‎2A＞cos 2B＞cos ‎2C”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.在△ABC中，A＜B＜C⇔a＜b＜c⇔2Rsin A＜2Rsin B＜2Rsin C(R为△ABC的外接圆半径)⇔sin A＜sin B＜sin C⇔1－2sin‎2A＞1－2sin2B＞1－2sin‎2C⇔cos ‎2A＞cos 2B＞cos ‎2C.所以“A＜B＜C”是“cos ‎2A＞cos 2B＞cos ‎2C”的充分必要条件，故选C.‎ ‎5．已知命题p：∀x∈R，2x＋＞2，命题q：∃x∈，使sin x＋cos x＝，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．¬p∧(¬q) B．¬p∧q C．p∧(¬q) D．p∧q 解析：选A.对于命题p，因为2x＞0，所以＋2x≥2＝2，当且仅当＝2x，即x＝0时，等号成立，所以该命题为假命题；‎ 对于命题q，因为sin x＋cos x＝sin，‎ 又x∈，所以x＋∈.‎ 所以sin∈，故sin∈[1，]．‎ 显然方程sin x＋cos x＝在内无解，所以该命题为假命题．‎ 故p∧q为假命题，¬p∧q为假命题，p∧(¬q)为假命题，¬p∧(¬q)为真命题．故选A.‎ ‎6．已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：∀x∈，ax－1≤0，则p是¬q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.函数f(x)＝(a－1)x为增函数，则a－1＞1，a＞2；当x∈时，不等式ax－1≤0恒成立，则a≤，等价于a≤，又＝1，所以a≤1，所以¬q：a＞1，所以p是¬q的充分不必要条件，故选A.‎ 限时规范训练(一)　‎ 限时45分钟，实际用时 ‎ 分值80分，实际得分 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系中正确的是(　　)‎ A．M＝P　　　　　　　　 B．PM C．MP D．(∁UM)∩P＝∅‎ 解析：选C.对集合P：由x2＞1，知x＞1或x＜－1，借助数轴可得MP，选C.‎ ‎2．已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则(　　)‎ A．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为假命题 B．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为真命题 C．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为假命题 D．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为真命题 解析：选D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以¬q为真命题，故选D.‎ ‎3．(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎4．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{0，1，2} B．{0，1}‎ C．{1，2} D．{1}‎ 解析：选D.题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)，又A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则题图中阴影部分表示的集合为{1}，故选D.‎ ‎5．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b” 是“x＝‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.∵a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－，∴“a⊥b”是“x＝2”‎ 的必要不充分条件，故选B.‎ ‎6．已知集合A＝{ ∈C| ＝1－2ai，a∈R}，B＝{ ∈C |＝2}，则A∩B等于(　　)‎ A．{1＋i，1－i} B．{－i}‎ C．{1＋2i，1－2i} D．{1－i}‎ 解析：选A.问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，即＝2，解得a＝±.故选A.‎ ‎7．若集合M＝，N为自然数集，则下列结论正确的是(　　)‎ A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞－2}‎ C．M∩N＝{0} D．M∪N＝N 解析：选C.∵M＝＝{x∈R|－2≤x＜1})，N为自然数集，∴M⊆{x|x≥1}错误；M⊆{x|x＞－2}错误；‎ M∩N＝{0}正确；M∪N＝N错误，故选C.‎ ‎8．设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数(i，j＝0，1，2，3)．则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j除以4的余数(i，j＝0，1，2，3)，则(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意，故选C.‎ ‎9．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷．”丁说：“乙说的是事实．”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真或同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．‎ ‎10．设0＜x＜，则“xsin2x＜‎1”‎是“xsin x＜‎1”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.∵0＜x＜，∴0＜sin x＜1，故xsin2x＜xsin x，若“xsin x＜‎1”‎，则“xsin2x＜‎1”‎，若“xsin2x＜‎1”‎，则xsin x＜，而＞1，所以xsin x＜1可能不成立．由此可知，“xsin2x＜‎1”‎是“xsin x＜‎1”‎的必要而不充分条件．故选B.‎ ‎11．下列有关命题的说法正确的是(　　)‎ A．命题“若xy＝0，则x＝‎0”‎的否命题：“若xy＝0，则x≠‎‎0”‎ B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 C．命题“∃x∈R，2x2－1＜‎0”‎的否定：“∀x∈R，2x2－1＜‎‎0”‎ D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题 解析：选B.“若xy＝0，则x＝‎0”‎的否命题为“若xy≠0，则x≠‎0”‎，故A错误；‎ ‎“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝‎0”‎，为真命题，故B正确；‎ ‎“∃x∈R，2x2－1＜‎0”‎的否定为“∀x∈R，2x2－1≥‎0”‎，故C错误；‎ ‎“若cos x＝cos y，则x＝y”为假命题，根据原命题与其逆否命题的真假相同可知，逆否命题为假命题，故D错误，故选B.‎ ‎12．以下结论正确的是(　　)‎ A．一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为6和4的长方形，则这个圆柱的体积一定等于 B．命题“∃x0∈R，x＋x0－1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2＋x－1＞‎‎0”‎ C．当ω≠0时，“φ＝kπ＋(k∈ )”是“函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数”的充要条件 D．已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，定点P(x0，y0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，若点P在圆O内，则直线l与圆O相交 解析：选C.对于A，这个圆柱可能是底面半径为、高为6，此时圆柱的体积等于π××6＝，因此A不正确；‎ 对于B，命题“∃x0∈R，x＋x0－1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2＋x－1≥‎0”‎，因此B不正确；‎ 对于C，当φ＝kπ＋(k∈ )时，‎ f(x)＝sin＝cos(ωx＋kπ)是偶函数，又当f(x)＝sin(ωx＋φ)是偶函数时，f(0)＝±1，即sin φ＝±1，φ＝kπ＋(k∈ )，因此C正确；‎ 对于D，由点P在圆O内得x＋y＜r2，圆心O(0，0)到直线l的距离d＝＞＝r，因此直线l与圆O相离，D不正确．故选C.‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知全集U＝，集合A＝{－1，1}， B＝{1，4}，则A∩(∁UB)＝ ．‎ 解析：U＝ ‎＝{－1，0，1，4}，∁UB＝{－1，0}，‎ ‎∴A∩(∁UB)＝{－1}．‎ 答案：{－1}‎ ‎14．(2018·高考北京卷)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为 ．‎ 解析：由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a＞b，但是＞，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a＞0，b＜0即可)‎ 答案：1，－1(答案不唯一)‎ ‎15．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2x}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤4x}，给出以下命题：①A∩B＝A，②A∪B＝B，③A∩(∁UB)＝∅，④B∩(∁UA)＝U，其中正确命题的序号是 ．(把所有正确命题的序号都填上)‎ 解析：集合A是以(1，0)为圆心，1为半径的圆上及其内部的点构成的集合，集合B是以(2，0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A⊆B，利用韦恩图可得①②③正确，④错误．‎ 答案：①②③‎ ‎16．已知集合A＝，B＝[a，b]，若A⊆B，则a－b的取值范围是 ．‎ 解析：集合A＝＝{x|22≤2x－2≤24}＝{x|4≤x≤6}＝[4，6]，‎ ‎∵A⊆B，∴a≤4，b≥6，∴a－b≤4－6＝－2，‎ 即a－b的取值范围是(－∞，－2]．‎ 答案：(－∞，－2]‎ 第2讲　平面向量、复数运算 ‎[高考领航]———————————————我知道了高考航向是什么！‎ ‎1．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)．‎ ‎2．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量、的关系是＝(＋)．‎ ‎3．三角形重心坐标的求法：(1)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.‎ ‎(2)·＝·＝·⇔O为△ABC的垂心．‎ ‎4．a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．‎ ‎5．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.‎ ‎6． · ＝| |2，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i，‎ ‎| 1· 2|＝| 1|·| 2|，＝.‎ 考点一　复数 ‎[典例1]　(1)设有下面四个命题 p1：若复数 满足∈R，则 ∈R；‎ p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R；‎ p3：若复数 1， 2满足 1 2∈R，则 1＝ 2；‎ p4：若复数 ∈R，则 ∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p3　　　　　 B．p1，p4‎ C．p2，p3 D．p2，p4‎ 解析：设 ＝a＋bi(a，b∈R)， 1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， 2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒ ＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．‎ 对于p2，若 2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时， ＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．‎ 对于p3，若 1 2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a‎1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而 1＝ 2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒ /a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．‎ 对于p4，若 ∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒ ＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.‎ 答案：B ‎(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)设 ＝＋2i，则| |＝(　　)‎ A．0 B． C．1 D． 通解：因为 ＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以| |＝1，故选C.‎ 优解：因为 ＝＋2i＝＝，所以| |＝||＝＝＝1，故选C.‎ 答案：C ‎(3)复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵ ＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数 ＝－1－2i所对应的复平面内的点为 (－1，－2)，位于第三象限．故选C.‎ 答案：C ‎(4)(2018·高考全国卷Ⅱ)＝(　　)‎ A．－－i　　　　 B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析：＝＝＝－＋i，故选D.‎ 答案：D 解决复数问题的两种思想方法 ‎1．复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎2．复数的“方程思想”：即把复数 当作未知数，从解方程的角度求解 .‎ 核心素养：高考中复数问题的考查主要是基础知识，复数的相关概念和基本运算．以此来检查学生的运算素养，为将来的进一步学习打基础．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．设复数 满足＝i，则| |＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B． C. D．2‎ 通解：选A.由已知＝i，可得 ‎ ＝＝＝＝i，∴| |＝|i|＝1，故选A.‎ 优解：∵＝i，∴ ＝i，∴| |＝1.‎ ‎2．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 通解：选B.∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i⇒‎4a＋(a2－4)i＝－4i，‎ ‎∴解得a＝0.‎ 优解：检验法：将a＝0代入等式适合题意，故选B.‎ 考点二　平面向量的概念及线性运算 ‎[典例2]　(1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 通解：∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋‎2a·b＝a2＋b2－‎2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.‎ 优解：利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ 答案：A ‎(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2，1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0，1)，＝(2，0)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈ 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.‎ 答案：A ‎1．对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．‎ ‎2．在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．‎ 核心素养：此类题在核心素养方面考查很全面，既考基础又考潜能，还考方法．考潜能主要是在知识交汇处命题，考方法是解决这类问题常用的数形结合，换元等方法，发展了学生的逻辑推理，数学运算素养．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎3．如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 通解：选C.根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.‎ 因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.‎ 优解：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(‎4m，0)，D(‎3m，3h)，E(‎4m，2h)，其中m＞0，h＞0.‎ 由＝r＋s，得(‎4m，2h)＝r(‎4m，0)＋s(‎3m，3h)，‎ ‎∴，解得 ‎∴2r＋3s＝3，选C.‎ ‎4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(‎2a＋b)，则λ＝ ．‎ 解析：‎2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(‎2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.‎ 答案： 考点三　平面向量的数量积及其应用 ‎[典例3]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝2|a|2－a·b＝－1，则a·(‎2a－b)＝(　　)‎ A．4　　　　　　　 B．3‎ C．2 D．0‎ 解析：a·(‎2a－b)＝‎2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.‎ 答案：B ‎(2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．‎ 通解：|a＋2b|＝＝ ‎＝＝＝2.‎ 优解：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.‎ 答案：2 ‎(3)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝ ．‎ 解析：∵a＝(－1，2)，b＝(m，1)，‎ ‎∴a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3)．‎ 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，‎ 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ 答案：7‎ ‎1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．‎ ‎2．求解向量数量积最值问题的两种思路 ‎(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．‎ ‎(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．‎ 核心素养：a·b＝0与a⊥b的转化，体现了数学运算与直观想象，数学抽象的素养．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ ．‎ 通解：∵＝＋，‎ ＝－，‎ ‎∴·＝·(－)＝||2－||2＝22－×22＝2.‎ 优解：(坐标法)如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)，‎ ‎∴＝(1，2)，＝(－2，2)，‎ ‎∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.‎ 答案：2‎ ‎6．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝ ．‎ 通解：∵b·c＝0，‎ ‎∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－t)·b2＝0，‎ 又∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，‎ ‎∴t＋1－t＝0，解得t＝2.‎ 优解：由t＋(1－t)＝1知向量a、b、c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1，0)，b＝，则 c＝.‎ 把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.‎ 答案：2‎ ‎1．已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)‎ A．10　　　　　　　　 B．9‎ C．8 D．6‎ 通解：选A.作OS⊥AB，OT⊥AC ‎∵O为△ABC的外接圆圆心．‎ ‎∴S、T为AB，AC的中点，且·＝0，·＝0‎ ＝＋，＝＋ ‎∴·(＋)＝·＋· ‎＝(＋)·＋(＋)· ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝·＋·＝||2＋||2＝8＋2＝10.故选A.‎ 优解：不妨设∠A＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．‎ 设B(4，0)，C(0，2)，则O为BC的中点O(2，1)，‎ ‎∴＋＝2，‎ ‎∴·(＋)＝2||2＝2(4＋1)＝10.故选A.‎ ‎2．如图所示，点P在矩形ABCD内，且满足∠DAP＝30°，若||＝1，||＝，＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　　)‎ A. B．3‎ C. D． 通解：选B.如图，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥AD于点F，则结合图形及题设得＝‎ ＋＝m＋n，所以可得||＝m，||＝||＝n.又∠DAP＝30°，在Rt△APF中，tan∠FAP＝tan 30°＝＝，则＝，化简得＝3.故选B.‎ 优解：如图所示，假设点P在矩形的对角线BD上，由题意易知||＝2，∠ADB＝60°，又∠DAP＝30°，所以∠DPA＝90°.由||＝1，可得||＝＝||，从而可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝，则＝3.故选B.‎ ‎3．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)‎ A．a⊥b B．a⊥(a－b)‎ C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)‎ 解析：选C.由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.‎ ‎4．(2018·高考天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)‎ A. B． C. D．3‎ 解析：选A，如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．‎ 连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，‎ ‎∴·＝＋y2－y＝＋，‎ ‎∴当y＝时，·有最小值.‎ ‎5．(2018·高考北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝ ．‎ 解析：由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝ ．‎ 通解：因为2＝，所以E为BC中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 优解：因为2＝，所以E为BC中点．‎ 设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，‎ 故cos θ＝＝＝－.‎ 答案： 限时规范训练(二)　‎ 限时45分钟，实际用时 ‎ 分值80分，实际得分 ‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(‎2a－b)等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－1‎ C．－6 D．－18‎ 解析：选D.∵a与b的夹角的余弦值为sin ＝－，‎ ‎∴a·b＝－3，b·(‎2a－b)＝‎2a·b－b2＝－18.‎ ‎2．(2018·高考全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)‎ A．3－2i　　　　　　　 B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 解析：选D.i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.‎ ‎3．已知a∈R，i是虚数单位．若 ＝a＋i， · ＝4，则a＝(　　)‎ A．1或－1 B．或－ C．－ D． 解析：选A.∵ ＝a＋i，∴ ＝a－i，‎ 又∵ · ＝4，∴(a＋i)(a－i)＝4，‎ ‎∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.故选A.‎ ‎4．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数 ＝‎2a＋i的模等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.由题意可设＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，‎ ‎∴解得∴ ＝‎2a＋i＝1＋i，‎ ‎∴| |＝，故选C.‎ ‎5．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B．－ C.＋ D．＋ 通解：选A.如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.‎ 优解：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.‎ ‎6．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D． 解析：选A.依题意得，＝(－2，－1)，＝(5，5)，·＝(－2，－1)·(5，5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，故选A.‎ ‎7．已知向量(O为坐标原点)与关于x轴对称，j＝(0，1)，则满足不等式2＋j·≤0的点 (x，y)的集合用阴影表示为(　　)‎ 解析：选C.由题意得＝(x，y)，＝(x，－y)，＝(0，－2y)，所以＋j·＝x2＋(y－1)2－1≤0，即x2＋(y－1)2≤1，点 (x，y)的集合用阴影表示即圆心为(0，1)，半径为1的圆的内部(包含边界)，选C.‎ ‎8．i为虚数单位，则＝(　　)‎ A．－i B．－1‎ C．i D．1‎ 解析：选A.因为＝i2 018i＝(i2)1 009i＝－i.‎ ‎9．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选B.解法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，‎ 因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λbμc，所以 解得 解法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb与c共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－.‎ ‎10．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)‎ A.a－b B．a＋b C．－a＋b D．－a－b 解析：选B.如图，过点F作BC的平行线交DE于G，‎ 则G是DE的中点，且＝＝，‎ ‎∴＝，易知△AHD∽△FHG，‎ 从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，‎ ‎∴＝＝a＋b，故选B.‎ ‎11．(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A.－1 B．＋1‎ C．2 D．2－ 解析：选A.设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x＞0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.‎ ‎12．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0＜a＜1)，‎ ‎∴＝(a，2－a)，＝(a＋1，1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝‎2a2－‎2a＋2＝2＋，∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为 ．‎ 解析：∵＝(2，2)，∴||＝＝2，·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4，∴cos A＝－，∵0＜A＜π，∴sin A＝，∴S△ABC＝||·||sin A＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E，F分别在边AD，BC上，且＝‎ ‎3，＝3，若向量与的夹角为60°，则·的值为 ．‎ 解析：＝＋＋　①，＝＋＋　②，由＝3，＝3，有2＋＝0，2＋＝0，①×2＋②得2＋＝3，所以＝＋，则·＝·＝2＋·＝×32＋×3×2cos 60°＝7.‎ 答案：7‎ ‎15．已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是 ．‎ 解析：由题意可得＝(0，1)，‎ ‎∴＝|(1，)－t(0，1)|‎ ‎＝ ，‎ ‎∵t∈[－，2]，∴当t＝时，‎ 取得最小值1，‎ 当t＝－时，取得最大值，‎ 即的取值范围是[1，]．‎ 答案：[1，]‎ ‎16．平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的最大值为 ．‎ 解析：||2＝(x＋y)2＝9x2＋4y2＋2xy×3×2×＝(3x＋2y)2－3(3x)·(2y)≥(3x＋2y)2－(3x＋2y)2＝(3x＋2y)2.‎ 又||2＝1，因此(3x＋2y)2≤1，故3x＋2y≤2，‎ 当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，3x＋2y取得最大值2.‎ 答案：2‎ 第3讲　算法、框图与推理 ‎[高考领航]———————————————我知道了高考航向是什么！‎ ‎1．程序框图中有S＝S＋，i＝i＋1时，表示数列裂项求和．‎ ‎2．程序框图中有S＝S＋2n＋n，n＝n＋1时表示等比数列与等差数列求和．‎ ‎3．三角形数N(n，3)＝n2＋n(第n个三角形数)；‎ 四边形数N(n，4)＝n2(第n个四边形数)；‎ 五边形数N(n，5)＝n2＋n(第n个五边形数)；‎ k边形数N(n，k)＝n2－n(k≥3)(第n个k边形数)．‎ ‎4．类比推理常见的类比内容 平面几何中的点类比空间几何中的线；‎ 平面几何中的线类比空间几何中的面；‎ 平面几何中的三角形类比空间几何中的三棱锥；‎ 平面几何中的圆类比空间几何中的球．‎ 考点一　求框图的输出、输入的值 ‎[典例1]　(1)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；‎ 当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；‎ 当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；‎ 当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；‎ 当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；‎ 当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．故选B.‎ 答案：B ‎(2)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：假设N＝2，程序执行过程如下：‎ t＝1，M＝100，S＝0，‎ ‎1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，‎ ‎2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，‎ ‎3>2，输出S＝90<91.符合题意．‎ ‎∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.‎ 答案：D ‎(3)执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)‎ A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x 解析：输入x＝0，y＝1，n＝1，‎ 运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；‎ 运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；‎ 运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，‎ 输出x＝，y＝6.‎ 由于点在直线y＝4x上．故选C.‎ 答案：C ‎1．循环次数较少的用按部就班法：即按照程序框图的流程线指向，逐步进行运算，直至满足输出的条件．这也是解决程序框图的基本方法．‎ ‎2．循环次数较多的用归纳规律法：即先依次列出前几次循环的结果，从中归纳出循环次数(变量)与结果的关系(如周期性、数列通项或求和规律等)．‎ 核心素养：此类题培养学生的算筹、算法的数学素质，‎ 发展学生的逻辑推理及数学运算素养．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10，20)，那么n的值为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．4‎ C．5 D．6‎ 通解：选B.依据初始条件，逐步求出S的值，判断n的值．‎ 由S＝0，k＝1得S＝1，k＝2，应该为否，即2≤n，‎ ‎⇒S＝1＋2×1＝3，k＝3为否，即3≤n，‎ ‎⇒S＝1＋2×3＝7，k＝4为否，即4≤n，‎ ‎⇒S＝1＋2×7＝15，k＝5为是，即5>n，‎ 综上，4≤n<5，∴n＝4.故选B.‎ 优解：框图功能为求和，即S＝1＋21＋22＋…＋2n－1.‎ 由于S＝＝2n－1∈(10，20)，‎ ‎∴10<2n－1<20，∴11<2n<21，‎ ‎∴n＝4，即求数列的前4项和．‎ ‎∴判断框内的条件为k>4，即n＝4.故选B.‎ ‎2．(2018·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.输入N的值为20，‎ 第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，＝10是整数，‎ ‎∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；‎ 第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，‎ ‎∴i＝4＜5；‎ 第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，‎ ‎∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.‎ 考点二　补写、完善程序框图 ‎[典例2]　(1)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)‎ A．A＞1 000和n＝n＋1 B．A＞1 000和n＝n＋2‎ C．A≤1 000和n＝n＋1 D．A≤1 000和n＝n＋2‎ 解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋‎2”‎．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 ‎000”‎．故选D.‎ 答案：D ‎(2)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A．s≤？ B．s≤？‎ C．s≤？ D．s≤？‎ 通解：由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填s≤.‎ 优解：由题意可知S＝＋＋＋＝，此时输出8，是不满足条件，故选C.‎ 答案：C ‎1．首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的 学计算中，都有循环结构．‎ ‎2．准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．‎ 核心素养：此类题主要考查学生的逆向思维能力及分析问题，解决问题的能力．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)‎ A．i＝i＋1　　　　　 B．i＝i＋2‎ C．i＝i＋3 D．i＝i＋4‎ 解析：选B.由题意可将S变形为S＝－，则由S＝N－T，得N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋.据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.‎ ‎4．如图(1)是某县参加2018年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160 ‎180 cm(含‎160 cm，不含‎180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写(　　)‎ A．i＜6? B．i＜7?‎ C．i＜8? D．i＜9?‎ 解析：选C.统计身高在160 180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．‎ 考点三　合情推理、演绎推理 ‎[典例3]　(1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.‎ 答案：D ‎(2)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．‎ 据此可判断丙必定值班的日期是(　　)‎ A．10日和12日　　　　　　 B．2日和7日 C．4日和5日 D．6日和11日 解析：这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．‎ 答案：D ‎1．破解归纳推理题的思维步骤：①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(‎ 特例的共性或一般规律)；②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论，对所得一般性命题进行检验．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．‎ ‎2．破解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；‎ ‎②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；‎ ‎③会检验，即检验猜想的正确性．‎ 核心素养：此类题多是创新问题，考查素养中的逻辑推理，计算能力，主要培养学生的创新意识和应用意识．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎5．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ 乙说：“我们四人中有人考得好．”‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．‎ 解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．‎ 答案：乙，丙 ‎6．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则为P1(x，y)＝(x＋y，x－y)，且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)，如P1(1，2)＝(3，－1)，P2(1，2)＝P1(P1(1，2))＝P1(3，－1)＝(2，4)，P3(1，2)＝P1(P2(1，2))＝P1(2，4)＝(6，－2)，则P2 019(1，－1)＝ ．‎ 解析：因为P1(1，－1)＝(0，2)，‎ P2(1，－1)＝P1(P1(1，－1))＝P1(0，2)＝(2，－2)，‎ P3(1，－1)＝P1(P2(1，－1))＝P1(2，－2)＝(0，4)，‎ P4(1，－1)＝P1(P3(1，－1))＝P1(0，4)＝(4，－4)，‎ P5(1，－1)＝P1(P4(1，－1))＝P1(4，－4)＝(0，8)，‎ P6(1，－1)＝P1(P5(1，－1))＝P1(0，8)＝(8，－8)，‎ ‎…‎ 可发现如下规律：当下标是奇数n时，所求结果的横坐标是0，纵坐标是2；‎ 当下标是偶数n时，所求结果的横坐标是2，纵坐标是－2.‎ 所以P2 019(1，－1)＝(0，21 010)．‎ 答案：(0，21 010)‎ 考点四　传统文化中的框图与推理 ‎[典例4]　(1)如图所示的程序框图的算法思路 于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为(　　)‎ A．0，3 B．0，4‎ C．2，3 D．2，4‎ 解析：当a＝6，b＝8，i＝0时，执行程序框图，则 i＝1，此时不满足a＞b，也不满足a＝b，b＝8－6＝2；‎ i＝2，此时满足a＞b，a＝6－2＝4，b＝2；‎ i＝3，此时满足a＞b，a＝4－2＝2，b＝2；‎ i＝4，此时不满足a＞b，满足a＝b，输出a的值为2，i的值为4.故选D.‎ 答案：D ‎(2)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．2 D．3‎ 解析：执行程序框图，可得a＝1，A＝1，S＝0，n＝1，‎ S＝2，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝，A＝2；‎ S＝，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝，A＝4；‎ S＝，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝，A＝8；‎ S＝，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4.故选A.‎ 答案：A 解决这类问题一般可以从算法本身出发，根据算法解决，另外由于这些算法的作用比较明显，也可以从算法的作用方面直接处理．‎ 核心素养：了解中国(世界)的传统文化，体会算法在数学文化背景中的典型应用，培养学生热爱祖国，热爱学习的素养．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(　　)‎ ‎(参考数据：≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)‎ A．12　　　　　　 B．24‎ C．36 D．48‎ 解析：选B.执行程序框图，可得n＝6，S＝3sin 60°＝≈2.598，不满足条件S≥3.10，继续循环；‎ n＝12，S＝6×sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，继续循环；‎ n＝24，S＝12×sin 15°≈3.105 6，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.‎ ‎8．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次整行的数都为1的是第1行，第2次整行的数都为1的是第3行，…，第n次整行的数都为1的是第 行．‎ ‎　第1行　　　　　　　1　1‎ ‎ 第2行　　　　　　1　0　1‎ ‎ 第3行　　　　　1　1　1　1‎ ‎ 第4行　　　　1　0　0　0　1‎ ‎ 第5行 　　　1　1　0　0　1　1‎ ‎ 　…　　　　　　　　　　　　　‎ 解析：因为杨辉三角的第1，3，7，15，…行，即第2n－1(n为正整数)行的各数均为奇数，所以第n次整行的数都为1的是第2n－1行．‎ 答案：2n－1‎ ‎1．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内传递信息，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝1 234，k＝5，n＝4，则输出的b＝(　　)‎ A．26　　　　　　　　 B．194‎ C．569 D．819‎ 解析：选B.由题意b＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.‎ ‎2．如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是(　　)‎ A．n＝n＋2，i＞16?‎ B．n＝n＋2，i≥16?‎ C．n＝n＋1，i＞16?‎ D．n＝n＋1，i≥16?‎ 解析：选A.式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列．由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项，故选A.‎ ‎3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，解得R＝.‎ ‎4．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选D.若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.‎ ‎5．集合{1，2，3，…，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为Tn，如：‎ T3＝1×2＋1×3＋2×3＝×[62－(12＋22＋32)]＝11；‎ T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35；‎ T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.‎ 则T7＝ ．(写出计算结果)‎ 解析：由T3，T4，T5归纳得出Tn＝[(1＋2＋…＋n)2－(12＋22＋…＋n2)]，则T7＝×[282－(12＋22＋…＋72)]．‎ 又∵12＋22＋…＋72＝×7×8×15＝140，‎ ‎∴T7＝×(784－140)＝322.‎ 答案：322‎ ‎6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学 ，它的创立为解决传统 学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 019＝ ．‎ 解析：根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1，0)，第2行记为(2，1)，第3行记为(5，4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14，13)，同理可得第5行的“坐标”为(41，40)，第6行的“坐标”为(122，121)，….各行黑圈数乘2，分别是0，2，8，26，80，…，即1－1，3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N )．‎ 所以a2 019＝.‎ 答案： 限时规范训练(三)　‎ 限时45分钟，实际用时 ‎ 分值80分，实际得分 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于(　　)‎ A．[－6，－2]　　　　　　　　 B．[－5，－1]‎ C．[－4，5] D．[－3，6]‎ 解析：选D.当0≤t≤2时，S＝t－3∈[－3，－1]．当－2≤t＜0时，2t2＋1∈(1，9]，则S∈(－2，6]．综上，S∈[－3，6]，故选D.‎ ‎2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 019的末四位数字为(　　)‎ A．3 125 B．5 625‎ C．0 625 D．8 125‎ 解析：选D.由题意知5n(n∈N ，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈N ，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 019)＝f(503×4＋7)＝f(7)，∴52 019与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S＞，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(　　)‎ A．n≤2 018? B．n≤2 019?‎ C．n＞2 018? D．n＞2 019?‎ 解析：选B.f′(x)＝3ax2＋x，则f′(－1)＝‎3a－1＝0，解得a＝，g(x)＝＝＝＝－，g(n)＝－，则S＝＋＋…＋＝1－＝，因为输出的结果S＞，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n≤2 019？”，选B.‎ ‎4．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2‎ B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2‎ D．至少有一个不小于－2‎ 解析：选C.因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.‎ ‎5．图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是(　　)‎ ‎　‎ 图(1)　　　　　　　　　　　　　 图(2)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选D.从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.‎ ‎6．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)‎ A. B． C.－1 D．＋1‎ 解析：选A.根据“黄金椭圆”的性质是⊥，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，‎ 设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．在“黄金双曲线”中，‎ ‎∵⊥，∴·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ ‎∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，‎ ‎∴c2－a2＝ac.‎ 在等号两边同除以a2得e＝，故选A.‎ ‎7．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应为(　　)‎ A．k＞6? B．k＞5?‎ C．k＞4? D．k＞3?‎ 解析：选C.依次执行程序框图中的语句，S＝1，k＝1；k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57，从而可知当k＝5时循环结束，∴判断框中应填入“k＞4？”．‎ ‎8．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个同学的数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．‎ ‎9．如图所示，算法框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数(　　)‎ A．y＝x＋1的图象上 B．y＝2x的图象上 C．y＝2x的图象上 D．y＝2x－1的图象上 解析：选D.由算法框图可知输出的实数对(x，y)为(1，1)，(2，2)，(3，4)，(4，8)，这些点都在函数y＝2x－1的图象上．‎ ‎10．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N ，则f2 019(x)＝(　　)‎ A．sin x＋cos x B．－sin x－cos x C．sin x－cos x D．－sin x＋cos x 解析：选B.f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f5′(x)＝cos x－sin x，…，可知fn(x)是以4为周期的周期函数，∵2 019＝504×4＋3，‎ ‎∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos .故选B.‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为(　　)‎ A. B．－1或1‎ C．1 D．－1‎ 解析：选B.当x≤0时，由－x2＋1＝0，得x＝－1；‎ 当x＞0时，第一次对y赋值为3x＋2，第二次对y又赋值为－x2＋1，所以y＝－x2＋1，于是由－x2＋1＝0，得x＝1，综上知输入的x为－1或1，故选B.‎ ‎12．已知数列{an}是正项等差数列，若cn＝，则数列{cn}也为等差数列．已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得(　　)‎ A．若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列 B．若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列 C．若{dn}满足dn＝(b1·2b2·3b3·…·nbn)1＋2＋3＋…＋n，则{dn}也是等比数列 D．若{dn}满足dn＝(b1·b·b·…·b)，则{dn}也是等比数列 解析：选D.设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，则b1·b·b·…·b＝b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1qn－1)n＝(b1·b·b·…·b)[q1×2·q2×3·…·q(n－1)n]＝b·q1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＝b1q12－1＋22－2＋…＋n2－n＝b1q，所以dn＝(b1·b·b·…·b)＝b1q，即{dn}也是等比数列．‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．观察下列式子：1，1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N ，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ ．‎ 解析：由1＝12，1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.‎ 答案：n2‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i 的值为 ．‎ 解析：输入a＝0，b＝9，第一次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，i＝1＋1＝2；第二次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，i＝2＋1＝3；第三次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a＞b成立，所以输出i的值为3.‎ 答案：3‎ ‎15．观察下列等式：‎ ＋＝×1×2；‎ ＋＋＋＝×2×3；‎ ＋＋＋…＋＝×3×4；‎ ＋＋＋…＋＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ ＋＋＋…＋＝ ．‎ 解析：观察前4个等式，由归纳推理可知＋＋…＋＝n(n＋1)．‎ 答案：n(n＋1)‎ ‎16．将自然数按下图排列，其中处于从左到右第m列，从下到上第n行的数记为A(m，n)，如A(3，1)＝4，A(4，2)＝12，‎ ‎… … … … … … … … …‎ ‎28 … … … … … … … … ‎ ‎21 27 … … … … … … …‎ ‎15 20 26 … … … … … …‎ ‎10 14 19 25 … … … … …‎ ‎6 9 13 18 24 … … … …　‎ ‎3 5 8 12 17 23 … … … 　 ‎ ‎1 2 4 7 11 16 22 … …　　 ‎ 则A(1，n)＝ ；A(10，10)＝ ．‎ 解析：由题意，得A(1，n)＝1＋2＋…＋n＝，‎ ‎∴A(1，10)＝＝55，‎ ‎∴A(10，10)＝55＋10＋11＋…＋18＝181.‎ 答案：；181‎